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Differentiation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Mi 06.05.2015
Autor: zahlenfreund

Aufgabe
Ist die Funktion [mm] f:\IR \mapsto \IR f(x)=\summe_{i=1}^{\infty}sin( nx)/n^{3} [/mm]  differenzierbar?

Hey,

Ja ich bin der Meinung die Funktion ist differenzierbar. Wir hatten den Satz
a)Seien [mm] f_{n} [/mm] stetig differenzierbare Funktion die punktweise gegen die die Funktion f konvergieren.b) Die Folge der Ableitungen [mm] f_{n}' [/mm] konvergiere gleichmäßig. Dann ist f differenzierbar und es gilt [mm] f'(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n} [/mm]

b) habe ich mit Weierstraß-Kriterium gezeigt und das impliziert Teil b) des obigen Satzes. Nun meine Frage wie zeige ich Teil a) ?

Lg zahlenfreund


        
Bezug
Differentiation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Mi 06.05.2015
Autor: fred97


> Ist die Funktion [mm]f:\IR \mapsto \IR f(x)=\summe_{i=1}^{\infty}sin( nx)/n^{3}[/mm]



Du meinst wohl

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}sin( nx)/n^{3} [/mm]


>  differenzierbar?
>  Hey,
>  
> Ja ich bin der Meinung die Funktion ist differenzierbar.
> Wir hatten den Satz
> a)Seien [mm]f_{n}[/mm] stetig differenzierbare Funktion die
> punktweise gegen die die Funktion f konvergieren.b) Die
> Folge der Ableitungen [mm]f_{n}'[/mm] konvergiere gleichmäßig.
> Dann ist f differenzierbar und es gilt
> [mm]f'(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}[/mm]
>  
> b) habe ich mit Weierstraß-Kriterium gezeigt und das
> impliziert Teil b) des obigen Satzes. Nun meine Frage wie
> zeige ich Teil a) ?

Mein lieber Zahlenfreund,

Deine Frage erstaunt mich sehr ! Wenn Du b) richtig gezeigt hast, so hast Du doch bewiesen, dass die Funktionenreihe

      [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}cos( nx)/n^{2}$ [/mm]

auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig konvergiert. Und das mit

     [mm] $|\bruch{cos(nx)}{n^2}| \le \bruch{1}{n^2} [/mm]  für alle x [mm] \in \IR [/mm] und alle n [mm] \in \IN. [/mm]



Mit fast den gleichen Argumenten kann man zeigen:

     [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}sin( nx)/n^{3}$ [/mm]

konvergiert auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig und damit natürlich erst recht punktweise !

FRED

>  
> Lg zahlenfreund
>  


Bezug
                
Bezug
Differentiation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 Mi 06.05.2015
Autor: zahlenfreund

Hallo Fred97,

Ich hab ganz vergessen das gleichmäßige Konvergenz punktweise Konvergenz impliziert,damit hast du natürlich Recht das a) und b) sehr ähnlich sind. Danke für deine Hilfe :)

mfg zahlenfreund

Bezug
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