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Forum "Differentiation" - Differentiation
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Differentiation: Beschränktheit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Mo 25.04.2016
Autor: anil_prim

Aufgabe
g und f seien stetig differenzierbare, relle Funktionen mit |f'(x)| [mm] \le [/mm] g'(x). Es sei g beschränkt.
Zz.: f ist beschränkt.

Hallo,

da g beschränkt ist, ist auch g'(x) beschränkt und hat demnach höchstens endlich viele Extremstellen und ist monoton steigend bzw fallend.
Wenn g'(x) = 0 gilt |f'(x)| [mm] \le [/mm] g'(0).
Da dies an jeder Stelle der Funktion gilt muss auch |f'(x)| endlich viele Extremstellen besitzen und ist deshalb beschränkt, oder?

Ist das ein sinnvoller Ansatz oder bin ich damit völlig auf dem Holzweg?

LG Anil

        
Bezug
Differentiation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Mo 25.04.2016
Autor: fred97


> g und f seien stetig differenzierbare, relle Funktionen mit
> |f'(x)| [mm]\le[/mm] g'(x). Es sei g beschränkt.
> Zz.: f ist beschränkt.
>  Hallo,
>  
> da g beschränkt ist, ist auch g'(x) beschränkt

Wieso ??

>  und hat
> demnach höchstens endlich viele Extremstellen


Das stimmt nicht. Beispiel [mm] \sin(x) [/mm]

> und ist
> monoton steigend bzw fallend.
>  Wenn g'(x) = 0 gilt |f'(x)| [mm]\le[/mm] g'(0).
> Da dies an jeder Stelle der Funktion gilt muss auch |f'(x)|
> endlich viele Extremstellen besitzen und ist deshalb
> beschränkt, oder?

Das ist Murks !

>  
> Ist das ein sinnvoller Ansatz oder bin ich damit völlig
> auf dem Holzweg?
>  
> LG Anil


gehen wir davon aus, dass f und g auf einem Intervall I=[a,b] def. sind.

Dann haben wir nach Vor.:

   -g'(t) [mm] \le [/mm] f'(t) [mm] \le [/mm] g'(t) für alle t [mm] \in [/mm] [a,b]

Es folgt

[mm] $-\integral_{a}^{x}{g'(t) dt} \le \integral_{a}^{x}{f'(t) dt} \le \integral_{a}^{x}{g'(t) dt}$ [/mm] für alle x $ [mm] \in [/mm] $ [a,b] .

Jetzt Du.

FRED

Bezug
                
Bezug
Differentiation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mo 25.04.2016
Autor: anil_prim

Kann ich dann sagen, dass die Stammfunktion -g und g ist und diese einen bestimmten Wert annimmt, also nicht unendlich wird, weil sie beschränkt ist?
Somit würde das auch für f gelten.

Bezug
                        
Bezug
Differentiation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Mo 25.04.2016
Autor: fred97


> Kann ich dann sagen, dass die Stammfunktion -g und g ist
> und diese einen bestimmten Wert annimmt, also nicht
> unendlich wird, weil sie beschränkt ist?
> Somit würde das auch für f gelten.

????

Aus



$ [mm] -\integral_{a}^{x}{g'(t) dt} \le \integral_{a}^{x}{f'(t) dt} \le \integral_{a}^{x}{g'(t) dt} [/mm] $ für alle x $ [mm] \in [/mm] $ [a,b]

folgt doch

   -(g(x)-g(a)) [mm] \le [/mm] f(x)-f(a) [mm] \le [/mm] g(x)-g(a)   für alle x $ [mm] \in [/mm] $ [a,b]


Siehst Du nun, dass f beschränkt ist ?

FRED


Bezug
                                
Bezug
Differentiation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 Mo 25.04.2016
Autor: anil_prim

Ach ja, jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank für deine Hilfe!


Bezug
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