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| Aufgabe | Untersuchen Sie ob folgende Funktionen in (0,0) diffbar sind:
a) f: [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] f(x,y) = [mm] \wurzel{|xy|}
[/mm]
b) g: [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] g(x,y) = 0 für (x,y) = (0,0) und g(x,y) = [mm] \bruch{x|y|}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) |
Bei der Aufgabe habe ich so meine Probleme habe es einfach mal mit den Definitionen der Vorlesung probiert
Bei der a) [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{||f(0+h,0+h) - f(0,0) -L(h)||}{||h||} [/mm] für eine Lineare Abbildung L. Mein Problem ist jetzt wie ich auf L komme bzw. hier meinen Limes dann auflöse
Wir haben auch noch eine andere Definition über die Richtungsableitung
Das habe ich ebenfalls probiert
[mm] \limes_{t\rightarrow\ 0} \bruch{f(ta_{1},ta_{2}}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow\ 0} \bruch{\wurzel{|ta_{1}ta_{2}|}}{t} [/mm] = [mm] \wurzel{|ta_{1}ta_{2}|}. [/mm] Jetzt ist f diffbar wenn der Limes ex. und das tut er doch und das hieße doch dass f diffbar doch das kommt mir sehr komisch vor da ich davon ausgegangen bin dass f nicht diffbar ist
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen da ich Probleme bei den Definitionen habe
lg eddie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie ob folgende Funktionen in (0,0) diffbar
> sind:
> a) f: [mm]\IR^{2} \to \IR,[/mm] f(x,y) = [mm]\wurzel{|xy|}[/mm]
> b) g: [mm]\IR^{2} \to \IR,[/mm] g(x,y) = 0 für (x,y) = (0,0) und
> g(x,y) = [mm]\bruch{x|y|}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}}[/mm] für (x,y)
> [mm]\not=[/mm] (0,0)
> Bei der Aufgabe habe ich so meine Probleme habe es einfach
> mal mit den Definitionen der Vorlesung probiert
>
> Bei der a) [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{||f(0+h,0+h) - f(0,0) -L(h)||}{||h||}[/mm]
Wenn Du schon Definitionen benutzt, dann doch bitte richtig und vollständig !
f ist in (0,0) differenzierbar, wenn es eine lineare Abb. L: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] gibt mit:
[mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{||f(0+h_1,0+h_2) - f(0,0) -L(h)||}{||h||}=0[/mm]
In diesem Fall ist f in (0,0) partiell diferenzierbar nach x und nach y und es gilt:
(*) [mm] $L(h)=f_x(0,0)h_1+f_y(0,0)h_2$
[/mm]
(dabei ist [mm] $h=(h_1,h_2)$)
[/mm]
Also:
1. überprüfe, ob f in (0,0) partiell diferenzierbar nach x und nach y ist. Wenn nein, so bist Du fertig , denn f kann dann in (0,0) nicht differenzierbar sein.
Wenn ja, so mache weiter mit
2. überprüfe, ob mit dem L aus (*) tatsächlich
[mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{||f(0+h_1,0+h_2) - f(0,0) -L(h)||}{||h||}=0[/mm]
gilt. Wenn ja, so ist alles bestens, wenn nein, so ist f in (0,0) nicht differenzierbar.
> für eine Lineare Abbildung L. Mein Problem ist jetzt wie
> ich auf L komme bzw. hier meinen Limes dann auflöse
>
> Wir haben auch noch eine andere Definition über die
> Richtungsableitung
> Das habe ich ebenfalls probiert
Das wird Dir hier nichts bringen, denn aus der Existenz aller Richtungsableitungen folgt nicht die Differenzierbarkeit !!!
FRED
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow\ 0} \bruch{f(ta_{1},ta_{2}}{t}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow\ 0} \bruch{\wurzel{|ta_{1}ta_{2}|}}{t}[/mm]
> = [mm]\wurzel{|ta_{1}ta_{2}|}.[/mm] Jetzt ist f diffbar wenn der
> Limes ex. und das tut er doch und das hieße doch dass f
> diffbar doch das kommt mir sehr komisch vor da ich davon
> ausgegangen bin dass f nicht diffbar ist
>
> ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen da ich Probleme bei
> den Definitionen habe
>
> lg eddie
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So hab jetzt die partiellen Ableitungen bestimmt und habe heraus
[mm] f_{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{\bruch{|y|}{|x|}} [/mm] und
[mm] f_{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{\bruch{|x|}{|y|}} [/mm] heißt dass jetzt dass die partiellen Ableitungen für (0,0) nicht existieren da ich ja durch 0 teilen müsste und somit f nicht diffbar in (0,0) ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> So hab jetzt die partiellen Ableitungen bestimmt und habe
> heraus
> [mm]f_{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{\bruch{|y|}{|x|}}[/mm] und
> [mm]f_{y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{\bruch{|x|}{|y|}}[/mm]
Wie hast Du denn die berechnet ????
> heißt dass
> jetzt dass die partiellen Ableitungen für (0,0) nicht
> existieren da ich ja durch 0 teilen müsste und somit f
> nicht diffbar in (0,0) ist?
Nein, Unsinn !!
Es ist [mm] f_x(0,0)= \limes_{h \rightarrow 0 }\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}
[/mm]
Berechne das mal. Und dann noch [mm] f_y(0,0)
[/mm]
FRED
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> > So hab jetzt die partiellen Ableitungen bestimmt und habe
> > heraus
> > [mm]f_{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{\bruch{|y|}{|x|}}[/mm] und
> > [mm]f_{y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{\bruch{|x|}{|y|}}[/mm]
>
> Wie hast Du denn die berechnet ????
Hab jeweils immer einen Wert festgehalten und dann nach dem anderen abgeleitet
>
> > heißt dass
> > jetzt dass die partiellen Ableitungen für (0,0) nicht
> > existieren da ich ja durch 0 teilen müsste und somit f
> > nicht diffbar in (0,0) ist?
>
> Nein, Unsinn !!
>
> Es ist [mm]f_x(0,0)= \limes_{h \rightarrow 0 }\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}[/mm]
>
Wenn entweder x oder y Null sind heißt dass doch dass der Zähler immer Null ist und somit auch der Limes also [mm] f_{x} [/mm] und [mm] f_{y}
[/mm]
lg eddie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > So hab jetzt die partiellen Ableitungen bestimmt und habe
> > > heraus
> > > [mm]f_{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{\bruch{|y|}{|x|}}[/mm] und
> > > [mm]f_{y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{\bruch{|x|}{|y|}}[/mm]
> >
> > Wie hast Du denn die berechnet ????
>
> Hab jeweils immer einen Wert festgehalten und dann nach dem
> anderen abgeleitet
Ohne Fallunterscheidung ?
> >
> > > heißt dass
> > > jetzt dass die partiellen Ableitungen für (0,0) nicht
> > > existieren da ich ja durch 0 teilen müsste und somit f
> > > nicht diffbar in (0,0) ist?
> >
> > Nein, Unsinn !!
> >
> > Es ist [mm]f_x(0,0)= \limes_{h \rightarrow 0 }\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}[/mm]
>
> >
>
> Wenn entweder x oder y Null sind heißt dass doch dass der
> Zähler immer Null ist und somit auch der Limes also [mm]f_{x}[/mm]
> und [mm]f_{y}[/mm]
>
????ß
Also : [mm]f_{x}(0,0)=f_y(0,0)=0[/mm]
So, jetzt aber mal ran an die Differenzierbarkeit in (0,0)
FRED
> lg eddie
>
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Okay da jetzt L(h) und f(0,0) beide 0 sind komme ich auf
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{||f(h_{1},h_{2})||}{||h||} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{||\wurzel{(|h_{1}*h_{2}|}||}{||h||} [/mm]
So hier hänge ich jetzt und weiss nicht ob ich das weiter vereinfachen kann da ich nicht weiss wie man Normen auflöst
lg eddie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Okay da jetzt L(h) und f(0,0) beide 0 sind komme ich auf
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{||f(h_{1},h_{2})||}{||h||}[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{||\wurzel{(|h_{1}*h_{2}|}||}{||h||}[/mm]
Mit dem Limes wäre ich vorsichtig, denn wir wissen noch gar nicht, ob er existiert.
[mm] \bruch{||\wurzel{(|h_{1}*h_{2}|}||}{||h||}= \bruch{\wurzel{|h_1h_2|}}{\wurzel{h_1^2+h_2^2}}
[/mm]
Betrachte das mal mit [mm] h_1=h_2>0
[/mm]
FRED
>
> So hier hänge ich jetzt und weiss nicht ob ich das weiter
> vereinfachen kann da ich nicht weiss wie man Normen
> auflöst
>
> lg eddie
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> > Okay da jetzt L(h) und f(0,0) beide 0 sind komme ich auf
> > [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{||f(h_{1},h_{2})||}{||h||}[/mm]
> > = [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{||\wurzel{(|h_{1}*h_{2}|}||}{||h||}[/mm]
>
> Mit dem Limes wäre ich vorsichtig, denn wir wissen noch
> gar nicht, ob er existiert.
>
> [mm]\bruch{||\wurzel{(|h_{1}*h_{2}|}||}{||h||}= \bruch{\wurzel{|h_1h_2|}}{\wurzel{h_1^2+h_2^2}}[/mm]
>
>
> Betrachte das mal mit [mm]h_1=h_2>0[/mm]
Okay habe ich geacht und es kommt [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] heraus dies ist ja nicht 0 und folgt damit schon dass f in (0,0) diffbar ist?
lg eddie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Okay da jetzt L(h) und f(0,0) beide 0 sind komme ich auf
> > > [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{||f(h_{1},h_{2})||}{||h||}[/mm]
> > > = [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{||\wurzel{(|h_{1}*h_{2}|}||}{||h||}[/mm]
> >
> > Mit dem Limes wäre ich vorsichtig, denn wir wissen noch
> > gar nicht, ob er existiert.
> >
> > [mm]\bruch{||\wurzel{(|h_{1}*h_{2}|}||}{||h||}= \bruch{\wurzel{|h_1h_2|}}{\wurzel{h_1^2+h_2^2}}[/mm]
>
> >
> >
> > Betrachte das mal mit [mm]h_1=h_2>0[/mm]
>
> Okay habe ich geacht und es kommt [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> heraus dies ist ja nicht 0 und folgt damit schon dass f in
> (0,0) diffbar ist?
ja
FRED
>
> lg eddie
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So das war eine ziemlich schwere Geburt hab ich an die b) gemacht und hab es mit analogem Vorgehen versucht es kam wieder raus das L(h)= 0 und somit habe ich wieder das ganze für [mm] h_{1}=h_{2} [/mm] >0 betrachtet und kam auf
[mm] \bruch{h^{2}}{\bruch{\wurzel{2*h^{2}}}{\wurzel{2*h^{2}}}}
[/mm]
also folgt für h gegen 0 das 0 heraus kommt aber das ist ja nur ein Beispiel und heisst nicht zwangsläufig dass g diffbar ist also muss ich hier anders vorgehen und [mm] h_{1} \not= h_{2} [/mm] betrachten aber wie gehe ich hier vor?
lg eddie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Fr 09.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> So das war eine ziemlich schwere Geburt hab ich an die b)
> gemacht und hab es mit analogem Vorgehen versucht es kam
> wieder raus das L(h)= 0
Ja
> und somit habe ich wieder das ganze
> für [mm]h_{1}=h_{2}[/mm] >0 betrachtet und kam auf
> [mm]\bruch{h^{2}}{\bruch{\wurzel{2*h^{2}}}{\wurzel{2*h^{2}}}}[/mm]
> also folgt für h gegen 0 das 0 heraus kommt aber das ist
> ja nur ein Beispiel und heisst nicht zwangsläufig dass g
> diffbar ist also muss ich hier anders vorgehen und [mm]h_{1} \not= h_{2}[/mm]
> betrachten aber wie gehe ich hier vor?
Vorgehensweise:
Als allererstes solltest Du Bruchrechnen üben !!!
Wenn Du das gemacht hast, solltest Du sehen, dass für [mm] h_1=h_2>0 [/mm] vom fraglichen Quotienten übrigbleibt:
[mm] \bruch{h_1^2}{2h_1^2}=1/2
[/mm]
FRED
>
> lg eddie
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