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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 So 09.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei [mm] f_{n}:[a,b] [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] eine Folge von stetig differenzierbaren Funktionen. Angenommen, die Ableitungen [mm] (f'_{n})_{n} [/mm] konvergieren gleichmäßig gegen eine Funktion [mm] f^{***}:[a,b] [/mm] -> [mm] \IR [/mm] und für mindestens
einen Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] [a,b] konvergiert die Folge [mm] (f_{n}(x_{0}))_{n}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (f_{n})_{n} [/mm] im gesamten Intervall [a,b] punktweise konvergiert. |
Hallo,
es ist also zu zeigen, dass
für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein N [mm] \in \IN, [/mm] so dass
[mm] |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N .
Nun ist die Frage , wie man die gleichmäßige Konvergenz der Folge der Ableitungen , ihre Grenzfunktion [mm] f^{***} [/mm] und die Konvergenz von [mm] f_{n}(x_{0}) [/mm] ins Spiel bringt.
Z.B: man kann [mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x) | = [mm] |\integral_{x_{0}}^{x}{f'_{n}(t) dt}+f(x_{0}) [/mm] -f(x) | schreiben.
Jedoch , ich komme hier nicht weiter.
Könnt ihr mir bitte hier paar Tipps geben?
Gruß
Igor
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Hallo!
> Sei [mm]f_{n}:[a,b][/mm] -> [mm]\IR[/mm] , n [mm]\in \IN[/mm] eine Folge von stetig
> differenzierbaren Funktionen. Angenommen, die Ableitungen
> [mm](f'_{n})_{n}[/mm] konvergieren gleichmäßig gegen eine Funktion
> [mm]f^{***}:[a,b][/mm] -> [mm]\IR[/mm] und für mindestens
> einen Punkt [mm]x_{0} \in[/mm] [a,b] konvergiert die Folge
> [mm](f_{n}(x_{0}))_{n}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Folge [mm](f_{n})_{n}[/mm] im gesamten
> Intervall [a,b] punktweise konvergiert.
> Hallo,
> es ist also zu zeigen, dass
> für alle x [mm]\in[/mm] [a,b] für alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein
> N [mm]\in \IN,[/mm] so dass
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N .
> Nun ist die Frage , wie man die gleichmäßige Konvergenz
> der Folge der Ableitungen , ihre Grenzfunktion [mm]f^{***}[/mm]
> und die Konvergenz von [mm]f_{n}(x_{0})[/mm] ins Spiel bringt.
> Z.B: man kann [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x) | =
> [mm]|\integral_{x_{0}}^{x}{f'_{n}(t) dt}+f(x_{0})[/mm] -f(x) |
> schreiben.
Das ist ein sehr guter Ansatz, wie ich finde!
Er führt auch zum Ziel, wenn ihr die notwendigen Sätze habt.
Du brauchst:
1. Satz über die Stabilität der Differentiation (Wenn [mm] (f_{n}) [/mm] stetig differenzierbar und punktweise gegen f konvergiert; und [mm] (f_{n}') [/mm] gleichmäßig gegen [mm] f^{\*} [/mm] konvergiert, dann gilt $f' = [mm] f^{\*}$ [/mm] ) --> Das liefert dir [mm] $f'(x_{0}) [/mm] = [mm] f^{\*}(x_{0})$. [/mm] (D.h. Differentiation und Grenzprozess dürfen vertauscht werden).
2. Wenn [mm] $g_{n}$ [/mm] gleichmäßig gegen $g$ konvergiert, so gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b}g_{n}(x) [/mm] dx = [mm] \int_{a}^{b}\lim_{n\to\infty}g_{n}(x) [/mm] dx = [mm] \int_{a}^{b}g(x) [/mm] dx$
(D.h. Integration und Grenzprozess dürfen vertauscht werden).
Hast du das zur Verfügung? Wenn ja, hilft es dir weiter?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 09.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
> Du brauchst:
> 1. Satz über die Stabilität der Differentiation (Wenn
> [mm](f_{n})[/mm] stetig differenzierbar und punktweise gegen f
> konvergiert; und [mm](f_{n}')[/mm] gleichmäßig gegen [mm]f^{\*}[/mm]
> konvergiert, dann gilt [mm]f' = f^{\*}[/mm] ) --> Das liefert dir
> [mm]f'(x_{0}) = f^{\*}(x_{0})[/mm]. (D.h. Differentiation und
> Grenzprozess dürfen vertauscht werden).
Ich habe dazu eine Frage:
f'=f* , wenn ... und punktweise gegen f konvergiert.
Momentan wissen wir nicht, ob die punktweise Konvergenz vorliegt.
Wie kann ich es dann verwenden?
Gruß
Igor
>
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo,
> Hallo,
>
> > Du brauchst:
> > 1. Satz über die Stabilität der Differentiation (Wenn
> > [mm](f_{n})[/mm] stetig differenzierbar und punktweise gegen f
> > konvergiert; und [mm](f_{n}')[/mm] gleichmäßig gegen [mm]f^{\*}[/mm]
> > konvergiert, dann gilt [mm]f' = f^{\*}[/mm] ) --> Das liefert dir
> > [mm]f'(x_{0}) = f^{\*}(x_{0})[/mm]. (D.h. Differentiation und
> > Grenzprozess dürfen vertauscht werden).
>
> Ich habe dazu eine Frage:
> f'=f* , wenn ... und punktweise gegen f konvergiert.
> Momentan wissen wir nicht, ob die punktweise Konvergenz
> vorliegt.
> Wie kann ich es dann verwenden?
Wir wissen aber, dass punktweise Konvergenz in [mm] x_{0} [/mm] vorliegt. Deswegen folgern wir auch nur [mm] $f'(x_{0}) [/mm] = [mm] f^{\*}(x_{0})$, [/mm] und nicht mehr.
Grüße,
Stefan
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