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| Aufgabe | | Stelle [mm] \bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} (z^2-r^2)^l [/mm] als Summe über die Monome [mm] x^py^qz^r, [/mm] mit l,m,p,q,r [mm] \in \IN, z\in\IR [/mm] und r = [mm] \wurzel{x²+y²+z²} [/mm] dar. |
Ok, ich hab dazu mal was aufgeschrieben, müsste aber mal bitte jemand drauf schauen.
Ist auch noch nicht bis zum Ende fertig,da vorher Unklarheiten bestehen:
Angefangen hab ich mit der Anwendung des Binomial Theorems für [mm] (z^2-r^2)^l. [/mm]
Damit hat man:
[mm] \bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} (z^2-r^2)^l [/mm] = [mm] \bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} \summe_{i=0}^{l}\vektor{l \\ i} (-1)^i z^{2(l-i)} r^{2i}.
[/mm]
Man kann beobachten, das [mm] (z^2-r^2)^l [/mm] ein Polynom 2l-ter Ordnung ist und l Summanden hat.
Die Ableitung ergibt sich als:
[mm] \bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} (z^2-r^2)^l =\summe_{i=0}^{l} \vektor{l \\ i} \bruch{(-1)^i (2l-2i)!}{(l-m-2i)!} z^{l-m-2i} r^{2i}.
[/mm]
Die Ableitung sollte jetzt ein Polynom vom Grad l-m sein und aus (l-m)/2 Summanden bestehen, also
[mm] \bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} (z^2-r^2)^l =\summe_{i=0}^{(l-m)/2} [/mm] ...
Da sehe ich aber nicht wie die Indices transformiert werden.
In der Literatur habe ich gefunden, dass ich auf folgendes kommen sollte:
[mm] \bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} (z^2-r^2)^l =\summe_{i=0}^{(l-m)/2}\vektor{l \\ i} \bruch{(-1)^i(2l-2i)!}{(l-m-2i)!} z^{l-m+2i} r^{2i}.
[/mm]
Bräuchte also mal einen Tipp, wie ich dahin komme.
Danke.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 So 16.09.2012 | | Autor: | pleaselook |
Oder darf ich r nicht als konstant ansehen bei der Differentiation?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 So 16.09.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Stelle [mm]\bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} (z^2-r^2)^l[/mm]
> als Summe über die Monome [mm]x^py^qz^r,[/mm] mit l,m,p,q,r [mm]\in \IN, z\in\IR[/mm]
> und r = [mm]\wurzel{x²+y²+z²}[/mm] dar.
Sollte man nicht besser
"als Summe über die Monome [mm]x^py^qz^s[/mm] mit l,m,p,q,s [mm]\in \IN, z, x, y \in\IR[/mm] und r = [mm]\wurzel{x²+y²+z²}[/mm] dar."
schreiben, oder ist das r in [mm]\bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} (z^2-r^2)^l[/mm] in [mm]x^py^qz^r[/mm] und r = [mm]\wurzel{x²+y²+z²}[/mm] immer dasselbe r?
> Ok, ich hab dazu mal was aufgeschrieben, müsste aber mal
> bitte jemand drauf schauen.
> Ist auch noch nicht bis zum Ende fertig,da vorher
> Unklarheiten bestehen:
>
> Angefangen hab ich mit der Anwendung des Binomial Theorems
> für [mm](z^2-r^2)^l.[/mm]
> Damit hat man:
> [mm]\bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} (z^2-r^2)^l[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} \summe_{i=0}^{l}\vektor{l \\ i} (-1)^i z^{2(l-i)} r^{2i}.[/mm]
>
> Man kann beobachten, das [mm](z^2-r^2)^l[/mm] ein Polynom 2l-ter
> Ordnung ist und l Summanden hat.
>
> Die Ableitung ergibt sich als:
> [mm]\bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} (z^2-r^2)^l =\summe_{i=0}^{l} \vektor{l \\ i} \bruch{(-1)^i (2l-2i)!}{(l-m-2i)!} z^{l-m-2i} r^{2i}.[/mm]
>
> Die Ableitung sollte jetzt ein Polynom vom Grad l-m sein
> und aus (l-m)/2 Summanden bestehen, also
> [mm]\bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} (z^2-r^2)^l =\summe_{i=0}^{(l-m)/2}[/mm]
> ...
>
> Da sehe ich aber nicht wie die Indices transformiert
> werden.
>
> In der Literatur habe ich gefunden, dass ich auf folgendes
> kommen sollte:
> [mm]\bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} (z^2-r^2)^l =\summe_{i=0}^{(l-m)/2}\vektor{l \\ i} \bruch{(-1)^i(2l-2i)!}{(l-m-2i)!} z^{l-m+2i} r^{2i}.[/mm]
>
> Bräuchte also mal einen Tipp, wie ich dahin komme.
> Danke.
>
Soweit ok,
aber wenn [mm](z^2-r^2)^l[/mm] und r = [mm]\wurzel{x²+y²+z²}[/mm],
so ist [mm](z^2-r^2)^l = (z^2 - (\wurzel{x^2+y^2+z^2})^2)^l = (z^2 - (x^2+y^2+z^2))^l = (-x^2 -y^2)^l[/mm] ;
und das hängt nicht mehr von z ab,
was das Differenzieren vereinfacht.
Ob das im Sinne des Erfinders der Aufgabe ist, weis ich nicht.
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 So 16.09.2012 | | Autor: | pleaselook |
r ist während der Differentiation als Konstante zu sehen.
Das hilft mir für die Vereinfachung der Summe nicht weiter
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leider noch nicht beantwortet
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Mo 17.09.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
in der Aufgabe steht:
Stelle $ [mm] \bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} (z^2-r^2)^l [/mm] $ als Summe über die Monome $ [mm] x^py^qz^r, [/mm] $ mit l,m,p,q,r $ [mm] \in \IN, z\in\IR [/mm] $ und r = $ [mm] \wurzel{x²+y²+z²} [/mm] $ dar.
Es ist nicht gefragt:
Stelle $ [mm] \bruch{\partial^{l+m}}{\partial z ^{l+m}} (z^2-r^2)^l [/mm] $ als Summe über die Monome $ [mm] r^pz^q [/mm] $ ... dar.
Wo kommen also die x und y her?
Die einzige Verbindung, die ich in der Aufgabe sehe ist:
r = $ [mm] \wurzel{x²+y²+z²} [/mm] $ .
Gruß
meili
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