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Forum "Zahlentheorie" - Differenz Quadrat v Primzahlen
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Differenz Quadrat v Primzahlen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 Mi 07.10.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Seien p und q Primzahlen [mm] \ge [/mm] 5. Beweisen Sie, dass [mm] p^2 [/mm] - [mm] q^2 [/mm] durch 24 teilbar ist.



Hallo,
ich grübele hier schon eine ganze Weile, komme aber auf keinen grünen Zweig.
Irgendwie hängt es sicher damit zusammen, dass

24 = [mm] 5^2 [/mm] - 1

Aber irgendwie reicht das nicht, um weiterzukommen. Kann mir jemand einen Tipp geben?

Gruß und Danke,

Martin


edit: Hatte in der ursprünglichen Fragestellung [mm] "\ge [/mm] 5" vergessen

        
Bezug
Differenz Quadrat v Primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 Mi 07.10.2020
Autor: fred97


> Seien p und q Primzahlen. Beweisen Sie, dass [mm]p^2[/mm] - [mm]q^2[/mm]
> durch 24 teilbar ist.

Die Beispiele p=3, q=2 oder p=5,q=3 zeigen, dass obiges nicht stimmt.



>  Hallo,
>  ich grübele hier schon eine ganze Weile, komme aber auf
> keinen grünen Zweig.
>  Irgendwie hängt es sicher damit zusammen, dass
>  
> 24 = [mm]5^2[/mm] - 1
>  
> Aber irgendwie reicht das nicht, um weiterzukommen. Kann
> mir jemand einen Tipp geben?
>  
> Gruß und Danke,
>  
> Martin


Bezug
                
Bezug
Differenz Quadrat v Primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:04 Mi 07.10.2020
Autor: sancho1980


> > Seien p und q Primzahlen. Beweisen Sie, dass [mm]p^2[/mm] - [mm]q^2[/mm]
> > durch 24 teilbar ist.
>  
> Die Beispiele p=3, q=2 oder p=5,q=3 zeigen, dass obiges
> nicht stimmt.

Entschuldigung, ich hatte [mm] \ge [/mm] 5 vergessen

Bezug
        
Bezug
Differenz Quadrat v Primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Mi 07.10.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wie fred schon gesagt hat, stimmt die Aussage nicht so generell… für $p,q [mm] \ge [/mm] 5$ stimmt sie aber.
Poste daher nächste Mal die korrekte Aufgabe mit allen Voraussetzungen und löse diese dann wie folgt:

1.) Bedenke: [mm] $p^2 [/mm] - [mm] q^2 [/mm] = (p-q)(p+q)$
2.) Zeige nun durch simples Nachrechnen aller möglichen Fälle: $3|(p-q)(p+q)$ und $8|(p-q)(p+q)$. Daraus folgt dann das Gewünschte (warum?)
Kleiner Tipp vorab: Überlege dir vorher, welche Fälle du wirklich betrachten musst.
Man braucht mit Vorüberlegungen für $3|(p-q)(p+q)$ nur einen Fall betrachten und für $8|(p-q)(p+q)$ nur 6…

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Differenz Quadrat v Primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Mi 07.10.2020
Autor: fred97

Vielleicht von Interesse:

http://www.brefeld.homepage.t-online.de/teilbar-24.html

http://www.brefeld.homepage.t-online.de/teilbar-240.html

Gruß FRED

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