Differenz Äquivalenzklasse < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Fr 06.12.2013 | | Autor: | mart1n |
Ich soll folgende Äquivalenzklassen bestimmen: [v] und [v] - 2[w]
Der Vektor v ist: v = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 } [/mm]
Der Vektor w ist: w = [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ 15 } [/mm]
Die Äquivalenzklasse [v] lässt sich ziehmlich leicht bestimmen, da hab ich als Lösung:
x = [mm] \alpha \vektor{1 \\ 2 \\ 3 } [/mm] mit a [mm] \in \IR
[/mm]
Aber bei [v] - 2[w] steh ich irgendwie auf dem Schlauch, wie soll ich die Differenz davon bilden?
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> Ich soll folgende Äquivalenzklassen bestimmen: [v] und [v]
> - 2[w]
Hallo,
es wäre ganz gut, wenn Du uns erstmal die Äquivalenzrelation verraten würdest.
LG Angela
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> Der Vektor v ist: v = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 }[/mm]
>
> Der Vektor w ist: w = [mm]\vektor{0 \\ 8 \\ 15 }[/mm]
>
> Die Äquivalenzklasse [v] lässt sich ziehmlich leicht
> bestimmen, da hab ich als Lösung:
> x = [mm]\alpha \vektor{1 \\ 2 \\ 3 }[/mm] mit a [mm]\in \IR[/mm]
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> Aber bei [v] - 2[w] steh ich irgendwie auf dem Schlauch,
> wie soll ich die Differenz davon bilden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Fr 06.12.2013 | | Autor: | mart1n |
Ah mist, das habe ich selber übersehen, eine Äquivalenzrelation ist selbst nicht angegeben. Es ist ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3} [/mm] mit U := [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] angegeben und die Äquivalenzklassen sollen [mm] \in \IR^{3} [/mm] \ U sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Fr 06.12.2013 | | Autor: | mart1n |
Status meiner Frage ist leider auf beantwortet gesetzt worden, ist aber noch nicht benatwortet :)
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> Ich soll folgende Äquivalenzklassen bestimmen: [v] und [v]
> - 2[w]
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> Der Vektor v ist: v = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 }[/mm]
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> Der Vektor w ist: w = [mm]\vektor{0 \\ 8 \\ 15 }[/mm]
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> Die Äquivalenzklasse [v] lässt sich ziehmlich leicht
> bestimmen, da hab ich als Lösung:
> x = [mm]\alpha \vektor{1 \\ 2 \\ 3 }[/mm] mit a [mm]\in \IR[/mm]
>
Hallo,
da hab' ich so meine Bedenken:
es geht Deiner Mitteilung nach ja um Äquivalenz modulo [mm] U=<\vektor{1\\1\\1}>.
[/mm]
Also sind in [v] doch die Vektoren x, für die [mm] v-x\in [/mm] U gilt.
Das gilt für die von Dir angegebenen Vektoren x aber nicht.
LG Angela
> Aber bei [v] - 2[w] steh ich irgendwie auf dem Schlauch,
> wie soll ich die Differenz davon bilden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Fr 06.12.2013 | | Autor: | mart1n |
Das wäre ja dann x := [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
und für [v] - 2[w] gilt dann:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] - 2 [mm] \vektor{-1 \\ 7 \\ 14} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -15 \\ -28} [/mm]
Ist das so richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Fr 06.12.2013 | | Autor: | mart1n |
Ähm verrechnet :/ Das hier natürlich:
[v] - 2[w] = [mm] \vektor{2 \\ -13\\ -26}
[/mm]
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> Das wäre ja dann x := [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm]
Hallo,
das ist ein weiterer Repäsentat der Äquivalenzklasse [v], ebenso wie auch v ein Repräsentant dieser Äquivalenzklasse ist.
So, wie Du die Aufgabe wiedergibst, ist aber nicht ein weiterer Repräsentatn zu bestimmen, sondern [v].
Ich habe ja schon gesagt - und es sollte auch in Deinem Skript stehen - daß
[mm] [v]:=\{x\in \IR^3| v\sim_Ux\}=\{x|v-x\in U\}.
[/mm]
Du findest raus, daß
[mm] [v]=\{v+\lambda\vektor{1\\1\\1}| \lambda\in \IR\}=v+U.
[/mm]
Ich dene, die letztere Schreibweise ist bereits bekannt.
[v] ist also eine Menge, welche u.a. v und Dein x noch noch viele andere Vektoren enthält.
Anschaulich ist es der um v verschobene Raum U, also eine hier eine Gerade parallel zu U durch v.
Die Anschauung ist aber nicht wichtig.
Entsprechend würde man die Äquivalenzklasse [w] bestimmen.
Ihr habt nun in der Vorlesung fürs Rechnen mit Äquivalenzklassen, also fürs Rechnen in V/U, [mm] hier:\IR^3/U, [/mm] Verknüpfungen eingeführt, welche den Quotientenraum (Faktorraum) [mm] \IR^3/U [/mm] zu einem Vektorraum machen: man rechnet "in natürlicher Weise" mit den Repräsentanten.
Du hast in ähnlicher Manier wie zuvor festgestellt, daß [mm] \vektor{-1\\7\\14}\in [/mm] [w], also einen weiteren Repräsentanten bestimmt.
Das war nicht gefragt, aber der Repäsentant ist richtig.
Mach Dir klar, daß [mm] [\vektor{0\\8\\15}]=[\vektor{-1\\7\\14}]
[/mm]
> und für [v] - 2[w] gilt dann:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm] - 2 [mm]\vektor{-1 \\ 7 \\ 14}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -15 \\ -28}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Es ist völlig falsch, und doch nah dran.
1.
Es ist [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm] - 2 [mm]\vektor{-1 \\ 7 \\ 14}[/mm] [mm] \not=[/mm] [mm]\vektor{0 \\ -15 \\ -28}[/mm]..
2.
Wenn Du meinst, daß
[v] - 2[w] =[mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm] - 2 [mm]\vektor{-1 \\ 7 \\ 14}[/mm] ,
dann liegst Du völlig falsch. Warum, das sollte Dir inzwischen klar sein.
Es ist aber [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm] - 2 [mm]\vektor{-1 \\ 7 \\ 14}[/mm] ein Repräsentant von [v] - 2[w]
3.
Schau Dir die Verknüpfungen im Faktorraum an.
Es ist [v]-2[w]=[v]-[2w]=[v-2w]
Rechnen kannst Du hier mit den gegebenen Vektoren.
Es besteht kein Grund dafür, mit anderen Repräsentanten zu rechnen.
Man kann es aber tun, wenn es einem gefällt.
LG Angela
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