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Differenz von 2x Gauss=Gauss?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Mi 21.05.2008
Autor: cosPhi

Aufgabe
Gegeben sind 2 iid Gauss-verteilte ZVs X, Y mit [mm] \mu=0 [/mm] und Varianz [mm] \sigma^2: [/mm]

[mm] U=\bruch{X^2 - Y^2}{\wurzel{X^2 + Y^2}} [/mm]

V = [mm] \bruch{2 X Y}{\wurzel{X^2 + Y^2}} [/mm]

Bestimme die joint pdf [mm] f_{uv}(u,v) [/mm] und zeige dass U und V unabhängige normalverteilte Variablen sind.

Zeige weiter, dass

Z = [mm] \bruch{(X-Y)^2 - 2Y^2}{\wurzel{X^2 + Y^2}} [/mm]

eine gaussverteilte ZV ist.

Hi,

Also die Aufgabe um die es geht sehr ihr ja oben.

Ich hab sie fast fertig gelöst (den ersten Teil), ich habe [mm] f_{uv} [/mm] bestimmt sowie daraus die Randdichten [mm] f_u [/mm] und [mm] f_v [/mm] und gezeigt dass diese unabhängige Gauss ZVs sind.

Wo ich jetzt kurz hänge ist die zweite Frage mit Z. Z ist ja nichts anderes als U-V:

Z = U-V

Jetzt weiss ich ja dass U und V jeweils gaussverteilt und unabhängig voneinander sind und zwar mit folgenden Dichten:

[mm] f_u(u) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi \sigma^2}} e^{-\bruch{u^2}{2 \sigma^2}} [/mm]

[mm] f_v(v) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi \sigma^2}} e^{-\bruch{v^2}{2 \sigma^2}} [/mm]

Wenn ich diese subtrahiere erhalte ich:

[mm] f_u [/mm] - [mm] f_v [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi \sigma^2}}(e^{-\bruch{u^2}{2 \sigma^2}} [/mm] - [mm] e^{-\bruch{v^2}{2 \sigma^2}}) [/mm]

Ist das bis hier her einmal korrekt?

Falls ja, wie zeige ich dass das Teil nun gaussverteilt ist?!?!


Mein Versuch: Das wäre ja sowas wie eine multimodale Gaussverteilung (nur eben - statt +); da aber [mm] \mu [/mm] bei beiden null ist hat die Kurve nur einen "Dippel" wodurch es sich wiederum um eine Gaussverteilung handelt.

Naja, wie auch immer, vielen Dank für eure Hinweise! :)

lg,
divB


        
Bezug
Differenz von 2x Gauss=Gauss?: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Do 22.05.2008
Autor: cosPhi

Offenbar kann ich auf meinen eigenen Post keine Lösung posten...

Naja, nach langem hin&her hab ichs doch selbst zusammengebracht. Mein obiger Ansatz einfach die Dichtefunktionen zu subtrahieren ist natürlich blanker Blödsinn ;-)

Meine Lösung war relativ straight-forward: Einfach einen neuen Zufallsvektor Z anlegen und [mm] z_1 [/mm] = u-v setzen. [mm] z_2 [/mm] ist prinzipiell beliebig wählbar. Ich hab aber lange gebraucht für [mm] z_2 [/mm] etwas zu finden mit dem die Randdichte dann auch tatsächlich lösbar wird: [mm] z_2 [/mm] = u+v.

Daraus dann einfach wieder [mm] f_{z_1,z_2}(z_1,z_2) [/mm] berechnen und darüber die Randdichte für [mm] z_1. [/mm] Raus kommt eine schöne Gaussverteilung wie gefordert :-)

lg,
divB


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