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Differenzengl. (bifurkation): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Mi 09.11.2011
Autor: isabell_88

Aufgabe
[mm] x_{t+1} =\bruch{(x_t)^2}{2}+k [/mm]

Zeigen Sie, dass für k=-2 ein 2-Zykel existiert.
Bestimmen Sie hierfür die beiden zyklischen Zustaände a und b von diesem 2-Zykel indem Sie [mm] x_{t+2} [/mm] als funktion von [mm] x_{t} [/mm] schreiben und dann die punkte bestimmen für die gilt [mm] x_{t+2} =x_{t}. [/mm]

also ich soll also erstmal dafür sorgen dass [mm] x_{t+2} [/mm] nurnoch von [mm] x_{t} [/mm] abhängt.

ich hab das folgendermaßen gemacht:
[mm] x_{t+2} =\bruch{(x_{t+1)^2}}{2} [/mm] -2    , k soll ja -2 sein

für [mm] x_{t+1} [/mm] setze ich jetzt meine erste gleichung ein:
[mm] x_{t+2} =\bruch{\bruch{( (x_{t})^2}{2} -2)^2}{2} [/mm] -2      klammer auflösen

[mm] \bruch{\bruch{(x_{t})^4}{4}-4\bruch{(x{_t}^2)}{2}+4}{2} [/mm] -2

[mm] \bruch{4}{2}-2 [/mm] =0 und fällt raus, bleibt übrig:

[mm] x_{t+2}=\bruch{1}{8}x_{t}^4-x_{t}^2 [/mm]

ab hier weiß ich jetzt ehrlich nicht wies weitergehen soll, kann mir jemand helfen?

        
Bezug
Differenzengl. (bifurkation): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 Mi 09.11.2011
Autor: donquijote


> [mm]x_{t+1} =\bruch{(x_t)^2}{2}+k[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass für k=-2 ein 2-Zykel existiert.
>  Bestimmen Sie hierfür die beiden zyklischen Zustaände a
> und b von diesem 2-Zykel indem Sie [mm]x_{t+2}[/mm] als funktion von
> [mm]x_{t}[/mm] schreiben und dann die punkte bestimmen für die gilt
> [mm]x_{t+2} =x_{t}.[/mm]
>  also ich soll also erstmal dafür sorgen
> dass [mm]x_{t+2}[/mm] nurnoch von [mm]x_{t}[/mm] abhängt.
>  
> ich hab das folgendermaßen gemacht:
>  [mm]x_{t+2} =\bruch{(x_{t+1)^2}}{2}[/mm] -2    , k soll ja -2 sein
>  
> für [mm]x_{t+1}[/mm] setze ich jetzt meine erste gleichung ein:
>  [mm]x_{t+2} =\bruch{\bruch{( (x_{t})^2}{2} -2)^2}{2}[/mm] -2      
> klammer auflösen
>  
> [mm]\bruch{\bruch{(x_{t})^4}{4}-4\bruch{(x{_t}^2)}{2}+4}{2}[/mm] -2
>  
> [mm]\bruch{4}{2}-2[/mm] =0 und fällt raus, bleibt übrig:
>  
> [mm]x_{t+2}=\bruch{1}{8}x_{t}^4-x_{t}^2[/mm]
>  
> ab hier weiß ich jetzt ehrlich nicht wies weitergehen
> soll, kann mir jemand helfen?

Jetzt setzt du [mm] x_{t+2}=x_t [/mm] und bekommst die Gleichung
[mm] x=\frac{1}{8}x^4-x^2\Leftrightarrow x^4-8x^2-8x=0, [/mm]
die zu lösen ist. Eine Lösung [mm] \hat{x} [/mm] ist leicht zu finden.
Diese ist Teil des gesuchten 2-Zykels, sodass du die zugehörige zweite Lösung erhältst, indem du [mm] \hat{x} [/mm] in die Rekursionsformel einsetzt.

Bezug
                
Bezug
Differenzengl. (bifurkation): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mi 09.11.2011
Autor: isabell_88

[mm] x^4-8x^2-8x=0 [/mm]

wie soll ich das lösen? erst substituieren und dann p/q? aber was wird dann aus 8x (ist in der substitution ja nicht drin.

und was meinst du mit "rekursionsformel"? den begriff hatte ich noch nicht- welche meiner formeln soll das sein?



Bezug
                        
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Differenzengl. (bifurkation): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 Mi 09.11.2011
Autor: MatheStudi7

Hallo Isabell,

eine Lösung der Gleichung $ [mm] x^4 [/mm] - [mm] 8x^2 [/mm] - 8x = 0 $ wirst doch bestimmt finden.
Vielleicht findest du Sie, wenn du etwas ausklammerst.

Ciao

Bezug
                                
Bezug
Differenzengl. (bifurkation): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Mi 09.11.2011
Autor: isabell_88

ok, das mit der klammer ist mir entgangen^^

ich hab also [mm] x_{t1}=0 [/mm] raus und das setz ich jetzt in meine erste gleichung ein:

[mm] x_{t+1} [/mm] =0-2 =-2

wenn ich das dann in [mm] x_{t+2} [/mm] einsetze bekomme ich wieder 0 usw.

ist das richtig?
dann wäre a=0  und b=-2

Bezug
                                        
Bezug
Differenzengl. (bifurkation): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Mi 09.11.2011
Autor: MathePower

Hallo isabell_88,

> ok, das mit der klammer ist mir entgangen^^
>  
> ich hab also [mm]x_{t1}=0[/mm] raus und das setz ich jetzt in meine
> erste gleichung ein:
>  
> [mm]x_{t+1}[/mm] =0-2 =-2
>  
> wenn ich das dann in [mm]x_{t+2}[/mm] einsetze bekomme ich wieder 0
> usw.
>  
> ist das richtig?


Ja, das ist richtig. [ok]


>  dann wäre a=0  und b=-2


Gruss
MathePower

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Differenzengl. (bifurkation): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Mi 09.11.2011
Autor: isabell_88

Aufgabe
Prüfen Sie analytisch, ob der 2 zykel lokal asymptotisch stabil ist.



muss ich dazu

[mm] \bruch{1}{8}x_{t}^4 [/mm] - [mm] x_{t}^2 [/mm] ableiten und dann jeweils mein a und b für [mm] x_{t} [/mm] einsetzen?

oder muss ich ne andere gleichung ableiten?

und dann gucken ob <1 oder >1 ?

Bezug
                
Bezug
Differenzengl. (bifurkation): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Mi 09.11.2011
Autor: donquijote


> Prüfen Sie analytisch, ob der 2 zykel lokal asymptotisch
> stabil ist.
>  
>
> muss ich dazu
>  
> [mm]\bruch{1}{8}x_{t}^4[/mm] - [mm]x_{t}^2[/mm] ableiten und dann jeweils
> mein a und b für [mm]x_{t}[/mm] einsetzen?

ja

>  
> oder muss ich ne andere gleichung ableiten?

nein

>  
> und dann gucken ob <1 oder >1 ?

ja

Bezug
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