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| Aufgabe | [mm] x_{t+1} =\bruch{(x_t)^2}{2}+k
[/mm]
Zeigen Sie, dass für k=-2 ein 2-Zykel existiert.
Bestimmen Sie hierfür die beiden zyklischen Zustaände a und b von diesem 2-Zykel indem Sie [mm] x_{t+2} [/mm] als funktion von [mm] x_{t} [/mm] schreiben und dann die punkte bestimmen für die gilt [mm] x_{t+2} =x_{t}. [/mm] |
also ich soll also erstmal dafür sorgen dass [mm] x_{t+2} [/mm] nurnoch von [mm] x_{t} [/mm] abhängt.
ich hab das folgendermaßen gemacht:
[mm] x_{t+2} =\bruch{(x_{t+1)^2}}{2} [/mm] -2 , k soll ja -2 sein
für [mm] x_{t+1} [/mm] setze ich jetzt meine erste gleichung ein:
[mm] x_{t+2} =\bruch{\bruch{( (x_{t})^2}{2} -2)^2}{2} [/mm] -2 klammer auflösen
[mm] \bruch{\bruch{(x_{t})^4}{4}-4\bruch{(x{_t}^2)}{2}+4}{2} [/mm] -2
[mm] \bruch{4}{2}-2 [/mm] =0 und fällt raus, bleibt übrig:
[mm] x_{t+2}=\bruch{1}{8}x_{t}^4-x_{t}^2
[/mm]
ab hier weiß ich jetzt ehrlich nicht wies weitergehen soll, kann mir jemand helfen?
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> [mm]x_{t+1} =\bruch{(x_t)^2}{2}+k[/mm]
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> Zeigen Sie, dass für k=-2 ein 2-Zykel existiert.
> Bestimmen Sie hierfür die beiden zyklischen Zustaände a
> und b von diesem 2-Zykel indem Sie [mm]x_{t+2}[/mm] als funktion von
> [mm]x_{t}[/mm] schreiben und dann die punkte bestimmen für die gilt
> [mm]x_{t+2} =x_{t}.[/mm]
> also ich soll also erstmal dafür sorgen
> dass [mm]x_{t+2}[/mm] nurnoch von [mm]x_{t}[/mm] abhängt.
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> ich hab das folgendermaßen gemacht:
> [mm]x_{t+2} =\bruch{(x_{t+1)^2}}{2}[/mm] -2 , k soll ja -2 sein
>
> für [mm]x_{t+1}[/mm] setze ich jetzt meine erste gleichung ein:
> [mm]x_{t+2} =\bruch{\bruch{( (x_{t})^2}{2} -2)^2}{2}[/mm] -2
> klammer auflösen
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> [mm]\bruch{\bruch{(x_{t})^4}{4}-4\bruch{(x{_t}^2)}{2}+4}{2}[/mm] -2
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> [mm]\bruch{4}{2}-2[/mm] =0 und fällt raus, bleibt übrig:
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> [mm]x_{t+2}=\bruch{1}{8}x_{t}^4-x_{t}^2[/mm]
>
> ab hier weiß ich jetzt ehrlich nicht wies weitergehen
> soll, kann mir jemand helfen?
Jetzt setzt du [mm] x_{t+2}=x_t [/mm] und bekommst die Gleichung
[mm] x=\frac{1}{8}x^4-x^2\Leftrightarrow x^4-8x^2-8x=0,
[/mm]
die zu lösen ist. Eine Lösung [mm] \hat{x} [/mm] ist leicht zu finden.
Diese ist Teil des gesuchten 2-Zykels, sodass du die zugehörige zweite Lösung erhältst, indem du [mm] \hat{x} [/mm] in die Rekursionsformel einsetzt.
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[mm] x^4-8x^2-8x=0
[/mm]
wie soll ich das lösen? erst substituieren und dann p/q? aber was wird dann aus 8x (ist in der substitution ja nicht drin.
und was meinst du mit "rekursionsformel"? den begriff hatte ich noch nicht- welche meiner formeln soll das sein?
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Hallo Isabell,
eine Lösung der Gleichung $ [mm] x^4 [/mm] - [mm] 8x^2 [/mm] - 8x = 0 $ wirst doch bestimmt finden.
Vielleicht findest du Sie, wenn du etwas ausklammerst.
Ciao
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ok, das mit der klammer ist mir entgangen^^
ich hab also [mm] x_{t1}=0 [/mm] raus und das setz ich jetzt in meine erste gleichung ein:
[mm] x_{t+1} [/mm] =0-2 =-2
wenn ich das dann in [mm] x_{t+2} [/mm] einsetze bekomme ich wieder 0 usw.
ist das richtig?
dann wäre a=0 und b=-2
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Hallo isabell_88,
> ok, das mit der klammer ist mir entgangen^^
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> ich hab also [mm]x_{t1}=0[/mm] raus und das setz ich jetzt in meine
> erste gleichung ein:
>
> [mm]x_{t+1}[/mm] =0-2 =-2
>
> wenn ich das dann in [mm]x_{t+2}[/mm] einsetze bekomme ich wieder 0
> usw.
>
> ist das richtig?
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann wäre a=0 und b=-2
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | Prüfen Sie analytisch, ob der 2 zykel lokal asymptotisch stabil ist. |
muss ich dazu
[mm] \bruch{1}{8}x_{t}^4 [/mm] - [mm] x_{t}^2 [/mm] ableiten und dann jeweils mein a und b für [mm] x_{t} [/mm] einsetzen?
oder muss ich ne andere gleichung ableiten?
und dann gucken ob <1 oder >1 ?
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> Prüfen Sie analytisch, ob der 2 zykel lokal asymptotisch
> stabil ist.
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>
> muss ich dazu
>
> [mm]\bruch{1}{8}x_{t}^4[/mm] - [mm]x_{t}^2[/mm] ableiten und dann jeweils
> mein a und b für [mm]x_{t}[/mm] einsetzen?
ja
>
> oder muss ich ne andere gleichung ableiten?
nein
>
> und dann gucken ob <1 oder >1 ?
ja
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