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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
| Aufgabe | Lösen Sie für k [mm] \ge [/mm] 0 die Dzgl.
[mm] Y_{k+1}-(k+1)^{2} \cdot Y_{k}= [/mm] k [mm] \cdot [/mm] ((k+1)!)² mit der AWA [mm] Y_{0}=0 [/mm] |
Ich habe im Skript folgende Formel dafür gefunden:
ich gehe davon aus, dass es sich um eine inhomogene Lineare Dzgl handelt der Form:
[mm] Y_{k+1}+a_{k}y_{k}=g_{k}
[/mm]
für diese gilt, wenn [mm] y_{o} [/mm] gegeben und für den Fall, dass k>0 ist:
[mm] Y_{k}=Y_{0} \cdot (\produkt_{i=0}^{k-1}(-a_{i})) [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{k-1} g_{i} \cdot \produkt_{j=i+1}^{k-1} \cdot (-a_{j})
[/mm]
wie genau soll ich nun vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie für k [mm]\ge[/mm] 0 die Dzgl.
>
> [mm]Y_{k+1}-(k+1)^{2} \cdot Y_{k}=[/mm] k [mm]\cdot[/mm] ((k+1)!)² mit der
> AWA [mm]Y_{0}=0[/mm]
> Ich habe im Skript folgende Formel dafür gefunden:
>
> ich gehe davon aus, dass es sich um eine inhomogene Lineare
> Dzgl handelt der Form:
>
> [mm]Y_{k+1}+a_{k}y_{k}=g_{k}[/mm]
>
> für diese gilt, wenn [mm]y_{o}[/mm] gegeben und für den Fall, dass
> k>0 ist:
>
> [mm]Y_{k}=Y_{0} \cdot (\produkt_{i=0}^{k-1}(-a_{i}))[/mm] +
> [mm]\summe_{i=0}^{k-1} g_{i} \cdot \produkt_{j=i+1}^{k-1} \cdot (-a_{j})[/mm]
>
> wie genau soll ich nun vorgehen?
Einsetzen !!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Gut, dann erhalte ich:
[mm] Y_{k}= \summe_{i=0}^{k-1} [/mm] i((i+1)!)² [mm] \cdot \produkt_{j=i+1}^{k-1} [/mm] (j+1)²
Nun, weiß ich wirklich nicht weiter. Ich kann das nicht vereinfachen.
wenn ich nur die summe betrachte, erhalte ich folgende ergebnisse: 0,4,72,... für den letzten glied gilt k-1((k)!)²
für das Produkt:
4, 9,16, ... für das letze Glied (k+1)² ...
aber was kann ich nun mit diese Informationen machen? Wie kriege ich damit die Lösung der Dzgl?
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Hallo Sandy90,
> Gut, dann erhalte ich:
>
> [mm]Y_{k}= \summe_{i=0}^{k-1}[/mm] i((i+1)!)² [mm]\cdot \produkt_{j=i+1}^{k-1}[/mm]
> (j+1)²
>
> Nun, weiß ich wirklich nicht weiter. Ich kann das nicht
> vereinfachen.
>
Schreibe das Produkt in einer anderen Form.
> wenn ich nur die summe betrachte, erhalte ich folgende
> ergebnisse: 0,4,72,... für den letzten glied gilt
> k-1((k)!)²
>
> für das Produkt:
>
> 4, 9,16, ... für das letze Glied (k+1)² ...
>
> aber was kann ich nun mit diese Informationen machen? Wie
> kriege ich damit die Lösung der Dzgl?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
> Schreibe das Produkt in einer anderen Form.
Wie soll ich das Produkt umschreiben? Leider kann ich den von dir angegebenen Link nicht folgen...
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Hallo Sandy90,
>
> > Schreibe das Produkt in einer anderen Form.
>
> Wie soll ich das Produkt umschreiben? Leider kann ich den
> von dir angegebenen Link nicht folgen...
Das Produkt läßt sich in der Form [mm]\left(\bruch{a!}{b!}\right)^{2}[/mm] schreiben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Das ist top, kannst du mir bitte verraten wo ich so etwas nachschlagen kann? (Bzw unter was ich in der Formelsammlung schauen kann)?
Ich kann das Produkt wie folgt umschreiben:
[mm] (i+2)²\cdot [/mm] (i+3)² [mm] \cdot [/mm] (i+4)² +...
ist es dann = ( [mm] \bruch{(k!}{(i+1)!} [/mm] )²
Kann ich mir für a und b aus [mm] \left(\bruch{a!}{b!}\right)^{2} [/mm] das so vorstellen, dass a= das letzte Glied der Reihe, also hier a: j=(k-1+1)= k und für b= Erstes Glied der Reihe? Also hier b: i+1
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Hallo Sandy90,
> Das ist top, kannst du mir bitte verraten wo ich so etwas
> nachschlagen kann? (Bzw unter was ich in der Formelsammlung
> schauen kann)?
>
> Ich kann das Produkt wie folgt umschreiben:
>
> [mm](i+2)²\cdot[/mm] (i+3)² [mm]\cdot[/mm] (i+4)² +...
>
> ist es dann = ( [mm]\bruch{(k!}{(i+1)!}[/mm] )²
>
Ja.
> Kann ich mir für a und b aus
> [mm]\left(\bruch{a!}{b!}\right)^{2}[/mm] das so vorstellen, dass a=
> das letzte Glied der Reihe, also hier a: j=(k-1+1)= k und
> für b= Erstes Glied der Reihe? Also hier b: i+1
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
vielen Dank.
also habe ich nun:
[mm] Y_{k}= \summe_{i=0}^{k-1} [/mm] i((i-1)!)² [mm] \cdot \left(\bruch{(k)!}{(i+1)!}\right)^{2}
[/mm]
Kann ich die Summe auch so schreiben?
k-1 ((k)!)² ?
und somit
[mm] Y_{k}= [/mm] k-1 ((k)!)² [mm] \cdot \left(\bruch{(k)!}{(i+1)!}\right)^{2}
[/mm]
oder gibt es auch eine solche schöne umformung für die Summe, wie für das Produkt?
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Hallo Sandy90,
> vielen Dank.
>
> also habe ich nun:
>
> [mm]Y_{k}= \summe_{i=0}^{k-1}[/mm] i((i-1)!)² [mm]\cdot \left(\bruch{(k)!}{(i+1)!}\right)^{2}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]Y_{k}= \summe_{i=0}^{k-1}{i((i\blue{+}1)!)^{2}\cdot \left(\bruch{(k)!}{(i+1)!}\right)^{2}}[/mm]
Und dann kürzt sich etwas heraus.
> Kann ich die Summe auch so schreiben?
>
> k-1 ((k)!)² ?
>
> und somit
>
> [mm][mm] Y_{k}= [/mm] k-1 ((k)!)² [mm]\cdot \left(\bruch{(k)!}{(i+1)!}\right)^{2}[/mm]
>
>
> oder gibt es auch eine solche schöne umformung für die
> Summe, wie für das Produkt?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
bei mir kürzt sich leider nichts... und wenn ich das im Taschenrechner eingebe wird alles noch viel schlimmer :(
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Hallo Sandy90,
> bei mir kürzt sich leider nichts... und wenn ich das im
> Taschenrechner eingebe wird alles noch viel schlimmer :(
Es ist doch:
[mm]Y_{k}= \summe_{i=0}^{k-1}{i((i+1)!)^{2}\cdot \left(\bruch{(k)!}{(i+1)!}\right)^{2}}=\left(k!\right)^{2}*\summe_{i=0}^{k-1}{i\bruch{((i+1)!)^{2}}{((i+1)!))^{2}}=\left(k!\right)^{2}*\summe_{i=0}^{k-1}{i}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Do 10.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Und nun muss ich es weiter umformen, stimmts?
[mm] \summe_{i=0}^{k-1}{i} [/mm] = ...
[mm] \summe_{i=1}^{n}{i} =\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
ist also
[mm] \summe_{i=0}^{k-1}{i} [/mm] = [mm] \bruch{k(k-1)}{2} [/mm]
? Ich habe für n= k-1 eingesetzt. Ist der Gedanke so richtig?
Dann ist
[mm] Y_{k}= [/mm] (k!)² [mm] \cdot \bruch{k(k-1)}{2} [/mm]
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Hallo Sandy90,
> Und nun muss ich es weiter umformen, stimmts?
>
Ja.
> [mm]\summe_{i=0}^{k-1}{i}[/mm] = ...
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}{i} =\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
>
> ist also
>
>
> [mm]\summe_{i=0}^{k-1}{i}[/mm] = [mm]\bruch{k(k-1)}{2}[/mm]
>
> ? Ich habe für n= k-1 eingesetzt. Ist der Gedanke so
> richtig?
>
Ja, der Gedanke ist richtig.
> Dann ist
>
> [mm]Y_{k}=[/mm] (k!)² [mm]\cdot \bruch{k(k-1)}{2}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mi 09.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
üblicherweise rechnet man erstmal die paar ersten Y aus!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Hallo leduart,
wenn ich beginne die [mm] y_{k} [/mm] auszurechnen erhalte ich folgendes:
wenn ich nur die summe betrachte, erhalte ich folgende ergebnisse: 0,4,72,... für den letzten glied gilt k-1((k)!)²
für das Produkt:
4, 9,16, ... für das letze Glied (k+1)² ...
[mm] Y_{0}= [/mm] 0 . 4= 0
[mm] Y_{1}= [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] 9= 36
[mm] Y_{2}= [/mm] 72 [mm] \cdot [/mm] 16 =1152
....
aber was kann ich nun mit diese Informationen machen? Wie kriege ich damit die Lösung der Dzgl?
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Hallo Sandy90,
> Hallo leduart,
>
>
> wenn ich beginne die [mm]y_{k}[/mm] auszurechnen erhalte ich
> folgendes:
>
> wenn ich nur die summe betrachte, erhalte ich folgende
> ergebnisse: 0,4,72,... für den letzten glied gilt
> k-1((k)!)²
>
> für das Produkt:
>
> 4, 9,16, ... für das letze Glied (k+1)² ...
>
>
>
>
> [mm]Y_{0}=[/mm] 0 . 4= 0
> [mm]Y_{1}=[/mm] 4 [mm]\cdot[/mm] 9= 36
> [mm]Y_{2}=[/mm] 72 [mm]\cdot[/mm] 16 =1152
>
> ....
>
Für [mm]Y_{k}, \ k> 0[/mm] erhalte ich andere Werte.
> aber was kann ich nun mit diese Informationen machen? Wie
> kriege ich damit die Lösung der Dzgl?
Siehe dazu diese Antwort
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
stimmt die Lösung:
[mm] Y_{k}=k-1(k!)² \cdo [/mm] (k+1)²
??
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Hallo Sandy90,
> stimmt die Lösung:
>
> [mm]Y_{k}=k-1(k!)² \cdo[/mm] (k+1)²
>
> ??
Diese Lösung stimmt leider nicht.
Gruss
MathePower
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