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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:36 So 04.05.2008 | | Autor: | pelzig |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Sei [mm]I\subseteq\IR[/mm] offen und [mm]f\in C(I)[/mm] differenzierbar in [mm]\xi\in I[/mm]. Seien weiter [mm](x_n^+),(x_n^-)\subset I[/mm] mit [mm]x_n^-\le\xi\le\x_n^+[/mm] sowie [mm]0 |
Hallo,
Es sieht irgendwie so trivial aus, man muss sicherlich nur die [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] des Grenzwertes anwenden, aber ich komme leider grade nicht auf die Umformungen, vielleicht hat jemand eine Idee...
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 So 04.05.2008 | | Autor: | pelzig |
Achja, die Folgen [mm] $(x_n^+),(x_n^-)$ [/mm] dürfen auch monoton sein, d.h. die Intervalle [mm] $(x_n^-,x_n^+)$ [/mm] bilden dann eine Intervallschachtelung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 So 04.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm] x_n^+ [/mm] = [mm] x_n^- [/mm] + [mm] h_n [/mm] mit [mm] h_n \to [/mm] 0.
Also hast du dann [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n^+)-f(x_n^-)}{x_n^+-x_n^-}=\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n^- + h_n)-f(x_n^-)}{h_n}.
[/mm]
Vielleicht kannst du damit was anfangen.
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> Zeigen Sie:
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> Sei [mm]I\subseteq\IR[/mm] offen und [mm]f\in C(I)[/mm] differenzierbar in
> [mm]\xi\in I[/mm]. Seien weiter [mm](x_n^+),(x_n^-)\subset I[/mm] mit
> [mm]x_n^-\le\xi\le\x_n^+[/mm] sowie [mm]0
> alle [mm]n\in\IN[/mm]. Dann ist
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n^+)-f(x_n^-)}{x_n^+-x_n^-}=f'(\xi)[/mm]
Hallo,
vielleicht ist Dir dies nützlich:
[mm] \lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n^+)-f(x_n^-)}{x_n^+-x_n^-}
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to\infty}(\bruch{f(x_n^+)-f(\xi)}{x_n^+-\xi}\*\bruch{x_n^+-\xi}{x_n^+-x_n^-}+\bruch{f(\xi)-f(x_n^-)}{\xi-x_n^-}\*\bruch{\xi-x_n^-}{x_n^+-x_n^-})
[/mm]
Gruß v Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 So 04.05.2008 | | Autor: | pelzig |
Danke erstmal für eure Ideen. Das jetzt genau technisch auszuführen scheint mir grad doch ganz schön aufwendig zu sein, aber man kann es sich auf jeden Fall folgendermaßen plausibel machen:
Betrachte [mm]\Delta(x_1,x_2):=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}[/mm], (das sind also die Sekantensteigungen von [mm]f[/mm] an den entspr. Punkten), dann ist für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] eine der folgenden Ungleichungen erfült (!):
(1) [mm]\Delta(\xi,x_n^-)\le\Delta(x_n^+,x_n^-)\le\Delta(x_n^+,\xi)[/mm]
(2) [mm]\Delta(\xi,x_n^-)\ge\Delta(x_n^+,x_n^-)\ge\Delta(x_n^+,\xi)[/mm]
(Das sollte man sich vielleicht mal mit einem Bildchen veranschaulichen, es gilt sogar für beliebige (z.B. unstetige) Funktionen. Diese Tatsache hat eine hübsche geometrische Bedeutung, nämlich dass man für 3 beliebige Funktionswerte immer eine Funktion [mm] $\phi$finden [/mm] kann, die zwischen diesen Punkten komplett konvex oder komplett konkav ist, daraus folgen dann auch die entsprechend Ungleichungen - (1), falls [mm] $\phi$ [/mm] dort konvex ist, und (2) falls [mm] $\phi$ [/mm] konkav ist. Ist [mm] $\phi$ [/mm] konvex und konkav (also linear), so sind beide Ungleichungen erfüllt.
Ein Problem ist hierbei, dass unter den geforderten Voraussetzungen auch mal [mm] $x_n^+=\xi$ [/mm] oder [mm] $x_n^-=\xi$ [/mm] (jedoch nicht beides gleichzeitig) sein kann, dann existieren die Sekantensteigungen natürlich nicht)
Das heißt [mm]\Delta(x_n^+,x_n^-)\in\left(\Delta(\xi,x_n^-),\Delta(x_n^+,\xi)\right)=:I_n[/mm] für alle n.
Mit den etwas stärkeren Voraussetzungen (Monotonie) bilden die [mm] $I_n$ [/mm] eine Intervallschachtelung, und es folgt die Behauptung sofort.
Ohne die Monotonie wird es technisch etwas schwieriger...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 So 04.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du da aufschreibst setzt die differenzierbarkeit von f bie [mm] \xi [/mm] nicht vorraus, also reicht es auch nicht!
Gruss leduart
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(Frage) überfällig | | Datum: | 00:11 Mo 05.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Was du da aufschreibst setzt die differenzierbarkeit von f
> bie [mm]\xi[/mm] nicht vorraus, also reicht es auch nicht!
Also wenn ich wie oben [mm]\left(\Delta(\xi,x_n^-),\Delta(x_n^+,\xi)\right)=:I_n[/mm] betrachte, dann ist [mm] $I_n$ [/mm] eine Intervallschachtelung, eben weil die Folgen [mm]\Delta(\xi,x_n^-),\Delta(x_n^+,\xi)[/mm], wegen der Differenzierbarkeit von [mm]f[/mm] in [mm]\xi[/mm], gegen [mm]f'(\xi)[/mm] konvergieren. Da außerdem [mm]\forall n\in\IN:\Delta(x_n^+,x_n^-)\in I_n[/mm], muss [mm]\lim_{n\to\infty}\Delta(x_n^+,x_n^-)=f'(\xi)[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 07.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Di 06.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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