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Differenzenquotient Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:38 Mo 21.09.2015
Autor: Paivren

Hallo Leute,

ich habe eine Frage zu einer Übungsaufgabe.


Im Zuge eines Beweises muss ich zeigen, dass für eine stetig diff'bare Funktion f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] gilt:

[mm] \limes_{\delta\rightarrow 0} sup_{|z|<\delta} \bruch{|f(x+z)-f(x)|}{|z|} [/mm] = |f'(x)|

Es ist anschaulich ja klar, aber wie kann ich streng mathematisch aus dem [mm] \limes_{\delta\rightarrow 0} sup_{|z|<\delta} [/mm] ein [mm] \limes_{|z| \rightarrow 0} [/mm] machen?

Es hat irgendwas mit Stetigkeiten zu tun, aber... keine Ahnung ?_?


Gruß

Paivren

        
Bezug
Differenzenquotient Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:17 Di 22.09.2015
Autor: hippias

Die Aussage ist tatsaechlich nicht schwer zu beweisen und die Stetigkeit der Ableitung wird nach meiner Ansicht nicht gebraucht, ebensowenig wie die Betraege.

Fange an wie immer bei Grenzwerten: Sei [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Muessen nun ein [mm] $\delta_{0}>0$ [/mm] auffinden so, dass [mm] $|\sup_{z<\delta}\frac{f(x+z)-f(x)}{z}-f'(x)|<\varepsilon$ [/mm] fuer alle [mm] $\delta<\delta_{0}$. [/mm]

Betrachte nun die Grenzwertdefinition der Ableitung. Du wirst sehen, dass sich [mm] $|\sup_{z<\delta}\frac{f(x+z)-f(x)}{z}-f'(x)|$ [/mm] gut abschaetzen laesst.

Bezug
        
Bezug
Differenzenquotient Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Di 22.09.2015
Autor: fred97

Ich möchte etwas ausführlicher antworten, als mein Vorredner.

Sei x [mm] \in \IR [/mm] fest.

Für z [mm] \ne [/mm] 0 zei [mm] q(z):=|\frac{f(x+z)-f(x)}{z}|, [/mm]

für [mm] \delta>0 [/mm] sei [mm] Q_{\delta}:=\{q(z): 0<|z|< \delta\} [/mm]

und es sei [mm] s_{\delta}:=\sup Q_{\delta}. [/mm]

Dass [mm] \sup Q_{\delta} [/mm] für hinr. kleines [mm] \delta [/mm] ex. muss noch gezeigt werden ! Das kommt im weiteren Verlauf.

So, nun ist zu zeigen:

    [mm] $\limes_{\delta \rightarrow 0}s_{\delta}=|f'(x)|$. [/mm]

Zunächst ist es nicht klar, dass der Grenzwert [mm] \limes_{\delta \rightarrow 0}s_{\delta} [/mm] existiert !

Das versuche nun Du, zu beweisen. Im Folgenden setze ich die Ex. von [mm] \limes_{\delta \rightarrow 0}s_{\delta} [/mm] voraus.


Wir geben ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] vor. Da $q(z) [mm] \to [/mm] |f'(x)|$  für z [mm] \to [/mm] 0, ex. ein r>0 mit:



[mm] |f'(x)|-\varepsilon
Sei 0< [mm] \delta \le [/mm] r, dann:

(1) [mm] |f'(x)|-\varepsilon
Jetzt sieht man, dass [mm] s_{\delta}:=\sup Q_{\delta} [/mm] für 0< [mm] \delta \le [/mm] r existiert !

Aus (1) folgt nun

(2)  [mm] |f'(x)|-\varepsilon \le s_{\delta} \le |f'(x)|+\varepsilon [/mm]  für 0< [mm] \delta \le [/mm] r.

So jetzt bist Du dran: begründe genau warum und wie nun

    [mm] $\limes_{\delta \rightarrow 0}s_{\delta}=|f'(x)|$ [/mm]

folgt.

FRED

Bezug
                
Bezug
Differenzenquotient Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:17 Do 24.09.2015
Autor: Paivren

Danke euch beiden für die Antwort.

Fred, ich habe Deinen Beweis nachvollziehen können.


[mm] \limes_{\delta \rightarrow 0}s_{\delta}=|f'(x)| [/mm]

erhält man, indem man [mm] \epsilon [/mm] --> 0 laufen lässt. Man macht die Umgebung um |f'(x)| also immer enger.
Das hat zur Folge, dass r --> 0 läuft und da man stets [mm] |\delta| [/mm] < r wählen kann, ist auch [mm] \delta [/mm] --> 0.

Man erhält:
|f'(x)| [mm] \le \limes_{\delta\rightarrow0}s_{\delta} \le [/mm] |f'(x)| für [mm] \epsilon [/mm] --> 0 und daraus folgt die Behauptung.

Nur DASS der Grenzwert existiert, kann ich nicht zeigen :(


Bezug
                        
Bezug
Differenzenquotient Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:30 Do 24.09.2015
Autor: fred97


> Danke euch beiden für die Antwort.
>  
> Fred, ich habe Deinen Beweis nachvollziehen können.
>  
>
> [mm]\limes_{\delta \rightarrow 0}s_{\delta}=|f'(x)|[/mm]
>  
> erhält man, indem man [mm]\epsilon[/mm] --> 0 laufen lässt. Man
> macht die Umgebung um |f'(x)| also immer enger.
>  Das hat zur Folge, dass r --> 0 läuft und da man stets

> [mm]|\delta|[/mm] < r wählen kann, ist auch [mm]\delta[/mm] --> 0.


Nein !

Wir haben zu gewähltem [mm] \varepsilon [/mm] ein r mit


$ [mm] |f'(x)|-\varepsilon \le s_{\delta} \le |f'(x)|+\varepsilon [/mm] $  für 0< $ [mm] \delta \le [/mm] $ r.

Setzen wir voraus dass $ [mm] \limes_{\delta\rightarrow0}s_{\delta} [/mm] \ $  ex., so folgt mit [mm] \delta \to [/mm] 0:

$ [mm] |f'(x)|-\varepsilon \le \limes_{\delta\rightarrow0}s_{\delta} \le |f'(x)|+\varepsilon [/mm] $

Mit [mm] \varepsilon \to [/mm] 0 folgt nun

|f'(x)|=  [mm] \limes_{\delta\rightarrow0}s_{\delta} [/mm]

Zur Ex. von  $ [mm] \limes_{\delta\rightarrow0}s_{\delta} [/mm] \ $ :  für [mm] \delta \to [/mm] 0 fällt [mm] s_{\delta} [/mm] und ist nach unten beschränkt.

FRED

  

>  
> Man erhält:
>  |f'(x)| [mm]\le \limes_{\delta\rightarrow0}s_{\delta} \le[/mm]
> |f'(x)| für [mm]\epsilon[/mm] --> 0 und daraus folgt die
> Behauptung.
>  
> Nur DASS der Grenzwert existiert, kann ich nicht zeigen :(
>  


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