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| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion f durch [mm] F(x)=x^2 [/mm] +3. Berechnen Sie die Steigung der Tangente im Punkt P(a/f(a)) mit Hilfe des Differenzenquotienten! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebes Forum,
ich habe eine Aufgabe bekommen, wo ich nicht wirklich weiterkomme. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen:
Ich weiß wie ich die Steigung mit Ableitung berechne, aber das ist ja nicht gefragt. Daher stehe ich sehr auf dem Schlauch.
Der Differenzenquotienten bilde ich mit [mm] \bruch{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}.
[/mm]
Aber ich verstehe nicht, welche Werte ich einsetze. Ich habe einen Punkt (x0=a), wofür ich die Steigung berechnen soll. Aber um die Steigung zu berechnen, muss ich mich ja dem Punkt immer weiter nähern. Also brauche ich den Punkt x1.
Über den Limes nähere ich mich dann wieder an.
Ich verstehe aber einfach nicht, wie ich den zweiten Punkt finden kann.
Ich freue mich über jeden Tipp. Es geht mir keinenfalls darum, Hausaufgaben gemacht zu bekommen. Vielen Dank schon jetzt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Fr 22.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei die Funktion f durch [mm]F(x)=x^2[/mm] +3. Berechnen Sie
> die Steigung der Tangente im Punkt P(a/f(a)) mit Hilfe des
> Differenzenquotienten!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Liebes Forum,
> ich habe eine Aufgabe bekommen, wo ich nicht wirklich
> weiterkomme. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen:
> Ich weiß wie ich die Steigung mit Ableitung berechne, aber
> das ist ja nicht gefragt. Daher stehe ich sehr auf dem
> Schlauch.
> Der Differenzenquotienten bilde ich mit
> [mm]\bruch{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}.[/mm]
> Aber ich verstehe nicht, welche Werte ich einsetze. Ich
> habe einen Punkt (x0=a), wofür ich die Steigung berechnen
Hallo, das ist nur eine einzelne Koordinate. Der Punkt ist [mm] P_0(x_0|x_0^2+3).
[/mm]
> soll. Aber um die Steigung zu berechnen, muss ich mich ja
> dem Punkt immer weiter nähern. Also brauche ich den Punkt
> x1.
> Über den Limes nähere ich mich dann wieder an.
> Ich verstehe aber einfach nicht, wie ich den zweiten Punkt
> finden kann.
Wie wäre es mit [mm] (x_1|x_1^2+3)?
[/mm]
Gruß Abakus
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> Ich freue mich über jeden Tipp. Es geht mir keinenfalls
> darum, Hausaufgaben gemacht zu bekommen. Vielen Dank schon
> jetzt!
>
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Vielen Dank für deine Antwort, aber...
...Sorry, das verstehe ich nicht.
Wäre es sehr gegen das Prinzip des Forums, wenn du mir den Weg bzw. die Lösung vorgeben würdest, damit ich es nachvollziehen kann?
Was soll ich denn nun mit den Punkten machen. Ich kann es natürlich einsetzen:
[mm] \bruch{x_1^2+3 - (x_0^2+3)}{x_1-x_0}
[/mm]
Aber wie gehe ich denn weiter vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Fr 22.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank für deine Antwort, aber...
>
> ...Sorry, das verstehe ich nicht.
> Wäre es sehr gegen das Prinzip des Forums, wenn du mir den
> Weg bzw. die Lösung vorgeben würdest, damit ich es
> nachvollziehen kann?
> Was soll ich denn nun mit den Punkten machen. Ich kann es
> natürlich einsetzen:
> [mm]\bruch{x_1^2+3 - (x_0^2+3)}{x_1-x_0}[/mm]
> Aber wie gehe ich
> denn weiter vor?
>
Die beiden Dreien subtrahieren sich weg, und die verbleibende Differenz der beiden Quadrate schreit geradezu nach einer binomischen Formel...
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> > Vielen Dank für deine Antwort, aber...
> >
> > ...Sorry, das verstehe ich nicht.
> > Wäre es sehr gegen das Prinzip des Forums, wenn du mir den
> > Weg bzw. die Lösung vorgeben würdest, damit ich es
> > nachvollziehen kann?
> > Was soll ich denn nun mit den Punkten machen. Ich kann
> es
> > natürlich einsetzen:
> > [mm]\bruch{x_1^2+3 - (x_0^2+3)}{x_1-x_0}[/mm]
> > Aber wie gehe
> ich
> > denn weiter vor?
> >
> Die beiden Dreien subtrahieren sich weg, und die
> verbleibende Differenz der beiden Quadrate schreit geradezu
> nach einer binomischen Formel...
>
Da hast du natürlich recht, darauf könnte ich auch selbst kommen:
[mm] \bruch{x_1^2+3 - (x_0^2+3)}{x_1-x_0}
[/mm]
[mm] \bruch{x_1^2 - x_0^2}{x_1-x_0}
[/mm]
[mm] \bruch{(x_1 + x_0)*(x_1 - x_0)}{x_1-x_0}
[/mm]
[mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_0)
[/mm]
Aber wie ist nun mein Ergebnis? Es wurde ja nach der Steigung im Punkt a gefragt. Leider ist mir das noch nicht klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Fr 22.05.2009 | | Autor: | abakus |
> > > Vielen Dank für deine Antwort, aber...
> > >
> > > ...Sorry, das verstehe ich nicht.
> > > Wäre es sehr gegen das Prinzip des Forums, wenn du mir den
> > > Weg bzw. die Lösung vorgeben würdest, damit ich es
> > > nachvollziehen kann?
> > > Was soll ich denn nun mit den Punkten machen. Ich
> kann
> > es
> > > natürlich einsetzen:
> > > [mm]\bruch{x_1^2+3 - (x_0^2+3)}{x_1-x_0}[/mm]
> > > Aber wie
> gehe
> > ich
> > > denn weiter vor?
> > >
> > Die beiden Dreien subtrahieren sich weg, und die
> > verbleibende Differenz der beiden Quadrate schreit geradezu
> > nach einer binomischen Formel...
> >
> Da hast du natürlich recht, darauf könnte ich auch selbst
> kommen:
>
> [mm]\bruch{x_1^2+3 - (x_0^2+3)}{x_1-x_0}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x_1^2 - x_0^2}{x_1-x_0}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(x_1 + x_0)*(x_1 - x_0)}{x_1-x_0}[/mm]
>
> [mm](x_1[/mm] + [mm]x_0)[/mm]
Hallo,
bis hier ist doch alles Top.
Nun denke daran, dass du vor sämtlichen Termen der Umformungskette eigentlich stehen haben müsstest:
[mm] \limes_{x_1\rightarrow x_0}....
[/mm]
Wie groß ist [mm] \limes_{x_1\rightarrow x_0}[/mm] [mm](x_1[/mm] + [mm]x_0)[/mm]?
(Wie groß wird [mm] x_1, [/mm] wenn [mm] x_1 [/mm] gegen [mm] x_0 [/mm] geht?)
Gruß Abakus
>
> Aber wie ist nun mein Ergebnis? Es wurde ja nach der
> Steigung im Punkt a gefragt. Leider ist mir das noch nicht
> klar.
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> > Da hast du natürlich recht, darauf könnte ich auch selbst
> > kommen:
> >
> > [mm]\bruch{x_1^2+3 - (x_0^2+3)}{x_1-x_0}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{x_1^2 - x_0^2}{x_1-x_0}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{(x_1 + x_0)*(x_1 - x_0)}{x_1-x_0}[/mm]
> >
> > [mm](x_1[/mm] + [mm]x_0)[/mm]
> Hallo,
> bis hier ist doch alles Top.
> Nun denke daran, dass du vor sämtlichen Termen der
> Umformungskette eigentlich stehen haben müsstest:
> [mm]\limes_{x_1\rightarrow x_0}....[/mm]
> Wie groß ist
> [mm]\limes_{x_1\rightarrow x_0}[/mm] [mm](x_1[/mm] + [mm]x_0)[/mm]?
> (Wie groß wird [mm]x_1,[/mm] wenn [mm]x_1[/mm] gegen [mm]x_0[/mm] geht?)
> Gruß Abakus
Natürlich, du hast so recht. [mm] x_1 [/mm] geht gegen [mm] x_0 [/mm] und damit ist folgendes Ergebnis vorhanden:
[mm]\limes_{x_1\rightarrow x_0}[/mm] [mm](x_1[/mm] + [mm]x_0)[/mm] = [mm] 2x_0
[/mm]
Das entspricht ja auch der Ableitung f'(x)=2x.
Eine kleine Frage noch: Ich der Aufgabenstellung stand ja nun, dass ich die Steigung im Punkt (a | f(a)) bestimmen sollte.
Diese Formel [mm] \bruch{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}} [/mm] habe ich aus dem Internet.
Korrekterweise müsste es dann so aussehen:
[mm] {\limes_{x_{1}\rightarrow\{a}}}\bruch{f(x_{1})-f(a)}{x_{1}-a}
[/mm]
Richtig?
Vielen Dank nochmal & einen schönen Abend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Fr 22.05.2009 | | Autor: | abakus |
> > > Da hast du natürlich recht, darauf könnte ich auch selbst
> > > kommen:
> > >
> > > [mm]\bruch{x_1^2+3 - (x_0^2+3)}{x_1-x_0}[/mm]
> > >
> > > [mm]\bruch{x_1^2 - x_0^2}{x_1-x_0}[/mm]
> > >
> > > [mm]\bruch{(x_1 + x_0)*(x_1 - x_0)}{x_1-x_0}[/mm]
> > >
> > > [mm](x_1[/mm] + [mm]x_0)[/mm]
> > Hallo,
> > bis hier ist doch alles Top.
> > Nun denke daran, dass du vor sämtlichen Termen der
> > Umformungskette eigentlich stehen haben müsstest:
> > [mm]\limes_{x_1\rightarrow x_0}....[/mm]
> > Wie groß ist
> > [mm]\limes_{x_1\rightarrow x_0}[/mm] [mm](x_1[/mm] + [mm]x_0)[/mm]?
> > (Wie groß wird [mm]x_1,[/mm] wenn [mm]x_1[/mm] gegen [mm]x_0[/mm] geht?)
> > Gruß Abakus
>
> Natürlich, du hast so recht. [mm]x_1[/mm] geht gegen [mm]x_0[/mm] und damit
> ist folgendes Ergebnis vorhanden:
> [mm]\limes_{x_1\rightarrow x_0}[/mm] [mm](x_1[/mm] + [mm]x_0)[/mm] = [mm]2x_0[/mm]
> Das entspricht ja auch der Ableitung f'(x)=2x.
>
> Eine kleine Frage noch: Ich der Aufgabenstellung stand ja
> nun, dass ich die Steigung im Punkt (a | f(a)) bestimmen
> sollte.
> Diese Formel [mm]\bruch{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}[/mm] habe
> ich aus dem Internet.
> Korrekterweise müsste es dann so aussehen:
>
> [mm]{\limes_{x_{1}\rightarrow\{a}}}\bruch{f(x_{1})-f(a)}{x_{1}-a}[/mm]
> Richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen Dank nochmal & einen schönen Abend
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