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| Aufgabe | Die Differenzenfolge der Folge [mm] 0,1,4,9,16,25,...,$n^2$ [/mm] ist die Folge der negativen ungeraden Zahlen -1,-3,-5,...,-(2n-1). Somit folgt [mm] -1,-3,-5,-(2n-1)=0-$n^2$, [/mm] also gilt für die Summe der ersten n Zahlen
[mm] 1+3+5+7+9+...+(2n-1)=$n^2$
[/mm]
Addieren Sie 2+4+6+...+2n zu beiden Seiten dervorstehenden Gleichung und zeigen Sie:
[mm] 1+2+3+...+2n=$\frac{2n}{2} [/mm] (2n+1)$
Addieren Sie noch (2n+1) auf beidn Seiten und zeigen Sie dann das bekannte Resultat
[mm] 1+2+3+...+n=$\frac{n}{2} [/mm] (n+1)$ |
Hallo Mathefreunde,
ich bin gerade dabei aus dem wissenschaftlich-historischen Sachbuch 3000 Jahre Analysis von Thomas Sonar Aufgaben zu reschnen.
Die meisten von ihnen habe ich bereits gelöst, aber bei dieser hänge ich gerade ein wenig und bedürfte ein wenig eurer Hilfe  .
Hier ist mein Ansatz:
$ 1+3+5+...+(2n-1)=n² | +(2+4+6+...+2n)
[mm] \iff [/mm] 1+2+3+...+(2n-1)+(2n)= n²+2(1+2+3+...+n)
[mm] \iff 1+2+3+...+(2n)=n²+2(\frac{n(n+1)}{2})-(2n-1)=\frac{2n}{2}(n+1)+n²-2n+1$
[/mm]
Mein Problem ist, dass ich nicht zum gewünschten Ergebniss komme. Könntet ihr mir bitte noch ein paar Kunstgriffe zeigen?
Vielen Dank schon mal im Vorraus.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
Du setzt hier etwas voraus, dass Du erst zeigen sollst.
> Die Differenzenfolge der Folge 0,1,4,9,16,25,...,[mm]n^2[/mm] ist
> die Folge der negativen ungeraden Zahlen
> -1,-3,-5,...,-(2n-1). Somit folgt -1,-3,-5,-(2n-1)=0-[mm]n^2[/mm],
> also gilt für die Summe der ersten n Zahlen
Hier fehlt ein wesentliches Wort: ...die Summe der ersten n ungeraden Zahlen.
> 1+3+5+7+9+...+(2n-1)=[mm]n^2[/mm]
>
> Addieren Sie 2+4+6+...+2n zu beiden Seiten dervorstehenden
> Gleichung und zeigen Sie:
>
> 1+2+3+...+2n=[mm]\frac{2n}{2} (2n+1)[/mm]
>
> Addieren Sie noch (2n+1) auf beidn Seiten und zeigen Sie
> dann das bekannte Resultat
>
> 1+2+3+...+n=[mm]\frac{n}{2} (n+1)[/mm]
> Hallo Mathefreunde,
>
> ich bin gerade dabei aus dem wissenschaftlich-historischen
> Sachbuch 3000 Jahre Analysis von Thomas Sonar Aufgaben zu
> reschnen.
>
> Die meisten von ihnen habe ich bereits gelöst, aber bei
> dieser hänge ich gerade ein wenig und bedürfte ein wenig
> eurer Hilfe .
>
> Hier ist mein Ansatz:
>
> $ 1+3+5+...+(2n-1)=n² | +(2+4+6+...+2n)
> [mm]\iff[/mm] 1+2+3+...+(2n-1)+(2n)= n²+2(1+2+3+...+n)
Das ist nicht geschickt. Jetzt musst Du die rechte Klammer irgendwie zusammenfassen, und dazu brauchst Du schon das Ergebnis, das Du zeigen sollst.
> [mm]\iff 1+2+3+...+(2n)=n²+2(\frac{n(n+1)}{2})-(2n-1)=\frac{2n}{2}(n+1)+n²-2n+1$[/mm]
...und deswegen funktioniert dieser Weg auch nicht.
> Mein Problem ist, dass ich nicht zum gewünschten Ergebniss
> komme. Könntet ihr mir bitte noch ein paar Kunstgriffe
> zeigen?
Bequemer wäre es ja, hier mit dem Summenzeichen zu arbeiten. Ich nehme an, das soll sozusagen aus historischen Gründen vermieden werden.
In dem Schritt, in dem Du [mm] 2+4+\cdots+(2n) [/mm] addierst, kannst Du auch anders zusammenfassen. Das sind ja die ersten n geraden Zahlen. Dabei ist jede gerade Zahl auch darzustellen als Summe aus der nächstkleineren ungeraden Zahl plus eins, so dass die Summe der ersten n geraden Zahlen also ist:
[mm] 2+4+\cdots+(2n)=(1+1)+(3+1)+\cdots+(2n-1+1)=1+3+\cdots+(2n-1)+n*1=n^2+n
[/mm]
Damit gehts dann oben weiter.
> Vielen Dank schon mal im Vorraus.
voraus, heraus, herum, daraus, darum haben alle nur ein "r".
Grüße
reverend
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Hallo Reverend,
danke für die Tipps. Es hat alles geklappt. Sorry, dass ich mich so spät melde, aber momentan habe ich voll die Erkältung :-S.
Liebe Grüße
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 So 13.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Christoph,
> danke für die Tipps. Es hat alles geklappt. Sorry, dass
> ich mich so spät melde,
Kein Problem.
> aber momentan habe ich voll die
> Erkältung :-S.
Na dann: gute Besserung!
Ich habe meine gerade hinter mir, hat aber volle vier Wochen gedauert, mit extremer Heiserkeit und Husten und allem drum und dran. Hoffentlich gehts bei Dir schneller und besser.
Herzliche Grüße
reverend
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