Differenzialgleichung lösen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hey Leute,
In den letzten Tagen haben wir Diffrenzialgleichungn gelöst welche den Exponentielen,logistischen... Wachstum beschrieben. Da konnte man den Trick anwenden indem man mit [mm] e^{x} [/mm] erweitert hat und die Porduktregel umgekehrt werden musste. Jetzt sollen wir die Differnezialgleichung x*f'*ln(x)-1=0 lösen. Und zwar mit allen Lösungen da keine Anfangsbedingung gegeben ist. Meine Fragen:
1. Wie wird die Gleichung gelöst?
2. Welchen Wachstum beschreibt diese Gleichung?
3.Wie viele Lösungen gibts es denn?
Gruss defjam
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Hallo defjam!
Hier wendet man die Methode "Trennung der Variablen" an. Das heißt: alle Terme mit $x_$ auf die eine Seite,alle Werte mit $y \ = \ [mm] \f(x)$ [/mm] auf die andere.
Das ergibt dann:
$$y' \ = \ [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x*\ln(x)}$$
[/mm]
$$dy \ = \ [mm] \bruch{1}{x*\ln(x)} [/mm] \ dx$$
[mm] $$\blue{\integral}{dy} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{\bruch{1}{x*\ln(x)} \ dx}$$
[/mm]
Das Integral auf der rechten Seite kannst Du nun mittels Substitution $z \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] lösen.
Gruß vom
Roadrunner
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danke,
Ich hab jetzt substituirt und komme auf folgende Gleichung:
[mm] F=\integral_{}^{}{\bruch{1}{e^{z}*z} dz}
[/mm]
Das ist denke ich schonma richtig?
Mein Ergebnis: [mm] F=-e^{-z}(1+\bruch{1}{z^{2}})
[/mm]
Gruss
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Hallo defjam,
[mm] $\integral \;dy [/mm] = [mm] \integral \bruch{1}{x*ln(x)} \;dx$
[/mm]
Substitution: ln(x) = u
[mm] $\bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] somit dx = x*du
also
[mm] $\integral \;dy [/mm] = [mm] \integral \bruch{1}{x*ln(x)} \;dx [/mm] = [mm] \integral \bruch{1}{x*u}*x \;du [/mm] = [mm] \integral \bruch{1}{u} \;du [/mm] = ln|u| + C$
$y = ln|u| + C$
Dann resubstituieren.
LG, Martinius
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dankeschön
wenn die Diffrenzialgleichung jetzt f:x+f'*ln(x)-1=0 lautet:
erstmal Variabeltrennung also [mm] f:x+ln(x)=\bruch{1}{f'}.
[/mm]
Was könnt ich jetzt machen?
Gruss
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Hallo defjam,
> dankeschön
>
> wenn die Diffrenzialgleichung jetzt f:x+f'*ln(x)-1=0
> lautet:
>
> erstmal Variabeltrennung also [mm]f:x+ln(x)=\bruch{1}{f'}.[/mm]
> Was könnt ich jetzt machen?
Was genau meinst Du mit f:x ? Entweder f(x) oder [mm] \bruch{f}{x} [/mm] .
Wenn Du f(x) meinst, ist die DGL aufstellen kein Problem. Das Lösen aber um so mehr.
[mm] $y+ln(x)*\bruch{dy}{dx} [/mm] = 1$
[mm] $ln(x)*\bruch{dy}{dx} [/mm] = 1-y$
[mm] $\integral \bruch{1}{1-y} \;dy [/mm] = [mm] \integral \bruch{1}{ln(x)} \;dx$
[/mm]
Das Problem ist hier das rechte Integral; das gibt es laut meiner Formelsammlung nur als Reihenentwicklung.
Bist Du sicher, dass die Aufgabe so stimmt?
LG, Martinius
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Hey,
unsere Lehrer hats genauso aufgeschrieben. Denke ist mit gemeint [mm] \bruch{f}{x}
[/mm]
Gruss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 23.01.2008 | | Autor: | guenther |
Warum so kompliziert?
Wenn y = ln(u)+ C und u = ln(x)
folgt schlicht und einfach y= K * ln(ln(x))
guenther
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Mi 23.01.2008 | | Autor: | defjam123 |
danke!
Ich stell mich grad etwas dumm an. Warum muss ich y und u benutzen? versteh das grad gar nicht
Gruss
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Hallo defjam,
wenn deine Gleichung
[mm] $\bruch{y}{x}+ln(x)*\bruch{dy}{dx} [/mm] = 1$
lautet, kann man sie lösen. Du musst sie zuerst in eine homogene DGL und eine inhomogene DGL aufteilen. Zuerst löst Du die homogene Gleichung durch Separation der Variablen, dann, mit Variation der Konstanten, die inhomogene.
Ich weiß allerdings nicht, ob ihr das schon in der Schule gemacht habt.
Die homogene DGL lautet:
[mm] $\bruch{y}{x}+ln(x)*\bruch{dy}{dx} [/mm] = 0$
[mm] $ln(x)*\bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] -\bruch{y}{x}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{y}*\bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x*ln(x)}$
[/mm]
[mm] $\integral \bruch{1}{y} \;dy [/mm] = [mm] -\integral \bruch{1}{x*ln(x)}\;dx$
[/mm]
Das rechte Integral löst Du mit Substitution, wie oben gehabt: u = ln(x)
[mm] $\integral \bruch{1}{y} \;dy [/mm] = [mm] -\integral \bruch{1}{u}\;du$
[/mm]
$ln|y| = -ln|u| + C'$
$ln|y| = [mm] ln\left(\bruch{1}{|u|}\right) [/mm] + C'$
$y = [mm] C*\bruch{1}{ln(x)}$
[/mm]
So. Jetzt die Variation der Konstanten:
$y = [mm] C(x)*\bruch{1}{ln(x)}$
[/mm]
$y' = [mm] C'(x)*\bruch{1}{ln(x)}-C(x)*\bruch{1}{x*(ln(x))^2}$
[/mm]
Jetzt Einsetzen in die inhomogene DGL:
[mm] $\bruch{y}{x}+ln(x)*y' [/mm] = 1$
[mm] $C(x)*\bruch{1}{x*ln(x)}+C'(x) -C(x)*\bruch{1}{x*ln(x)}= [/mm] 1$
$C'(x) = 1$
[mm] $\integral \;dC(x) [/mm] = [mm] \integral [/mm] 1 [mm] \;dx$
[/mm]
$C(x) = x + D$
Das jetzt einsetzen in die homogene DGL:
$y = [mm] C(x)*\bruch{1}{ln(x)}$
[/mm]
$y = [mm] \bruch{x+D}{ln(x)}$
[/mm]
Das wäre die Lösung deiner DGL. Wenn Du willst, kannst Du sie überprüfen, indem Du sie ableitest und in die inhomogene DGL einsetzt.
LG, Martinius
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Danke dir!
homogen oder inhomgen hatten wir nicht in der Schule. Was ist denn die Bedeutung?
Lg
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Hallo defjam,
eine homogene DGL 1. Ordnung sieht so aus:
$y'+f(x)*y =0$
Eine inhomogene DGL 1. Ordnung sieht so aus:
$y'+f(x)*y =g(x)$
Da steht eine "Störfunktion" g(x) auf der rechten Seite anstelle der 0.
Bei deinem Bsp. ist die Störfunktion g(x) eine konstante Funktion g(x) = 1.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Do 24.01.2008 | | Autor: | leduart |
hallo
Ich bin eigentlich sicher, dass dein Lehrer keine so komplizierte Dgl. von dir verlangt. So was kann man nicht mal einfach können.
Also musst du dich mit der Aufgabe vertan haben (oder er!) vielleicht hat er auch ein : geschrieben in der Form f: ist gegeben durch x+lnx=1/f' oder ähnliches.
Jetzt das zu lernen was dir Martinius erklärt hat, kann dein L nicht wollen!
Gruss leduart
es gibt den Mut zur fehlenden HA!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:09 Do 24.01.2008 | | Autor: | defjam123 |
Hey
hatte nochmal 2 schüler nachgefragt. Die Differenzialgleichung war [mm] \bruch{f}{x}+f'*ln(x)-1=0 [/mm] als Hausaufgabe.
Das richtig Ergebnis von der Gleichung hatten auch schon 2 Schüler die ich gefragt hab.
Lg
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Danke für deine Hilfe
> Hallo defjam,
>
> wenn deine Gleichung
>
> [mm]\bruch{y}{x}+ln(x)*\bruch{dy}{dx} = 1[/mm]
>
> lautet, kann man sie lösen. Du musst sie zuerst in eine
> homogene DGL und eine inhomogene DGL aufteilen. Zuerst löst
> Du die homogene Gleichung durch Separation der Variablen,
> dann, mit Variation der Konstanten, die inhomogene.
>
> Ich weiß allerdings nicht, ob ihr das schon in der Schule
> gemacht habt.
>
> Die homogene DGL lautet:
>
> [mm]\bruch{y}{x}+ln(x)*\bruch{dy}{dx} = 0[/mm]
>
> [mm]ln(x)*\bruch{dy}{dx} = -\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{y}*\bruch{dy}{dx} = -\bruch{1}{x*ln(x)}[/mm]
>
> [mm]\integral \bruch{1}{y} \;dy = -\integral \bruch{1}{x*ln(x)}\;dx[/mm]
>
> Das rechte Integral löst Du mit Substitution, wie oben
> gehabt: u = ln(x)
>
> [mm]\integral \bruch{1}{y} \;dy = -\integral \bruch{1}{u}\;du[/mm]
>
Warum ist die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{y} [/mm] ->ln|y| und nicht einfach nur ln(y)
>
> [mm]ln|y| = -ln|u| + C'[/mm]
>
> [mm]ln|y| = ln\left(\bruch{1}{|u|}\right) + C'[/mm]
>
>
> [mm]y = C*\bruch{1}{ln(x)}[/mm]
Wie komm ich zu dieser Gleichung? Nach der Rücksubstituieren wird auf der linken Seite aus ln|y| aufeinmal y. Warum das?
>
>
> So. Jetzt die Variation der Konstanten:
>
> [mm]y = C(x)*\bruch{1}{ln(x)}[/mm]
>
> [mm]y' = C'(x)*\bruch{1}{ln(x)}-C(x)*\bruch{1}{x*(ln(x))^2}[/mm]
>
Wie man auf die Ableitung von y' versteh ich nicht ganz
> Jetzt Einsetzen in die inhomogene DGL:
>
> [mm]\bruch{y}{x}+ln(x)*y' = 1[/mm]
>
> [mm]C(x)*\bruch{1}{x*ln(x)}+C'(x) -C(x)*\bruch{1}{x*ln(x)}= 1[/mm]
>
> [mm]C'(x) = 1[/mm]
>
> [mm]\integral \;dC(x) = \integral 1 \;dx[/mm]
>
> [mm]C(x) = x + D[/mm]
>
> Das jetzt einsetzen in die homogene DGL:
>
> [mm]y = C(x)*\bruch{1}{ln(x)}[/mm]
>
> [mm]y = \bruch{x+D}{ln(x)}[/mm]
>
> Das wäre die Lösung deiner DGL. Wenn Du willst, kannst Du
> sie überprüfen, indem Du sie ableitest und in die
> inhomogene DGL einsetzt.
Gruss
>
> LG, Martinius
>
>
>
>
>
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Hallo defjam,
wo gehst Du denn zur Schule? In Bayern vielleicht und Mathe-LK? Aus deinem Profil erfährt man ja nichts.
> Danke für deine Hilfe
>
> > Hallo defjam,
> >
> > wenn deine Gleichung
> >
> > [mm]\bruch{y}{x}+ln(x)*\bruch{dy}{dx} = 1[/mm]
> >
> > lautet, kann man sie lösen. Du musst sie zuerst in eine
> > homogene DGL und eine inhomogene DGL aufteilen. Zuerst löst
> > Du die homogene Gleichung durch Separation der Variablen,
> > dann, mit Variation der Konstanten, die inhomogene.
> >
> > Ich weiß allerdings nicht, ob ihr das schon in der Schule
> > gemacht habt.
> >
> > Die homogene DGL lautet:
> >
> > [mm]\bruch{y}{x}+ln(x)*\bruch{dy}{dx} = 0[/mm]
> >
> > [mm]ln(x)*\bruch{dy}{dx} = -\bruch{y}{x}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1}{y}*\bruch{dy}{dx} = -\bruch{1}{x*ln(x)}[/mm]
> >
> > [mm]\integral \bruch{1}{y} \;dy = -\integral \bruch{1}{x*ln(x)}\;dx[/mm]
>
> >
> > Das rechte Integral löst Du mit Substitution, wie oben
> > gehabt: u = ln(x)
> >
> > [mm]\integral \bruch{1}{y} \;dy = -\integral \bruch{1}{u}\;du[/mm]
>
> >
> Warum ist die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{y}[/mm] ->ln|y| und
> nicht einfach nur ln(y)
Weil der Logarithmus nicht für negative Zahlen definiert ist. Zumindest im Raum der reellen Zahlen nicht.
> > [mm]ln|y| = -ln|u| + C'[/mm]
> >
> > [mm]ln|y| = ln\left(\bruch{1}{|u|}\right) + C'[/mm]
> >
> >
> > [mm]y = C*\bruch{1}{ln(x)}[/mm]
> Wie komm ich zu dieser Gleichung?
> Nach der Rücksubstituieren wird auf der linken Seite aus
> ln|y| aufeinmal y. Warum das?
Beide Seiten der Gleichung
[mm]ln|y| = ln\left(\bruch{1}{|u|}\right) + C'[/mm]
werden zum Exponenten von e erhoben. So fällt der Logarithmus weg. Dann steht da erst einmal:
[mm]|y| = \bruch{1}{|u|} * e^{C'}[/mm]
Jetzt resubstituiert man
[mm]|y| = \bruch{1}{|ln(x)|} * e^{C'}[/mm]
Jetzt löst man noch die Betragsstriche auf, und sieht, dass es für positives und negatives y die gleiche Lösung gibt (das gleiche gilt dann für den ln(x)), also wird aus dem positiven Faktor [mm] e^{C'} [/mm] der reelle Faktor C, der sowohl positiv als auch negativ sein kann.
[mm]y = C*\bruch{1}{ln(x)} [/mm]
> >
> > So. Jetzt die Variation der Konstanten:
> >
> > [mm]y = C(x)*\bruch{1}{ln(x)}[/mm]
> >
> > [mm]y' = C'(x)*\bruch{1}{ln(x)}-C(x)*\bruch{1}{x*(ln(x))^2}[/mm]
>
> >
> Wie man auf die Ableitung von y' versteh ich nicht ganz
Das ist nur die Anwendung der Produktregel.
$(u(x)*v(x))' = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)$
mit u(x) = C(x) und v(x) = [mm] \bruch{1}{ln(x)}
[/mm]
> > Jetzt Einsetzen in die inhomogene DGL:
> >
> > [mm]\bruch{y}{x}+ln(x)*y' = 1[/mm]
> >
> > [mm]C(x)*\bruch{1}{x*ln(x)}+C'(x) -C(x)*\bruch{1}{x*ln(x)}= 1[/mm]
>
> >
> > [mm]C'(x) = 1[/mm]
> >
> > [mm]\integral \;dC(x) = \integral 1 \;dx[/mm]
> >
> > [mm]C(x) = x + D[/mm]
> >
> > Das jetzt einsetzen in die homogene DGL:
> >
> > [mm]y = C(x)*\bruch{1}{ln(x)}[/mm]
> >
> > [mm]y = \bruch{x+D}{ln(x)}[/mm]
> >
> > Das wäre die Lösung deiner DGL. Wenn Du willst, kannst Du
> > sie überprüfen, indem Du sie ableitest und in die
> > inhomogene DGL einsetzt.
>
> Gruss
> >
> > LG, Martinius
LG & Gute Nacht, Martinius
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Hey!
Hab ja geschrieben, dass wie davor die Diffrenzialgleichung mit der Produktregel "umgekehrt" gelöst haben.
Wäre das nicht einfach möglich bei [mm] \bruch{f}{x}+ln(x)*f'=1 [/mm] die Produktregel wieder Rückwärts anzuwenden auf der linken Seite. Dann bekommt man bei der Stammfunktion Bildung das Ergebnis: f*ln(x)=x+d. Umgeformt ergibt das ja dann [mm] f(x)=\bruch{x+d}{ln(x)}. [/mm]
Gruss
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Hallo defjam,
> Hey!
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> Hab ja geschrieben, dass wie davor die Diffrenzialgleichung
> mit der Produktregel "umgekehrt" gelöst haben.
> Wäre das nicht einfach möglich bei [mm]\bruch{f}{x}+ln(x)*f'=1[/mm]
> die Produktregel wieder Rückwärts anzuwenden auf der linken
> Seite. Dann bekommt man bei der Stammfunktion Bildung das
> Ergebnis: f*ln(x)=x+d. Umgeformt ergibt das ja dann
> [mm]f(x)=\bruch{x+d}{ln(x)}.[/mm]
Ja, das geht und ist natürlich viel einfacher. Diese Möglichkeit ist mir gar nicht ins Auge gefallen. Da hab ich wieder etwas dazu gelernt.
Prinzipiell ist es ja egal, wie man eine DGL löst - Hauptsache man kommt auf eine Lösung.
LG, Martinius
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