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Forum "Differenzialrechnung" - Differenzialquotient
Differenzialquotient < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Differenzialquotient: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Mo 04.09.2017
Autor: Mathilda1

Aufgabe
f(x) [mm] x^2 [/mm] - 5*x und x0 = -4

Berechne den Differenzialquotient mit der x-Methode.

Ich bin bis hierhin gekommen:

=lim [mm] x^2 [/mm] - 5*x - 36 / x+ 4

Nun fehlt mir die Idee, wie es weiter gehen könnte. Erweitern, binomische Formeln und Ausklammern haben nicht geklappt!?

Ich bräuchte eine Idee, was ich nun tun kann und was muss eigentlich als Ergebnis rauskommen.
Vielen Dank

        
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Differenzialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Mo 04.09.2017
Autor: Chris84

Halloe

> f(x) [mm]x^2[/mm] - 5*x und x0 = -4
>  
> Berechne den Differenzialquotient mit der x-Methode.
>  Ich bin bis hierhin gekommen:
>  
> =lim [mm]x^2[/mm] - 5*x - 36 / x+ 4

Klammern setzen hilft :)
Du meinst

[mm] $\lim\limits_{x\rightarrow -4} \frac{x^2-5x-36}{x+4}$ [/mm]

>  
> Nun fehlt mir die Idee, wie es weiter gehen könnte.
> Erweitern, binomische Formeln und Ausklammern haben nicht
> geklappt!?
>  
> Ich bräuchte eine Idee, was ich nun tun kann und was muss
> eigentlich als Ergebnis rauskommen.
>  Vielen Dank

Davon mal abgesehen, teile den Zaehler mal auf in [mm] $(x^2-16)+(-5x-20)$. [/mm]
Hilft das?

Mfg,
Chris


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Differenzialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Mo 04.09.2017
Autor: chrisno

Also ich bin dafür den Zähler als Produkt zu schreiben. Der eine Term des Produkts ist (x+4), denn Du willst ja gerne den Nenner heraus kürzen. Der andere Faktor muss mit x beginnen. Also [mm] $x^2 [/mm] - 5 x - 36 = (x + 4)(x ...)$

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Differenzialquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:32 Mo 04.09.2017
Autor: Chris84


> Also ich bin dafür den Zähler als Produkt zu schreiben.
> Der eine Term des Produkts ist (x+4), denn Du willst ja
> gerne den Nenner heraus kürzen. Der andere Faktor muss mit
> x beginnen. Also [mm]x^2 - 5 x - 36 = (x + 4)(x ...)[/mm]

Hallo chrisno
Ich hatte aehnliches im Sinn... Ich habe nur gehofft, dass man das (x+4) rausziehen einfacher sieht, wenn man erstmal den quadratischen Term und den linearen Term trennt.

Nicht jeder sieht sofort, was in die Klammer $(x...)$ muss ;)

Aber natuerlich auch eine Moeglichkeit ;)

Gruss,
Chris

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Differenzialquotient: Hinweis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 Mo 04.09.2017
Autor: HJKweseleit

Wenn die behandelte Funktion ein Polynom ist, lässt sich der Differenzenquotient immer ohne Rest durch den Nenner dividieren, falls man keinen Rechenfehler gemacht hat. Das Bedeutet, dass man den Nenner immer im Zähler als Faktor ausklammern kann.

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Differenzialquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:36 Mo 04.09.2017
Autor: Marcel

Hallo,

> Wenn die behandelte Funktion ein Polynom ist, lässt sich
> der Differenzenquotient immer ohne Rest durch den Nenner
> dividieren, falls man keinen Rechenfehler gemacht hat. Das
> Bedeutet, dass man den Nenner immer im Zähler als Faktor
> ausklammern kann.

na dann ein Hinweis zum Hinweis:
Ist [mm] $f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$ [/mm] mit [mm] $a_0, a_1,...,a_n \in \IC$ [/mm] konstant und $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] fest,
so kann man sich für $h [mm] \in \IC$ [/mm] mal

    $f(x+h)-f(x)$

angucken.

Insbesondere erstmal bei einem Monom $x [mm] \mapsto x^k$ [/mm] ($k [mm] \in \IN_0$ [/mm] fest)

    [mm] $m(x)=m_k(x):=x^k$ [/mm]

erstmal

    [mm] $m(x+h)-m(x)\,,$ [/mm]

unter Beachtung der allgemeinen binomischen Formel...

Wichtig ist halt, weil man ja später $(m(x+h)-m(x))/h$ betrachtet,  wie bei den
Summanden von $m(x+h)-m(x)$ der Faktor [mm] $h\,$ [/mm] in welcher Potenz vorkommt (also, welchen
Exponenten er jeweils hat).

Gruß,
  Marcel

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Differenzialquotient: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Di 05.09.2017
Autor: Mathilda1

Aufgabe
f(x) = [mm] (x^2)-(5*x) [/mm] und x0 = -4

Berechne den Differenzialquotient mit der x-Methode

Ich habe diese Aufgabe schon einmal in das Forum gestellt, allerdings haben mir die Antworten nicht so recht weitergeholfen.
Den Tipp (x-4) auszuklammern habe ich schon ausprobiert, allerdings kann man doch die Summe, die der Zähler ja ist, nicht einfach rauskürzen, oder?
Wie könnte man noch vorgehen?
Vielen Dank.

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Differenzialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Di 05.09.2017
Autor: chrisno

Bitte schreibe mal auf, was Du erhalten hast, nachdem Du den Zähler als Produkt dargestellt hast, wie ich es vorgeschlagen habe.
Du kannst auch den Zähler als Summe schreiben, wie es Chris84 vorgeschlagen hat. Dann kannst Du aus beiden Summanden einen Faktor herausziehen. Das ist genau der Faktor, den Du brauchst, um den Nenner weg zu

>  Wie könnte man noch vorgehen?
>  Vielen Dank.

kürzen.

Aber .... schreib mal auf, wie weit Du bist, nicht nur mit Worten.

> ...
>  Den Tipp (x-4) auszuklammern habe ich schon ausprobiert,

Wie sieht es dann aus?

> allerdings kann man doch die Summe, die der Zähler ja ist,
> nicht einfach rauskürzen, oder?

Du willst nicht die Summe des Zählers herauskürzen, sondern den Faktor (x-4) aus dem Bruch, also Nenner und Zähler herauskürzen.

Da habe ich auch zur Verwirrung beigetragen. Herausgekürzt werden soll (x + 4).

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Differenzialquotient: So weit bin ich
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Di 05.09.2017
Autor: Mathilda1

Aufgabe
f(x) = [mm] (x^2)-(5*x) [/mm] und x0 = -4

Ermittle den Differenzialquotient mit der x-Methode.

Bis jetzt bin ich so weit gekommen, kann mir jemand weiterhelfen?

lim [((x-4)*(x+4)-5x-20)/(x+4)]
Danke

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Differenzialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Di 05.09.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> f(x) = [mm](x^2)-(5*x)[/mm] und x0 = -4

>

> Ermittle den Differenzialquotient mit der x-Methode.
> Bis jetzt bin ich so weit gekommen, kann mir jemand
> weiterhelfen?

>

> lim [((x-4)*(x+4)-5x-20)/(x+4)]
> Danke

Das ist zwar nicht falsch, jedoch viel zu umständlich. Mache es so:

[mm]\begin{aligned} \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}&=\frac{f(x)-f(-4)}{x+4}\\ &=\frac{x^2-5x-36}{x+4}\\ &=\frac{x^2+4x-9x-36}{x+4}\\ &.\\ &. \end{aligned}[/mm]

Siehst du, was ich gemacht habe? Aus -5x habe ich 4x-9x gebildet, damit ich die +4x hinter das [mm] x^2 [/mm] bekomme. Jetzt kann man im Zähler den Faktor (x+4) ausklammern und dann kürzen. Probiere es!


Gruß, Diophant

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Differenzialquotient: "h-Methode"
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:30 Di 05.09.2017
Autor: Marcel

Warum rechnet man nicht mit der "h-Methode" (so nennt man die, glaube ich
in den Schulen):
Für $h [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] betrachte man

    [mm] $\frac{f(-4+h)-f(-4)}{h}$ [/mm]

Es hat den Vorteil, dass man viel besser sieht, was bei

    [mm] $f(-4+h)-f(-4)\,$ [/mm]

entscheidend ist... und man muss sich auch nicht so viele Gedanken machen,
wo nun "die Differenz" [mm] $x-x_0$ [/mm] (was hier nichts anderes als [mm] $h=x-x_0=x-(-4)$ [/mm] ist)
auftaucht.

Wenn man natürlich "Späße" wie "Terme reinschmuggeln, um was wegzukürzen;
Polynomdivision..." oder sowas üben will, dann kann man das alles so
machen. Aber gerade bei Differentialquotienten von Polynomen würde
ich immer vorschlagen, das mit dieser "h-Methode" zu machen.
Das erkennt man, wenn man es bei einem Monom gemacht hat. Und
natürlich dann auch weiß, dass die Ableitung einer Summe zweier diffbarer
Funktionen die Summe derer Ableitungen ist (bspw.) und ähnliches...

P.S. Ich würde hier sogar am Liebsten schrittweise vorgehen, und erstmal
für [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] dann $g'(-4)$ "mit der h-Methode" ermitteln lassen usw...

Gruß,
  Marcel

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Differenzialquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:37 Di 05.09.2017
Autor: Diophant

Hallo Marcel,

mit der sog. 'h-Methode' gebe ich dir uneingeschränkt Recht. Insbesondere entspricht sie ja (bis auf die Schreibweise) der Leibnizschen Version des Differenzenquotienten.

Nur in der Ausgangsfrage war halt die x-Methode verlangt.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
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Differenzialquotient: ohhh... hatte ich übersehen :)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Di 05.09.2017
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel,
>  
> mit der sog. 'h-Methode' gebe ich dir uneingeschränkt
> Recht. Insbesondere entspricht sie ja (bis auf die
> Schreibweise) der Leibnizschen Version des
> Differenzenquotienten.
>  
> Nur in der Ausgangsfrage war halt die x-Methode verlangt.

ach, verdammt - ich hatte komplett übersehen, dass da etwas von der
x-Methode steht.

Danke für den Hinweis!!

Gruß,
  Marcel

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Differenzialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Di 05.09.2017
Autor: HJKweseleit


> f(x) = [mm](x^2)-(5*x)[/mm] und x0 = -4
>  
> Ermittle den Differenzialquotient mit der x-Methode.
>  Bis jetzt bin ich so weit gekommen, kann mir jemand
> weiterhelfen?
>  
> lim [((x-4)*(x+4)-5x-20)/(x+4)]
>  Danke


Das ist doch schon gut. Natürlich kannst du jetzt nicht mit (x-4) kürzen, weil das nur in einem Summanden vorkommt. Aber:

[mm] \bruch{(x-4)*(x+4)-5x-20}{x+4}= \bruch{(x-4)*(x+4)-5*(x+4)}{1*(x+4)}= [/mm] ... Jetzt kannst du den gemeinsamen Faktor (x+4) im Zähler ausklammern; dann wird er ein Faktor des GESAMTEN Zählers, und dann...???

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Differenzialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:28 Mo 04.09.2017
Autor: Marcel

Hallo,

> f(x) [mm]x^2[/mm] - 5*x und x0 = -4
>  
> Berechne den Differenzialquotient mit der x-Methode.

man kann das natürlich mit

    [mm] $\lim_{x \to \blue{-4}}\frac{f(x)-f(\blue{-4})}{x-(\blue{-4})}$ [/mm]

berechnen...

Was auch geht:

    [mm] $\lim_{\blue{\epsilon}\to 0} \frac{f(-4+\blue{\epsilon})-f(4)}{\blue{\epsilon}}$ [/mm]

Warum weise ich darauf hin? Weil

    [mm] $f(-4+\blue{\epsilon})-f(-4)$ [/mm]

    [mm] $=(-4+\blue{\epsilon})^2-5*(-4+\blue{\epsilon})-\left\{(-4)^2-5*(-4)\right\}$ [/mm]

    [mm] $=(-4)^2+2*(-4)*\blue{\epsilon}+\blue{\epsilon}^2+20-5*\blue{\epsilon}-(-4)^2-20$ [/mm]

    [mm] $=\epsilon^2+2\epsilon*(-4)-5\epsilon$ [/mm]

    [mm] $=\epsilon^2+\epsilon\,*\,(2*(-4)-5)\,.$ [/mm]

Also

    [mm] $\frac{f(-4+\epsilon)-f(-4)}{\epsilon}=\epsilon+2*(-4)-5\,.$ [/mm]

Beachte dabei, dass in [mm] $\lim_{\epsilon \to 0}...$ [/mm] gemeint ist, dass $0 [mm] \not=\epsilon \to [/mm] 0$ gilt...

Zudem: Wir nehmen (obwohl wir [mm] $\epsilon$ [/mm] geschrieben haben) NICHT an, dass
[mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Nur: [mm] $\epsilon \in \IR \setminus \{0\}\,.$ [/mm]

(Wenn Du das unschön findest, dann schreibe etwa [mm] $h\,$ [/mm] statt [mm] $\epsilon$...) [/mm]

Gruß,
  Marcel

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Differenzialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Di 05.09.2017
Autor: X3nion

Hallo!

Kommt man gar nicht weiter, so führt man einmal eine Polynomdivision durch (hattet ihr die schon?)

Damit sieht man ganz leicht: [mm] \frac{x^2 - 5x - 36}{x+4} [/mm] = ...


Viele Grüße,
X3nion

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