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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Sa 24.03.2007 | | Autor: | redo |
| Aufgabe | In welchem Punkt [mm] P_0 (x_0/f(x_0)) [/mm] ist die Tangente an den Graphen von f parallel zur Geraden y= 1/2x + 2?
Berrechnen Sie die Ableitung mit dem Differenzenquotienten.
a) [mm] f(x)=1/2x^2
[/mm]
b) [mm] f(x)=4\wurzel{x}
[/mm]
c) [mm] f(x)=2x-3x^2 [/mm] |
dazu versteh ich nur Bahnhof...
ich bräuchte eine Lösung und die Definition...
wir schreiben am Dienstag eine Arbeit...und ich hab echt keine Ahnung...
ich würde mich freun, wenn mir dabei helfen könnte!
lg redo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Sa 24.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin redo,
> In welchem Punkt [mm]P_0 (x_0/f(x_0))[/mm] ist die Tangente an den
> Graphen von f parallel zur Geraden y= 1/2x + 2?
>
> Berrechnen Sie die Ableitung mit dem
> Differenzenquotienten.
>
> a) [mm]f(x)=1/2x^2[/mm]
meinst du wirklich differenzenquotient oder nicht doch den differentialquotienten?
ok. der differenzenquotient errechnet die steigung aus dem verhältnis der veränderung der y-Werte zur veränderung der x-werte. als ergebnis erhälst du die sekantensteigung!!
m = [mm] \bruch{y2 -y1}{x2 -x1}
[/mm]
du wählst dir zwei punkte
x1=0
x2=1
und rechnest dazu die zugehörigen y-werte aus.
y1= 0
y2= [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
m= [mm] \bruch{0,5 - 0}{1 - 0} [/mm]
m= 0,5
mit anderen worten, die steigung der funktion von 0 bis 1 beträgt 0,5. das ist die sekantensteigung. wir wissen aber damit noch nicht, wie die steigung der funktion zwischen 0 und 1 verläuft!!
dies steht hier nur zur verdeutlichung was der differenzenquotient ist. da sich die steigung bei einer parabel fortlaufend verändert, ist das ermittelte ergebnis nicht brauchbar.
dazu macht man dann eine grenzwertbetrachtung...
wobei man den unterschied zwischen x1 und x2 immer kleiner werden läßt.
da man aber nicht durch null teilen kann, muss man mit dem limes arbeiten. dazu vielleicht später mehr.
wenn danach gefragt ist, in welchem punkt bzw. welchen punkten die tangente an den graphen parallel zur geraden g ist, dann muss gelten:
f'(x) = m d.h. hier: f'(x)= 0,5
für f'(x) gilt: f'(x)= x => an der stelle x=0,5 hat die tangente an den
graphen dieselbe steigung wie die gerade g.
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Sa 24.03.2007 | | Autor: | redo |
hey
danke schonmal...aber ich versteh es immer noch nicht ganz!
und es heißt Differentenquotinenten!
kannst du die Aufgaben mal berechen, die in der Aufgabenstellung geschrieben habe...vielleicht kann ich mir dann ein besseres bild machn...!
dankeschön
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Sa 24.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
ok redo,
ja zunächst ist es der differenzenquotient...
m = [mm] \bruch{ f(x_0 + h) - f(x_0) }{x_0+h - x_0}
[/mm]
hierbei entspricht
[mm] f(x_0 [/mm] +h)=y2
[mm] f(x_0)=y1
[/mm]
[mm] x_0+h=x2
[/mm]
[mm] x_0=x1
[/mm]
m = [mm] \bruch{ f(x_0 + h) - f(x_0) }{x_0+h - x_0}
[/mm]
beispiel:
f(x)= 0,5 [mm] x^2
[/mm]
f(x+h)= [mm] 0,5*(x+h)^2
[/mm]
m = [mm] \bruch{ (0,5*(x_0+h)^2) - 0,5*x_0^2 }{x_0+h - x_0}
[/mm]
m = [mm] \bruch{ 0,5*x_0^2 +0,5*2x_0*h +0,5*h^2 - 0,5*x_0^2 }{h}
[/mm]
m = [mm] \bruch{x_0*h +0,5*h^2}{h}
[/mm]
m = [mm] \bruch{h* (x_0 +0,5*h)}{h}
[/mm]
hier kann ich h kürzen!
m = [mm] x_0 [/mm] +0,5*h
dies ist aber immernoch die sekantensteigung
übergang vom differenzenquotienten zum differentialquotienten
erst die grenzwertbetrachtung, die ist zwingend!!, liefert die tangentensteigung bzw. die ableitungsfunktion:
[mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0} x_0 [/mm] +0,5*h
[mm] f'(x_0)= x_0
[/mm]
da dies für jedes x gilt, folgt daraus außerdem
f'(x)= x
probiers mal! und poste mal deine lösungen / versuche.
gruß
wolfgang
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