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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Di 27.07.2010 | | Autor: | Dust |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=e^-x[/mm]
Aufgabe a) Stellen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f für eine beliebige aber feste Stelle x=u auf.
Aufgabe b) Für welches u hat das Dreieck, das aus der tangente von Teil a) und den beiden Koordinatenachsen gebildet wird, maximalen Flächeninhalt? |
Hallo.
Bei aufgabe a) Zuerst bestimme ich die Steigung in dem ich die erste Ableitung von e^-x bestimme.
[mm] f(x)= e^-x ; f'(x)=-e^-x [/mm]
Jetzt wende ich die Punktsteigerungsform an.
[mm] Term= m*(x-x_1)+f(x_1) [/mm]
Ich wähle x=1
[mm] Term = -e^-1*(x-1) + e^-x [/mm]
Der Term der Tangete lautet = -0,3678x + 0,7352
Ich glaube , dass das richtig ist.
Aber bei Teil b) verstehe ich die Frage nicht richtig. Soll ich aus dem oben angegeben Term die Fläche des Dreieck berechnen? Oder soll ich ein x bestimmen, bei dem die Fläche des Dreieck unter dem Graphen am größten ist?
Vielen Dank schon mal für euere Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Dust!
> Bei aufgabe a) Zuerst bestimme ich die Steigung in dem ich
> die erste Ableitung von e^-x bestimme.
> [mm]f(x)= e^-x ; f'(x)=-e^-x[/mm]
> Jetzt wende ich die Punktsteigerungsform an.
> [mm]Term= m*(x-x_1)+f(x_1)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich wähle x=1
> [mm]Term = -e^-1*(x-1) + e^-x[/mm]
> Der Term der Tangete lautet = -0,3678x + 0,7352
Prinzipiell ist Dein Weg korrekt. Allerdings sollst Du die Tangentengleichung nicht für $x \ = \ 1$ aufstellen sondern für $x \ = \ u$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Dust!
> Aber bei Teil b) verstehe ich die Frage nicht richtig.
> Soll ich aus dem oben angegeben Term die Fläche des
> Dreieck berechnen? Oder soll ich ein x bestimmen, bei dem
> die Fläche des Dreieck unter dem Graphen am größten ist?
Zunächst benotigst Du die Tangentengleichung für allgemeines $x \ = \ u$ aus Teilaufgabe a.)
Dann solltest Du Dir eine Skizze machen und anschließend von dieser Tangente den y-Achsenabschnitt sowie die Nullstelle bestimmen.
Damit erhältst Du eine Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes. Für diese Funktion ist dann eine Extremwertberechnung durchzuführen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Di 27.07.2010 | | Autor: | Dust |
x=u
Ich verstehe das jetzt so das ich [mm] x_1 [/mm] durch u ersetzte.
[mm] Term = -e ^{-u} * (x-u) +f(u) [/mm]
[mm] Term= -e^{-u} x + e^{-u} u +f(u) [/mm]
Dann ist
[mm] 0 = -e^{-u} x + e^{-u} u +f(u) [/mm] | + [mm] e^{-u} [/mm] x
[mm] e^{-u}x= e^{-u} u +f(u) [/mm] | : [mm] e^{-u} [/mm]
[mm] x= \bruch {e^{-u} u+f(u)} { e^{-u}} [/mm]
Dann ist für [mm] x=0 [/mm]
[mm] y=-e^{-u} x + e^{-u} u + f(u) [/mm]
[mm] y= e^{-u} u + f(u) [/mm]
Wenn ich das so richtig gemacht habe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Mi 28.07.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Dust!
> Ich verstehe das jetzt so das ich [mm]x_1[/mm] durch u ersetzte.
>
> [mm]Term = -e ^{-u} * (x-u) +f(u)[/mm]
> [mm]Term= -e^{-u} x + e^{-u} u +f(u)[/mm]
Und was ist nun $f(u)_$ ? Dafür kannst Du doch einen bekannten Term einsetzen.
Damit vereinfachen sich auch etwas die Folgerechnungen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:31 Do 29.07.2010 | | Autor: | Dust |
Guten Morgen
Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreieck lautet:
[mm] A= \bruch{1} {2} *g *h [/mm]
Das das Dreieck das gesucht wird rechtwinkelig ist , ist
[mm] h=y=e^{-u} u+ f(u) [/mm]
g ist die Wurzel aus [mm] \wurzel {\left ( \bruch { e^{-u} u + f(u)} { e^{-u} } \right)^2 + ( e^{-u} u +f(u) )^2} [/mm]
Die gesuchte Formel würde dann lauten:
[mm] A= \bruch{1} {2}* (e^{-u} u + f(u))* \wurzel {\left ( \bruch { e^{-u} u + f(u)} { e^{-u} } \right)^2 + ( e^{-u} u +f(u) )^2} [/mm]
Bevor ich jetzt anfange das ganze auszumultiplizieren, würde ich gerne wissen ob Ich auf den richtigen Weg bin. Ich würde dann damit anfangen die beiden Gleichungen unter der Wurzel auf einen Nenner zu bringen. Und vielen Dank schon mal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Dust
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> Guten Morgen
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> Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreieck lautet:
>
> [mm]A= \bruch{1} {2} *g *h[/mm]
>
> Das das Dreieck das gesucht wird rechtwinkelig ist , ist
>
> [mm]h=y=e^{-u} u+ f(u)[/mm]
Hallo,
ja, und wenn das die Höhe ist, dann ist die Grundseite g, auf der die Höhe steht, doch gerade der x-Achsenabschnitt der Tangente, den Du zuvor ausgerechnet hattest, also g= ...
Beachte Loddars Hinweis: was ist denn f(u)?
Gruß v. Angela
>
> g ist die Wurzel aus [mm]\wurzel {\left ( \bruch { e^{-u} u + f(u)} { e^{-u} } \right)^2 + ( e^{-u} u +f(u) )^2}[/mm]
>
> Die gesuchte Formel würde dann lauten:
>
> [mm]A= \bruch{1} {2}* (e^{-u} u + f(u))* \wurzel {\left ( \bruch { e^{-u} u + f(u)} { e^{-u} } \right)^2 + ( e^{-u} u +f(u) )^2}[/mm]
>
> Bevor ich jetzt anfange das ganze auszumultiplizieren,
> würde ich gerne wissen ob Ich auf den richtigen Weg bin.
> Ich würde dann damit anfangen die beiden Gleichungen unter
> der Wurzel auf einen Nenner zu bringen. Und vielen Dank
> schon mal.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Gruß Dust
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Do 29.07.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
f(u)= [mm] e^{-x}
[/mm]
Dann ist
[mm] A= \bruch{1} {2} *(e^{-u} u + e^{-u}) *\wurzel {\left ( \bruch { e^{-u} u + e^{-u}} { e^{-u} } \right)^2 + ( e^{-u} u + e^{-u} )^2}[/mm]
Ausklammern von [mm] e^{-u} [/mm] ergibt.
[mm] A= \bruch{1} {2} * (e^{-u} * (u+1) ) \wurzel {\left ( \bruch { e^{-u} * (u+1)} { e^{-u} } \right)^2 + ( e^{-u} * (u+1))^2} [/mm]
Kürzen von [mm] e^{-u} [/mm] ergibt.
[mm] A= \bruch{1} {2} * (e^{-u} * (u+1) ) \wurzel { (u+1)^2 + ( e^{-u} * (u+1))^2} [/mm]
Um die Fläche des Dreieck zu berechnen brauche ich die Hypothenuse als Grundseite g. Der Ausdruck unter der Wurzel ist gleich der Hypothenuse.
Aber wenn g = gleich dem x-Achsenabschitt der Tangete ist, dann wäre die Gegenkathete die Grundseite.
Wahrscheinlich verstehe ich hier etwas falsch.
Vielen Dank für euere Hilfe.
Gruß Dust
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Du bist beratungresistent !
Jetzt mal Dir dochmal das Dreieck auf !
Als Grundseite kannst Du die Seite nehmen, die auf der x -Achse liegt und als Höhe die Seite, die auf der y-Achse liegt.
Wer hat Dir denn befohlen in einem rechtwinkeligen Dreieck als Grundseite die Hypothenuse zu nehmen ???
Zur Kontrolle: für den Flächeninhalt erhälst Du:
$A(u)= [mm] \bruch{(u+1)^2e^{-u}}{2}$
[/mm]
FRED
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