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| Aufgabe | f(x) = [mm] x^3*\wurzel{x^2+1}
[/mm]
Diese Funktion soll abgeleitet werden!
1. Abletiung f'(x) |
Hallo und guten Abend,
ich habe die oben genannte Aufgabe soweit ich konnte differenziert.
Danach habe ich meinen Mathelehrer gefragt ob er mir diese Funktion weiter zusammenfassen kann.
Zu der von meinem Mathelehrer gemachten Zusammenfassung habe ich eine kleine Frage.
Zunächst Mal die von mir gemachte Ableitung:
f'(x) = [mm] 3x^2*\wurzel{x^2+1} [/mm] + [mm] x^3*\bruch{1}{2}\wurzel{x^2+1}*2x
[/mm]
Abgeleitet nach Produktregel und Kettenregel.
Soweit ist es laut meinem Lehrer auch korrekt.
Jetzt seine Zusammenfassung:
f'(x) = [mm] 3x^2*\wurzel{x^2+1} [/mm] + [mm] x^4/\wurzel{x^2+1}
[/mm]
[mm] (x^4 [/mm] soll über der Wurzel stehen)
f'(x) = [mm] 3x^2+(x^2+1)+x^4/\wurzel{x^2+1}
[/mm]
[mm] (\wurzel{x^2+1} [/mm] soll unter der Gleichung stehen)
f'(x) = [mm] 3x^4+3x^2+x^4/\wurzel{x^2+1}
[/mm]
[mm] (\wurzel{x^2+1} [/mm] soll unter der Gleichung stehen)
f'(x) = [mm] 4x^4+3x^2/\wurzel{x^2+1}
[/mm]
[mm] (\wurzel{x^2+1} [/mm] soll unter der Gleichung stehen)
Soweit habe ich auch alles nachvollziehen können.
Nur eine kleine Stelle verstehe ich nicht (2. Zusammenfassung. nachstehend nochmal)
f'(x) = [mm] 3x^2+(x^2+1)+x^4/\wurzel{x^2+1}
[/mm]
[mm] (\wurzel{x^2+1} [/mm] soll unter der Gleichung stehen)
Wie kommt man von der Wurzel die auf dem Bruchstrich steht auf die Klammer mit [mm] x^2+1 [/mm] ???
Wenn ich eine Wurzel in Klammer darstelle müsste ich doch normalerweise hoch 1/2 schreiben.
Oder welchen Schritt hat mein Mathelehrer da gemacht???
Hat er mit irgendetwas die Wurzel gekürzt, sodaß ich die Wurzel nur noch als Klammer stehen habe???
Ich hoffe ihr könnt mein Problem nachvollziehen.
Vielen Dank schonmal für eure Mithilfe.
Gruß,
Stephan
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Hallo,
du hast leider einen Fehler gemacht:
[mm] u=x^{3}
[/mm]
[mm] u'=3x^{2}
[/mm]
[mm] v=\wurzel{x^{2}+1}=(x^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] v'=\bruch{1}{2}(x^{2}+1)^{-\bruch{1}{2}}*2x=\bruch{2x}{2*(x^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}}=\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+1}}
[/mm]
jetzt Produktenregel
somit erkennst du deinen Fehler und die Ableitung deines Lehrers
Steffi
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| Aufgabe | | f(x) = [mm] x^3*\wurzel{x^2+1} [/mm] |
Hallo und vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Ich habe nochmals meinen Rechenweg nachgeprüft und komme nun zu folgendem Ergebnis:
f(x) = [mm] x^3*\wurzel{x^2+1}
[/mm]
So wie ich die Aufgabe sehe ist es eine Vermischung von Produkt und Kettenregel.
Zunächst Mal die Produktregel allgemein:
f'*g+f*g'
f'(x) = [mm] 3x^2*\wurzel{x^2+1} [/mm] + [mm] x^3*\bruch{1}{2}*\wurzel{x^2+1}*2x
[/mm]
Soweit müsste meine Differenzierung doch stimmen, oder?
Nun kann ich natürlich die Wurzeln auch in einer anderen Schreibweise darstellen.
f'(x) = [mm] 3x^2*(x^2+1)^\bruch{1}{2}+ x^3*\bruch{1}{2}*(x^2+1)^\bruch{-1}{2}
[/mm]
Ist das soweit richtig? Und ist diese Schreibweise mit hoch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] überhaupt notwendig?
Gruß,
Stephan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Fr 02.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> f(x) = [mm]x^3*\wurzel{x^2+1}[/mm]
> Hallo und vielen Dank für die schnelle Hilfe.
>
> Ich habe nochmals meinen Rechenweg nachgeprüft und komme
> nun zu folgendem Ergebnis:
>
> f(x) = [mm]x^3*\wurzel{x^2+1}[/mm]
>
> So wie ich die Aufgabe sehe ist es eine Vermischung von
> Produkt und Kettenregel.
Korrekt
>
> Zunächst Mal die Produktregel allgemein:
>
> f'*g+f*g'
Auch korrekt
>
> f'(x) = [mm]3x^2*\wurzel{x^2+1}[/mm] +
> [mm]x^3*\bruch{1}{2}*\wurzel{x^2+1}*2x[/mm]
>
> Soweit müsste meine Differenzierung doch stimmen, oder?
Nicht ganz, ich weiss jetzt allerdings nicht, ob das "nur" ein Schreibfehler im Formeleditor ist.
Die Ableitung von [mm] \wurzel{x²+1} [/mm] ist [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x²+1}}*2x=\bruch{x}{\wurzel{x²+1}}
[/mm]
Also ist [mm] f'(x)=3x^2*\wurzel{x^2+1}+x^3*\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
[mm] =3x^2*\wurzel{x^2+1}+x^3*\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
[mm] =3x^2*\wurzel{x^2+1}+\bruch{x^{4}}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
[mm] =3x^2*\wurzel{x^2+1}+\bruch{x^{4}\wurzel{x²+1}}{x^2+1}
[/mm]
[mm] =\wurzel{x²+1}[3x²+\bruch{x^{4}}{x²+1}]
[/mm]
[mm] =\wurzel{x²+1}[\bruch{3x²(x²+1)+x^{4}}{x²+1}]
[/mm]
[mm] =\wurzel{x²+1}[\bruch{4x^{4}+3x²}{x²+1}]
[/mm]
> Nun kann ich natürlich die Wurzeln auch in einer anderen
> Schreibweise darstellen.
>
> f'(x) = [mm]3x^2*(x^2+1)^\bruch{1}{2}+ x^3*\bruch{1}{2}*(x^2+1)^\bruch{-1}{2}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig? Und ist diese Schreibweise mit hoch
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] überhaupt notwendig?
Das ist richtig, aber nicht zwingend notwendig. Höchstens, um die Ableitung von [mm] \wurzel[/mm] [m][mm] {x^{n}}=x^{\bruch{m}{n}} [/mm] zu bestimmen, was jettzt ja kein Problem mehr ist.
[mm] (x^{\bruch{m}{n}})'=(\bruch{m}{n})*x^{\bruch{m}{n}-1}
[/mm]
> Gruß,
> Stephan
Marius
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| Aufgabe | | f(x) = [mm] x^3*\wurzel{x^2+1} [/mm] |
Vielleicht hier nochmal ganz exakt zur Verdeutlichung meines Problems:
Nachfolgend die 1.Ableitung der oben genannten Funktion (Produktregel und Kettenregel kombiniert)
f'(x) = [mm] 3x^2*\wurzel{x^2+1} [/mm] + [mm] x^3*\bruch{1}{2\wurzel{x^2+1}}*2x
[/mm]
Dies ist nach der Aussage meines Mathematiklehrers korrekt !
Alles nachfolgende hat er für mich Mal zusammengefasst
f'(x) = [mm] 3x^2*\wurzel{x^2+1} [/mm] + [mm] \bruch{x^4}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{3x^2*(x^2+1)+x^4}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
Er hat da den gemeinsamen Nenner gesucht
So...und meine Frage ist:
Wie kommt mein Mathelehrer von der Wurzel [mm] \wurzel{x^2+1} [/mm] einfach in dem nächsten Schritt (beim gemeinsamen Nenner) auf die Klammer [mm] (x^2+1) [/mm] ???
Ich hoffe mein Problem wird nun deutlicher.
Viele Grüße
Stephan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Fr 02.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> f(x) = [mm]x^3*\wurzel{x^2+1}[/mm]
> Vielleicht hier nochmal ganz exakt zur Verdeutlichung
> meines Problems:
> Nachfolgend die 1.Ableitung der oben genannten Funktion
> (Produktregel und Kettenregel kombiniert)
>
> f'(x) = [mm]3x^2*\wurzel{x^2+1}[/mm] +
> [mm]x^3*\bruch{1}{2\wurzel{x^2+1}}*2x[/mm]
>
> Dies ist nach der Aussage meines Mathematiklehrers korrekt
> !
> Alles nachfolgende hat er für mich Mal zusammengefasst
>
> f'(x) = [mm]3x^2*\wurzel{x^2+1}[/mm] + [mm]\bruch{x^4}{\wurzel{x^2+1}}[/mm]
>
> f'(x) = [mm]\bruch{3x^2*(x^2+1)+x^4}{\wurzel{x^2+1}}[/mm]
>
> Er hat da den gemeinsamen Nenner gesucht
>
> So...und meine Frage ist:
> Wie kommt mein Mathelehrer von der Wurzel [mm]\wurzel{x^2+1}[/mm]
> einfach in dem nächsten Schritt (beim gemeinsamen Nenner)
> auf die Klammer [mm](x^2+1)[/mm] ???
>
> Ich hoffe mein Problem wird nun deutlicher.
>
> Viele Grüße
>
> Stephan
Um den ersten Teil auf den Gemeinsamen [mm] \wurzel{x²+1} [/mm] zu bringen, muss man mit [mm] \wurzel{x²+1} [/mm] erweitern.
Also:
[mm] 3x^2*\wurzel{x^2+1}+\bruch{x^4}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3x^2*(\wurzel{x^2+1})²}{\wurzel{x²+1}}+\bruch{x^4}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3x²*(x²+1)+x^{4}}{\wurzel{x²+1}}
[/mm]
Den Zähler kannst du jetzt noch ein wenig zusammenfassen.
Marius
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Hallo nochmal und vielen Dank für die tolle Erklärung.
Mir ist es schon richtig peinlich, aber ich habe immer noch Schwierigkeiten.
Wahrscheinlich liegt mein Problem genau darin, daß ich nicht genau weiß wie das mit dem Erweitern in diesem Fall geht.
Vielleicht kann mir das jemand nochmal etwas genauer erläutern.
Wenn ich einen normalen Bruch habe:
Bsp. [mm] \bruch{3}{4}+\bruch{1}{2}
[/mm]
Dann suche ich mir ja einen Hauptnenner, indem ich am einfachsten die Nenner mit einander multipliziere
Also [mm] \bruch{3}{4}+\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{6+4}{8}
[/mm]
nun frage ich wie oft der eine Nenner (4) in den Hauptnenner geht und nehme den einen Zähler damit Mal. Ebenso mit dem anderen.
Kann mir jemand an dem Beispiel meiner anderen Aufgabe dieses Erweitern erklären???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Fr 02.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo nochmal und vielen Dank für die tolle Erklärung.
>
> Mir ist es schon richtig peinlich, aber ich habe immer noch
> Schwierigkeiten.
> Wahrscheinlich liegt mein Problem genau darin, daß ich
> nicht genau weiß wie das mit dem Erweitern in diesem Fall
> geht.
>
> Vielleicht kann mir das jemand nochmal etwas genauer
> erläutern.
>
> Wenn ich einen normalen Bruch habe:
>
> Bsp. [mm]\bruch{3}{4}+\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Dann suche ich mir ja einen Hauptnenner, indem ich am
> einfachsten die Nenner mit einander multipliziere
>
> Also [mm]\bruch{3}{4}+\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{6+4}{8}[/mm]
>
> nun frage ich wie oft der eine Nenner (4) in den
> Hauptnenner geht und nehme den einen Zähler damit Mal.
> Ebenso mit dem anderen.
>
> Kann mir jemand an dem Beispiel meiner anderen Aufgabe
> dieses Erweitern erklären???
Dann versuche ichs mal.
Also, du hast:
[mm] 3x^2\cdot{}\wurzel{x^2+1}+\bruch{x^4}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3x^2\cdot{}\wurzel{x^2+1}}{1}+\bruch{x^4}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
Der Hauptnenner, der in diesem Fall schon der Nenner des hinteren Bruches ist, ist ja [mm] \wurzel{x²+1}
[/mm]
Also musst du "nur noch" den vorderen Bruch auf diesen Nenner bringen, also mit [mm] \wurzel{x²+1} [/mm] erweitern.
Also:
[mm] \bruch{3x^2\cdot{}\wurzel{x^2+1}}{1}+\bruch{x^4}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3x^2\cdot{}\wurzel{x^2+1}*\wurzel{x²+1}}{\wurzel{x²+1}}+\bruch{x^4}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3x²(\wurzel{x²+1})²+x^{4}}{\wurzel{x²+1}}
[/mm]
und jetzt noch den Zähler vereinfachen.
Marius
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So ich glaube ich habe jetzt alles verstanden, bis auf diesen Punkt.
Wie kürzt sich das weg, damit oben nur noch [mm] (x^2+1) [/mm] und unter dem Bruchstrich die Wurzel steht.
[mm] \bruch{(\wurzel{x^2+1})^2}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
Sorry wegen der vielen Nachfragen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Fr 02.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich nehme mal nur noch den Zähler, der Nenner bleibt so.
[mm] 3x²(\wurzel{x²+1})²+x^{4}
[/mm]
[mm] =3x²(x²+1)+x^{4} ((\wurzel{x})²=x)
[/mm]
[mm] =3x^{4}+3x²+x^{4}
[/mm]
[mm] =4x^{4}+3x²
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Fr 02.02.2007 | | Autor: | Stromberg |
Hallo nochmal,
vielen Dank für die nette und vor allem sehr gute Hilfe.
Sehr anschaulich erklärt und vor allem verständlich.
Nochmal vielen Dank
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