Differenzierbar?! < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Fr 25.05.2007 | | Autor: | cutter |
| Aufgabe | Sei f: [0,1]-> [mm] \IR [/mm] eine Lebesgue integr. Fkt. Muss die Fkt
[mm] F(x)=\integral_{0}^{x}{f(t) d\lambda(t)} [/mm] differenzierbar sein?
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Ich denke nicht,dass das stimmt, jedoch faellt mir spontan keine Fkt ein. Hat einer eine Idee ?
Liebe Grüße :)
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Unabhängig davon, was du denkst: Hast du mal versucht, den Differentialquotienten von F zu bilden? Versuch das mal...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Fr 25.05.2007 | | Autor: | cutter |
Hi
[mm] \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\integral_{}^{x+h}{f(t) d\lambda t}-\integral_{}^{x}{f(t) d\lambda t}}{h}
[/mm]
das sollte ja der diffquotient sein ...aber viel mehr sieht man hier ja auch nciht ?:)
LG
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Doch, doch. Du musst nur etwas weiterrechnen und dann den Mittelwertsatz der Integration zur Abschätzung des Integrals verwenden (die zweite Funktion ist natürlich 1).
Ach, und h geht gegen 0 ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Sa 26.05.2007 | | Autor: | cutter |
Hi ;)
deine idee finde ich ja ganz interessant ...aber mir fehlt der entscheidene Schritt die Integrale zusammen zufassen oder ueberhaupt den Quotienten zu vereinfachen....muss ich das erste integral irgendwie aufteilen ?
LG
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Na gut, dann gaaanz langsam:
[mm] \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\integral_{0}^{x+h}{f(t) d\lambda t}-\integral_{0}^{x}{f(t) d\lambda t}}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\integral_{x}^{x+h}{f(t) d\lambda t}}{h}[/mm]
Außerdem existiert nach Mittelwertsatz ein [mm] \xi \in [x, x+h] [/mm], so dass
[mm] \integral_{x}^{x+h}{f(t) d\lambda t} = f(\xi)\integral_{x}^{x+h}{ d\lambda t}[/mm]
Wenn man das einsetzt, das Integral ausrechnet (nicht so schwer...) und den Grenzwert bildet, ist man schon fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 So 27.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
> [mm]\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\integral_{0}^{x+h}{f(t) d\lambda t}-\integral_{0}^{x}{f(t) d\lambda t}}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\integral_{x}^{x+h}{f(t) d\lambda t}}{h}[/mm]
>
> Außerdem existiert nach Mittelwertsatz ein [mm]\xi \in [x, x+h] [/mm],
> so dass
>
> [mm]\integral_{x}^{x+h}{f(t) d\lambda t} = f(\xi)\integral_{x}^{x+h}{ d\lambda t}[/mm]
Das ist nicht korrekt. Der Mittelwertsatz ist nicht auf Lebesgue-integrierbare Funktionen anwendbar! Zwar gibt es ein schwaches Konzept der Stetigkeit fuer solche Funktionen (die sogenannte approximative Stetigkeit von [mm] $L^1$-Funktionen [/mm] -> F.Morgan:Geometric measure theory for beginners, 1te Kapitel), Jedoch kann man nicht alle Resultate stetiger Funktionen auch auf solche "schwach" stetigen Funktionen uebertragen. Siehe mein Gegenbeispiel.
LG Kornfeld
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OK, stimmt auf einer Nullmenge - und [mm] \{ x \} [/mm] ist eine Nullmenge - kann f beliebig unschön sein. Die Frage ist, ob nicht trotzdem eine "schöne" Funktion [mm] \dot{F} [/mm] existiert, so dass
[mm] F(x) = \integral_{0}^{x}{\dot{F}(t) d\lambda t} [/mm]
[mm] \lim_{h\rightarrow 0} \integral_{x}^{x+h}{\dot{F}(t) d\lambda t} = \lim_{h\rightarrow 0} \dot{F}(x) h[/mm]
und [mm] \dot{F}(x) = f(x)[/mm] fast überall. Dieses [mm] \dot{F} [/mm] würde es ja tun.
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Ich habe mir das so gedacht. Nach dem Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung ist fuer jedes stetige [mm] $f\in [/mm] C([0,1])$ $F$ eine Stammfunktion und diese differenzierbar. Das bedeutet folgendes: Wenn es ein $f$ gibt fuer welches $F$ nicht diffbar ist, dann muss dieses $f$ notwendig irgendwo unstetig sein. Ich habe dann ein bisschen mit [mm] $f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}$ [/mm] herumgespielt...
Lg Kornfeld
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 25.05.2007 | | Autor: | cutter |
hi kornfeld:)
ich musste auch meinen artikel nochmal aendern...es war [mm] F(x)=\integral_{0}^{x}{f(t) d\lambda(t)} [/mm] wobei [mm] \lambda [/mm] das Lebesgue Maß ist.
mit [mm] f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}} [/mm] komm ich bei ganz "normalem" bilden des DiffQuotienten auf..
.... [mm] -\frac{1}{\sqrt{x}} [/mm] also existiert der Grenzwert fuer x=0 nicht
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> hi kornfeld:)
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> ich musste auch meinen artikel nochmal aendern...es war
> [mm]F(x)=\integral_{0}^{x}{f(t) d\lambda(t)}[/mm] wobei [mm]\lambda[/mm] das
> Lebesgue Maß ist.
>
> mit [mm]f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}[/mm] komm ich bei ganz "normalem"
> bilden des DiffQuotienten auf..
>
>
> .... [mm]-\frac{1}{\sqrt{x}}[/mm] also existiert der Grenzwert fuer
> x=0 nicht
Piano! Hier kannst du nicht einfach "hart" ableiten. Du solltest meine vorgeschlagene Funktion auch eventuell an das Intervall anpassen, z.b. [mm] $f(t)=\frac{1}{\sqrt{\vert t-1/2\vert}}$ [/mm] oder so aehnlich, damit nachher unmissverstaendlich ein $F$ herauskommt, das ueber dem offenen Intervall $(0,1)$ nicht diffbar ist. Um $F$ zu berechnen, akannst du partiell argumentieren (es kann ja keine diffbare Stammfunktion von $f$ geben)
LG Kornfeld
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mo 28.05.2007 | | Autor: | cutter |
Ok ...dann werde ich doch deinen Weg weiterverfolgen:)
Also muss ich eben eine Funktion konstruieren,die im intervall (0,1) unstetig ist.
Du hast ja
[mm] f(t)=\frac{1}{\sqrt{|t-\frac{1}{2}|}} [/mm] vorgeschlagen, die auch bei t=1/2 eine unsstetigkeitsstelle hat.
Wenn ich nun nicht integrieren soll, was meinst du denn dann mit partiell argumentieren ?
LG
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> Ok ...dann werde ich doch deinen Weg weiterverfolgen:)
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> Also muss ich eben eine Funktion konstruieren,die im
> intervall (0,1) unstetig ist.
> Du hast ja
> [mm]f(t)=\frac{1}{\sqrt{|t-\frac{1}{2}|}}[/mm] vorgeschlagen, die
> auch bei t=1/2 eine unsstetigkeitsstelle hat.
>
> Wenn ich nun nicht integrieren soll, was meinst du denn
> dann mit partiell argumentieren ?
Nun ja, streng genommen, kann ja $f$ auf dem ganzen Intervall keine Stammfunktion besitzen, zumindest nicht in den Begrifflichkeiten der "klassischen" Differentialrechnung. Jedoch kann man dem Integral [mm] $\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{\vert t-1/2\vert}}$ [/mm] durchaus einen Wert zuordnen. Naemlich so:
1) fuer $t$ zwischen $0$ und $1/2$ kennst du die Stammfunktion der Funktion [mm] $\frac{1}{\sqrt{\vert t-1/2\vert}}$ [/mm] und damit den Wert des obigen Integrals fuer $x$ zwischen $0$ und $1/2$.
2) Falls $x>1/2$ zerlegst du das Integral in zwei Integrale: eines in den Grenzen $0$ und $1/2$ und das andere in den Grenzen von $1/2$ und $x$. Das erste Integral kennst du bereits. Das zweite ist im Grunde wie jenes unter 1)...
Ueberzeuge dich, dass die Funktion $F(x)$ wirklich nicht differenzierbar in $1/2$ ist, indem du zeigst, dass der rechtsseitige Differenzenquotient keinen Limes in [mm] $\IR$ [/mm] hat.
LG Kornfeld
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:51 Do 31.05.2007 | | Autor: | cutter |
Hi
So ich habe nun es so gemacht wie du gesagt hast:
1.) Fuer t zwischen 0, 1/2 folgt also
[mm] \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{dt}{\sqrt{\vert t-1/2\vert}}=\sqrt{2}
[/mm]
2.)
Fuer x> [mm] \frac{1}{2} [/mm] folgt
[mm] \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{\vert t-1/2\vert}}=\sqrt{2}+\int_{\frac{1}{2}}^x \frac{dt}{\sqrt{\vert t-1/2\vert}}
[/mm]
nun folgt aus dem Diffquotieten an der Stelle 1/2 ...ich lass mal die Wurzel 2 direkt Weg (kürzt sich ja weg)
[mm] F'(1/2)=\lim_{h->\infty}\frac{\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}+h} \frac{dt}{\sqrt{\vert t-1/2\vert}}}{h}
[/mm]
Das ist dann ausgerechnet [mm] 2*\frac{(\vert h \vert)^{\frac{3}{2}}}{h^2} [/mm] und damit existiert der Limes nicht fuer h gegen 0.
Hab ichs nu richtig? LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 02.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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