Differenzierbar und integrier < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Mimuu |
| Aufgabe | Seien a, b [mm] \in [/mm] R mit a<b und I:= (a,b). Sei die Funktion f:I-->R (n+1)-mal differenzierbar auf I und [mm] f^{(n+1)}:I-->R [/mm] integrierbar. Dann gilt:
f(b) = Summe von k=0 bis n von [mm] \bruch{f^{(k)} *(a)}{k!}*(b-a)^{k}+\bruch{1}{n!}\integral_{a}^{b}{(b-x)^{n}f^{(n+1)}(x)dx}
[/mm]
Als Hinweis ist noch gegeben: Betrachte:
G(x):= f(b)- Summe (k=0 bis n) von [mm] \bruch{f^{(k)}(x)}{k!}*(b-x)^{k} [/mm] |
Ich habe jetzt mal versucht Zahlen einzusetzen um so vielleicht eine zündende Idee zu erhalten, aber das verwirrt mich eher. kann mir jemand vielleicht bitte einen tipp gebe, wie ich an die aufgabe rangehen soll? danke:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Seien a, b [mm]\in[/mm] R mit a<b und I:= (a,b). Sei die Funktion
> [mm] $f:I\to\IR$ [/mm] (n+1)-mal differenzierbar auf I und [mm]f^{(n+1)}:I\to \IR[/mm]
> integrierbar. Dann gilt:
> $f(b) = [mm] \sum_{k=0}^n \left(\bruch{f^{(k)} *(a)}{k!}*(b-a)^{k}\right)+\bruch{1}{n!}\integral_{a}^{b}{(b-x)^{n}f^{(n+1)}(x)dx}$
[/mm]
>
also mal erstens: Wie hast Du es geschafft, alles an der Formel richtig zu setzen (was nicht trivial ist) und nur an der Summe zu scheitern? =)
(Auf Formeln klicken zeigt den Quellcode)
> Ich habe jetzt mal versucht Zahlen einzusetzen um so
> vielleicht eine zündende Idee zu erhalten, aber das
Setz für n 0 ein, danach n=1. Damit wird das Muster klarer.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Mimuu |
kannst du mir noch einen anderen/weiteren tipp geben, ich hab dass jetzt so probiert, komme aber leider nicht wirklich weiter:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> kannst du mir noch einen anderen/weiteren tipp geben, ich
> hab dass jetzt so probiert, komme aber leider nicht
> wirklich weiter:(
für n=1 hast Du doch das Integral mit partieller Integration gelöst. Jetzt mach das auch mal für allgemeine n. Daduch führst Du die Formel für n induktiv auf die für n-1 zurück.
ciao
Stefan
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