Differenzierbare Abbildungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 So 23.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Gegeben sind die Abbildungen
[mm] \alpha: \IR^{2} \to \IR^{3}, \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{3y \\ xe^{y} \\ 5}
[/mm]
[mm] \beta: \IR^{3} \to \IR, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto [/mm] y*log(1 + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2})
[/mm]
Bestimmen Sie die Ableitungen von [mm] \alpha, \beta [/mm] und [mm] (\beta \circ \alpha). [/mm] |
Guten Morgen
Eigentlich ist diese Aufgabe nicht so schwierig. Doch bei der Ableitung der Komposition komme ich irgendwie nicht auf die richtige Lösung. Ich glaube, dass ich die Komposition schon falsch berechne...
Was ich habe..
Ableitung von [mm] \alpha:
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx} f_{\alpha,x} [/mm] = 0
[mm] \bruch{d}{dx} f_{\alpha,y} [/mm] = [mm] e^{y}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx} f_{\alpha,z} [/mm] = 0
[mm] \bruch{d}{dy} f_{\alpha,x} [/mm] = 3
[mm] \bruch{d}{dy} f_{\alpha,y} [/mm] = [mm] xe^{y}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dy} f_{\alpha,z} [/mm] = 0
Somit sieht die Ableitung von [mm] \alpha [/mm] so aus:
[mm] f'_{\alpha} [/mm] = [mm] \pmat{0 & 3 \\ e^{y} & xe^{y} \\ 0 & 0}
[/mm]
Ableitung von [mm] \beta:
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx} f_{\beta} [/mm] = [mm] \bruch{2xy}{1 + x^{2} + y^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dy} f_{\beta} [/mm] = log(1 + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}) [/mm] + [mm] \bruch{2y^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dz} f_{\beta} [/mm] = 0
Somit sieht die Ableitung von [mm] \beta [/mm] so aus:
[mm] f'_{\beta} [/mm] = [mm] \pmat{\bruch{2xy}{1 + x^{2} + y^{2}} & log(1 + x^{2} + y^{2}) + \bruch{2y^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}} & 0}
[/mm]
Soweit richtig?
Nun, ich versuche jetzt [mm] (\beta \circ \alpha) [/mm] abzuleiten.
Kettenregel: [mm] d(\beta \circ \alpha) [/mm] = [mm] d(\beta(\alpha))*d(\alpha)
[/mm]
Also bilde ich zuerst [mm] \beta(\alpha):
[/mm]
[mm] \beta \circ \alpha [/mm] = [mm] \vektor{3y \\ xe^{y} \\ 5} \mapsto xe^{y}*log(1 [/mm] + [mm] 9y^{2} [/mm] + [mm] x^{2}e^{2y})
[/mm]
Nun, wenn ich das ableite:
[mm] \bruch{d}{dx} f_{\beta \circ \alpha,x} [/mm] = [mm] e^{y}(\bruch{2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}} [/mm] + log(1 + [mm] 9y^{2} [/mm] + [mm] x^{2}e^{2y})
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dy} f_{\beta \circ \beta,y} [/mm] = [mm] xe^{y}(log(1 [/mm] + [mm] 9y^{2} [/mm] 1 [mm] x^{2}e^{2y}) [/mm] + [mm] \bruch{18y + 2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}})
[/mm]
Die Ableitung ist also [mm] \pmat{e^{y}(\bruch{2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}} + log(1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}) & xe^{y}(log(1 + 9y^{2} 1 x^{2}e^{2y}) + \bruch{18y + 2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}})}
[/mm]
Und die Ableitung von [mm] \beta \circ \alpha [/mm] wäre somit [mm] \pmat{e^{y}(\bruch{2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}} + log(1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}) & xe^{y}(log(1 + 9y^{2} 1 x^{2}e^{2y}) + \bruch{18y + 2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}})} \pmat{0 & 3 \\ e^{y} & xe^{y} \\ 0 & 0}
[/mm]
Jetzt kann ich das irgendwie aber nicht miteinander multiplizieren, da die grössen der Matrizen dies nicht zulassen.. Somit vermute ich irgendwo einen Fehler.. wo ist dieser? :)
Vielen Dank für die Korrektur!
Grüsse, Amaro
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Hallo,
ich hab# beim Drübergucken (!) keinen Fehler gesehen.
Vielleicht kannst Du mal formulieren, warum Dir Deine Ergebnisse nicht gefallen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 So 23.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Angela
Ich habe die Aufgabe vervollständigt.
Habe am Schluss noch die y-Ableitung hinzugefühgt und klarer erwähnt, wo mein problem liegt (Musst nicht alles nochmals durchlesen.. es ist nur unten eine Änderung vorgenommen worden :))
Grüsse, Amaro
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Hallo Arcesius,
> Gegeben sind die Abbildungen
>
> [mm]\alpha: \IR^{2} \to \IR^{3}, \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{3y \\ xe^{y} \\ 5}[/mm]
>
> [mm]\beta: \IR^{3} \to \IR, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto[/mm]
> y*log(1 + [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2})[/mm]
>
>
> Bestimmen Sie die Ableitungen von [mm]\alpha, \beta[/mm] und [mm](\beta \circ \alpha).[/mm]
>
> Guten Morgen
>
> Eigentlich ist diese Aufgabe nicht so schwierig. Doch bei
> der Ableitung der Komposition komme ich irgendwie nicht auf
> die richtige Lösung. Ich glaube, dass ich die Komposition
> schon falsch berechne...
>
> Was ich habe..
>
>
> Ableitung von [mm]\alpha:[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dx} f_{\alpha,x}[/mm] = 0
> [mm]\bruch{d}{dx} f_{\alpha,y}[/mm] = [mm]e^{y}[/mm]
> [mm]\bruch{d}{dx} f_{\alpha,z}[/mm] = 0
>
> [mm]\bruch{d}{dy} f_{\alpha,x}[/mm] = 3
> [mm]\bruch{d}{dy} f_{\alpha,y}[/mm] = [mm]xe^{y}[/mm]
> [mm]\bruch{d}{dy} f_{\alpha,z}[/mm] = 0
>
> Somit sieht die Ableitung von [mm]\alpha[/mm] so aus:
>
> [mm]f'_{\alpha}[/mm] = [mm]\pmat{0 & 3 \\ e^{y} & xe^{y} \\ 0 & 0}[/mm]
>
>
> Ableitung von [mm]\beta:[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dx} f_{\beta}[/mm] = [mm]\bruch{2xy}{1 + x^{2} + y^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dy} f_{\beta}[/mm] = log(1 + [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2})[/mm] +
> [mm]\bruch{2y^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}}[/mm]
> [mm]\bruch{d}{dz} f_{\beta}[/mm]
> = 0
>
> Somit sieht die Ableitung von [mm]\beta[/mm] so aus:
>
> [mm]f'_{\beta}[/mm] = [mm]\pmat{\bruch{2xy}{1 + x^{2} + y^{2}} & log(1 + x^{2} + y^{2}) + \bruch{2y^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}} & 0}[/mm]
>
>
> Soweit richtig?
>
> Nun, ich versuche jetzt [mm](\beta \circ \alpha)[/mm] abzuleiten.
>
> Kettenregel: [mm]d(\beta \circ \alpha)[/mm] =
> [mm]d(\beta(\alpha))*d(\alpha)[/mm]
>
> Also bilde ich zuerst [mm]\beta(\alpha):[/mm]
>
> [mm]\beta \circ \alpha[/mm] = [mm]\vektor{3y \\ xe^{y} \\ 5} \mapsto xe^{y}*log(1[/mm]
> + [mm]9y^{2}[/mm] + [mm]x^{2}e^{2y})[/mm]
>
> Nun, wenn ich das ableite:
>
> [mm]\bruch{d}{dx} f_{\beta \circ \alpha,x}[/mm] =
> [mm]e^{y}(\bruch{2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}}[/mm] +
> log(1 + [mm]9y^{2}[/mm] + [mm]x^{2}e^{2y})[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dy} f_{\beta \circ \beta,y}[/mm] = [mm]xe^{y}(log(1[/mm] +
> [mm]9y^{2}[/mm] 1 [mm]x^{2}e^{2y})[/mm] + [mm]\bruch{18y + 2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}})[/mm]
>
>
> Die Ableitung ist also [mm]\pmat{e^{y}(\bruch{2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}} + log(1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}) & xe^{y}(log(1 + 9y^{2} 1 x^{2}e^{2y}) + \bruch{18y + 2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}})}[/mm]
>
>
> Und die Ableitung von [mm]\beta \circ \alpha[/mm] wäre somit
> [mm]\pmat{e^{y}(\bruch{2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}} + log(1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}) & xe^{y}(log(1 + 9y^{2} 1 x^{2}e^{2y}) + \bruch{18y + 2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}})} \pmat{0 & 3 \\ e^{y} & xe^{y} \\ 0 & 0}[/mm]
>
>
> Jetzt kann ich das irgendwie aber nicht miteinander
> multiplizieren, da die grössen der Matrizen dies nicht
> zulassen.. Somit vermute ich irgendwo einen Fehler.. wo ist
> dieser? :)
[mm]f'_{\beta}[/mm] hast Du richtig hingsechrieben.
Auf dem Weg zur Bildung der endgültigen Bildung der Ableitung
via Matrizenprodukt ist die 3. Komponente von [mm]f'_{\beta}[/mm] verlorengegangen.
Daher ergibt sich das Matrizenprodukt:
[mm]\pmat{e^{y}(\bruch{2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}} + log(1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}) & xe^{y}(log(1 + 9y^{2} 1 x^{2}e^{2y}) + \bruch{18y + 2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}}) & \red{0}} \pmat{0 & 3 \\ e^{y} & xe^{y} \\ 0 & 0}[/mm]
>
> Vielen Dank für die Korrektur!
>
> Grüsse, Amaro
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 So 23.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo MathePower
> [mm]f'_{\beta}[/mm] hast Du richtig hingsechrieben.
>
> Auf dem Weg zur Bildung der endgültigen Bildung der
> Ableitung
> via Matrizenprodukt ist die 3. Komponente von [mm]f'_{\beta}[/mm]
> verlorengegangen.
>
> Daher ergibt sich das Matrizenprodukt:
>
> [mm]\pmat{e^{y}(\bruch{2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}} + log(1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}) & xe^{y}(log(1 + 9y^{2} 1 x^{2}e^{2y}) + \bruch{18y + 2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}}) & \red{0}} \pmat{0 & 3 \\ e^{y} & xe^{y} \\ 0 & 0}[/mm]
Aber es ist doch [mm] d(\beta \circ \alpha)(x,y) [/mm] = [mm] d\beta(\alpha(x,y))*d\alpha(x,y)... [/mm] Deswegen dachte ich, dass ich die z-Ableitung nicht nehmen darf/kann.. Aber jetzt wo ich dies nochmals lese, glaube ich zu verstehen:
Ich muss wie bei der Berechnung von [mm] f'_{\alpha} [/mm] wieder alle 3 Komponenten der Abbildung [mm] \alpha [/mm] einfach nach x und y ableiten, auch die z-Komponente.. Nur nicht auch noch alles nach z ableiten! Wieso? Ich nehme an, weil der Definitionsbereich keine z-Komponente hat.. ?
Das ergibt bei der Komposition [mm] \beta \circ \alpha [/mm] also, dass ich bei [mm] \beta(\alpha(x,y)) [/mm] auch alle Komponenten nach x und y ableiten muss, was mir diese 0 da gibt.. Das hatte ich vergessen.
Sehe ich das mindestens richtig?
>
> Gruß
> MathePower
Danke sonst für deine Korrektur :)
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 So 23.08.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo Arcesius,
> Hallo MathePower
>
> > [mm]f'_{\beta}[/mm] hast Du richtig hingsechrieben.
> >
> > Auf dem Weg zur Bildung der endgültigen Bildung der
> > Ableitung
> > via Matrizenprodukt ist die 3. Komponente von
> [mm]f'_{\beta}[/mm]
> > verlorengegangen.
> >
> > Daher ergibt sich das Matrizenprodukt:
> >
> > [mm]\pmat{e^{y}(\bruch{2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}} + log(1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}) & xe^{y}(log(1 + 9y^{2} 1 x^{2}e^{2y}) + \bruch{18y + 2x^{2}e^{2y}}{1 + 9y^{2} + x^{2}e^{2y}}) & \red{0}} \pmat{0 & 3 \\ e^{y} & xe^{y} \\ 0 & 0}[/mm]
>
>
> Aber es ist doch [mm]d(\beta \circ \alpha)(x,y)[/mm] =
> [mm]d\beta(\alpha(x,y))*d\alpha(x,y)...[/mm] Deswegen dachte ich,
> dass ich die z-Ableitung nicht nehmen darf/kann.. Aber
> jetzt wo ich dies nochmals lese, glaube ich zu verstehen:
>
> Ich muss wie bei der Berechnung von [mm]f'_{\alpha}[/mm] wieder alle
> 3 Komponenten der Abbildung [mm]\alpha[/mm] einfach nach x und y
> ableiten, auch die z-Komponente.. Nur nicht auch noch alles
> nach z ableiten! Wieso? Ich nehme an, weil der
> Definitionsbereich keine z-Komponente hat.. ?
[mm]\alpha[/mm] ist eine Funktion von zwei Veränderlichen, die nach [mm]\IR^{3}[/mm] abbildet.
Daher muß Du nach diesen 2 Veränderlichen ableiten.
Die Ableitungsmatrix ist hier eine 3X2-Matrix.
Dasselbe gilt für [mm]\beta[/mm]:
[mm]\beta[/mm] ist eine Funktion von 3 Veränderlichen, die nach [mm]\IR[/mm] abbildet.
Daher muß Du nach diesen 3 Veränderlichen ableiten.
Die Ableitungsmatrix ist hier eine 1X3-Matrix.
> Das ergibt bei der Komposition [mm]\beta \circ \alpha[/mm] also,
> dass ich bei [mm]\beta(\alpha(x,y))[/mm] auch alle Komponenten nach
> x und y ableiten muss, was mir diese 0 da gibt.. Das hatte
> ich vergessen.
>
> Sehe ich das mindestens richtig?
>
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> Danke sonst für deine Korrektur :)
>
> Grüsse, Amaro
Gruß
MathePower
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