Differenzierbare Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Sa 01.03.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Finde eine differentierbare Funktion deren Ableitung nicht stetig ist. |
Ich bin folgendermassen vorgegangen:
f ist diffbar also ist f stetig.
f'(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
Also ist die Ableitung auch stetig,
denn f(x+h) ist stetig, da f stetig ist. Und die Summe von stetigen Funktionen ist wieder stetig.
Also ist die Ableitung auch wieder stetig.
Doch dies ist falsch. Aber ich sehe nicht, wo ich einen Fehler gemacht habe...
Wäre froh, wenn mir jemand sagen kann, wo ich einen unerlaubten Schritt gemacht habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Sa 01.03.2008 | | Autor: | fausto |
Guten Tag
Wie du richtig argumentierst ist
> [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
stetig.
Aber
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
ist es nicht in allen Fällen.
Das kannst du mit der Funktion
f(x) = ||x||
einsehen. Bei x=0 ist die Funktion zwar stetig, aber die Ableitung existiert bei x=0 gar nicht, weil der [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm] für positive h = 1 und für negative = -1 ist. Das heisst, dass es davon abhängt von welcher Seite sich h an 0 nähert...
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Di 04.03.2008 | | Autor: | johnny11 |
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> Wie du richtig argumentierst ist
> > [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
> stetig.
>
> Aber
> > [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
> ist es nicht in allen Fällen.
>
Weshalb ist denn dies so? Also das erwähnte Beispiel habe ich verstanden, aber ich sehe nicht genau, weshalb der Ausdruck [mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] nicht umbedingt stetig sein muss, wenn [mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] steigt ist.
Die beiden Ausdrücke sind ja praktisch identisch bis auf den Limes. Weshalb ist dann aber der Ausdruck mit dem Limes nicht zwingend stetig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Mi 05.03.2008 | | Autor: | pelzig |
Das Beispiel ist nicht korrekt. Die Betragsfunktion ist offensichtlich auf [mm] $\IR\setminus\{0\}$ [/mm] stetig-differenzierbar, aber an [mm] $x_0=0$ [/mm] ist sie, wie schon richtig bemerkt wurde, nicht differenzierbar. Gefragt wurde aber nach einer Funktion, deren Ableitung an einer Stelle unstetig ist (dazu muss die Ableitung an dieser Stelle jedoch existieren!).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Mi 05.03.2008 | | Autor: | pelzig |
Achja, ein korrektes Beispiel wäre [mm] $f(x)=\begin{cases}x\cdot\sin\frac{1}{x}&\mbox{ für }x\ne0\\0&\mbox{ für } x=0\end{cases}$.
[/mm]
Das is glaub ich der Klassiker, was anderes fällt mir leider auch nicht ein. Überlege dir, warum dieses Gegenbeispiel funktioniert, dann wirst du auch deine Frage beantworten können.
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