Differenzierbare Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mi 03.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | Seien f, g : [a, b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] stetig und differenzierbar in allen Punkten in (a, b). Es gelte
f(a) = g(a) und [mm]0 \le f'(x) < g'(x)[/mm] für alle x [mm] \in [/mm] (a, b).
Beweisen Sie, dass f(x) < g(x) für alle x [mm] \in [/mm] (a, b] gilt. |
Hallöchen,
hat jemand einen Tipp, wie ich hier vorgehen muss? Wieso ist das ein halboffenes Intervall?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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Zwei Funktionen laufen im gleichen Punkt los, die eine hat durchgängig eine größere Steigung als die andere...
Das Intervall ist halboffen, weil f(a)=g(a) (dort gilt die Behauptung logischerweise nicht), aber [mm] f(b)\not=g(b) [/mm] (dort gilt die Behauptung nämlich).
Du könntest zur Überlegung erst einmal infinitesimal argumentieren, oder besser gleich über die Stammfunktionen von f'(x) und g'(x). Wenn Du weißt, dass g'-f'>0, was weißt Du dann über g-f?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mi 03.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Du könntest zur Überlegung erst einmal infinitesimal
> argumentieren, oder besser gleich über die Stammfunktionen
> von f'(x) und g'(x). Wenn Du weißt, dass g'-f'>0, was weißt
> Du dann über g-f?
die Stammfunktion haben wir zu diesem Zeitpunkt noch nicht eingeführt. Was meinst du mit infinitesimal argumentieren? Über ein [mm] \varepsilon [/mm] oder über einen Grenzwert?
Danke, Gruß, Stefan.
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Ok, dann ohne Stammfunktion.
(Nebenbei: mit infinitesimal meinte ich eine Grenzwertbetrachtung, scheint mir hier aber viel zu aufwändig)
Du definierst einfach die Funktion h(x)=g(x)-f(x).
Bekannst ist nun: h(a)=0; h'(x)=(g(x)-f(x))'=g'(x)-f'(x)>0 im betrachteten Intervall; dort ist h(x) also streng monoton steigend.
Nun beweise, dass h(x)>0 im Intervall (a;b]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Do 04.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Du definierst einfach die Funktion h(x)=g(x)-f(x).
> Bekannst ist nun: h(a)=0; h'(x)=(g(x)-f(x))'=g'(x)-f'(x)>0
> im betrachteten Intervall; dort ist h(x) also streng
> monoton steigend.
wieso ist h(a)=0? Muss ich auch Monotonie nachweisen? Wenn doch eine Funktion stetig und differenzierbar ist, dann ist sie doch auch monoton, oder?
>
> Nun beweise, dass h(x)>0 im Intervall (a;b]
hm, es ist doch: f'(x)<g'(x), wie komme ich nun auf h(x)>0? Ich steh noch ein bisschen auf dem Schlauch, leider.
Danke für die Hilfe und Geduld, Gruß, Stefan.
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> Hallo,
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> > Du definierst einfach die Funktion h(x)=g(x)-f(x).
> > Bekannt ist nun: h(a)=0;
> h'(x)=(g(x)-f(x))'=g'(x)-f'(x)>0
> > im betrachteten Intervall; dort ist h(x) also streng
> > monoton steigend.
> wieso ist h(a)=0? Muss ich auch Monotonie nachweisen?
h(a)=0 folgt aus der Aufgabenstellung (f(a)=g(a)) und der Definition von h(x). Monotonie musst Du nicht zusätzlich nachweisen, aber es ist sinnvoll wahrzunehmen, dass aufgrund der Vorgaben strenge Monotonie gegeben ist. Ohne diese Feststellung ist die Aufgabe nicht lösbar.
> Wenn
> doch eine Funktion stetig und differenzierbar ist, dann ist
> sie doch auch monoton, oder?
Nein. Nimm einfach [mm] \sin{x} [/mm] als Gegenbeispiel.
> > Nun beweise, dass h(x)>0 im Intervall (a;b]
> hm, es ist doch: f'(x)<g'(x), wie komme ich nun auf
> h(x)>0? Ich steh noch ein bisschen auf dem Schlauch,
> leider.
[anwesende Mathematiker: Lesemodus OFF]
Mal bildlich gesprochen: h(x) ist die Differenzfunktion g(x)-f(x). Links fängt sie an einem bekannten Punkt auf der x-Achse an. Wir wissen nicht, wie sie genau verläuft, aber es geht im Verlauf nach rechts immer aufwärts. Alles, was Du zeigen sollst, ist, dass die Differenzfunktion nicht mehr zur x-Achse zurückkehrt. Klar?
[anwesende Mathematiker: Lesemodus ON]
> Danke für die Hilfe und Geduld, Gruß, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Do 04.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> h(a)=0 folgt aus der Aufgabenstellung (f(a)=g(a)) und der
> Definition von h(x). Monotonie musst Du nicht zusätzlich
> nachweisen, aber es ist sinnvoll wahrzunehmen, dass
> aufgrund der Vorgaben strenge Monotonie gegeben ist. Ohne
> diese Feststellung ist die Aufgabe nicht lösbar.
ok, bei uns ist es immer so, wenn ich etwas behaupte, dann muss ich es auch beweisen, wo steckt hier der Hinweis auf Monotonie?
>
> > Wenn
> > doch eine Funktion stetig und differenzierbar ist, dann ist
> > sie doch auch monoton, oder?
>
> Nein. Nimm einfach [mm]\sin{x}[/mm] als Gegenbeispiel.
ja, das ist ja schon peinlich, natürlich ist eine stetige, differenzierbare Funktion nicht zwingend auch monoton *grmpf*
> [anwesende Mathematiker: Lesemodus OFF]
ja, besser ist das 
> Mal bildlich gesprochen: h(x) ist die Differenzfunktion
> g(x)-f(x). Links fängt sie an einem bekannten Punkt auf der
> x-Achse an. Wir wissen nicht, wie sie genau verläuft, aber
> es geht im Verlauf nach rechts immer aufwärts. Alles, was
> Du zeigen sollst, ist, dass die Differenzfunktion nicht
> mehr zur x-Achse zurückkehrt. Klar?
wenn sie nicht mehr zur x-Achse zurückläuft, dann gibt es auch keinen gemeinsamen Schnittpunkt der beiden Funktionen f und g, richtig? muss ich nicht auch wegen f'(x)<g'(x) den Differenzenquotienten mit ins Spiel bringen?
Gruß, Stefan.
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Hallo Stefan,
ich weiß nicht mehr, wie ich Dich auf den Weg bringen kann.
Soweit ich sehe, liegt schon alles vor:
- ein einfacher zu betrachtendes h(x)
- dessen strenge Monotonie
- ein bekannter Anfangspunkt
Auch wenn Du ja offenbar nicht integrieren sollst und der Zwischenwertsatz nicht zugrunde geleget werden soll, hast Du damit alles, was nötig ist.
Vielleicht sieht ja jemand anders noch, wie man Dir einen hilfreichen Tipp geben kann.
Grüße,
rev
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> > h(a)=0 folgt aus der Aufgabenstellung (f(a)=g(a)) und der
> > Definition von h(x). Monotonie musst Du nicht zusätzlich
> > nachweisen, aber es ist sinnvoll wahrzunehmen, dass
> > aufgrund der Vorgaben strenge Monotonie gegeben ist. Ohne
> > diese Feststellung ist die Aufgabe nicht lösbar.
> ok, bei uns ist es immer so, wenn ich etwas behaupte, dann
> muss ich es auch beweisen, wo steckt hier der Hinweis auf
> Monotonie?
Reverend hatte doch geschrieben:
$h'(x)=g'(x)-f'(x) > 0$ gilt für alle $x [mm] \in (a,b)\,.$ [/mm] Die Funktion [mm] $\,h\,$ [/mm] ist aber stetig auf $[a,b]$ (und differenzierbar auf $(a,b)$) (Warum?).
Generell:
Ist $j: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig auf $[a,b]$ und diff'bar auf $(a,b)$ mit $j'(x) > 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$, so ist [mm] $\,j\,$ [/mm] streng monoton wachsend auf [mm] $[a,b]\,.$
[/mm]
Diese Aussage sollte eigentlich (und sei es wegen eines Übungsblattes) bekannt sein. Wenn nicht:
Der Beweis geht mittels des Mittelwertsatzes.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 Fr 05.12.2008 | | Autor: | reverend |
Du triffst den Nerv, Marcel. Fred hatte auch schon den Beweis per Zwischenwertsatz angedeutet. Das wäre ja die einfachste Variante. Wie aber beweist man die Behauptung ohne diesen Satz und ohne Integration?
Anders formuliert, aber inhaltlich genauso meine folgende Antwort auf Deine "blaue Frage"...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Do 04.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo reverend,
ich komme hier einfach nicht weiter...
was soll ich tun?
Danke schön, Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:10 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo reverend,
>
> ich komme hier einfach nicht weiter...
> was soll ich tun?
>
> Danke schön, Gruß, Stefan.
ich habe oben nochmal stehen, warum $h$ auf $[a,b]$ streng monoton wächst. Jetzt weißt Du das also, und daraus folgt:
Für jedes $x [mm] \in [/mm] (a,b]$ gilt $h(x) > [mm] h(a)\,.$
[/mm]
Das liefert die Behauptung (Warum?).
P.S.:
Hat jemand 'ne Idee, wieso hier $ [mm] \blue{0 \le} [/mm] f'(x) < g'(x) $ gefordert wird? Das blaugedruckte braucht man eigentlich an keiner Stelle...
P.P.S.:
Ich habe gerade gelesen, dass ihr den MWS noch nicht hattet. Bis wann musst Du die Aufgabe denn gelöst haben? Vll. kommt er ja bis dahin in der Vorlesung. Wie der Beweis ganz ohne MWS gehen sollte, sehe ich auch nicht. (Denn die Folgerung "Ableitung $> 0$, also ist Funktion streng monoton wachsend " wird üblicherweise mit dem MWS bewiesen. Also auch bei Reverends Vorgehen geht der MWS ein (vll. etwas mehr verdeckt/versteckt).)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:33 Fr 05.12.2008 | | Autor: | reverend |
Genau.
Wenn der Zwischen-/Mittelwertsatz nicht angewandt werden darf, muss wenigstens Integration erlaubt sein (die allerdings wieder den ZWS/MWS impllizit voraussetzt). Obwohl die Aufgabe intuitiv offensichtlich lösbar ist, fällt eine explizite Lösung schwer.
Deine "blaue Frage" nagt aber an mir. [mm] 0\le \a{}f'(x) [/mm] ist doch ein Holzhammer-Hinweis, dass es ohne ZWS gehen soll. Aber wie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Genau.
> Wenn der Zwischen-/Mittelwertsatz nicht angewandt werden
> darf, muss wenigstens Integration erlaubt sein (die
> allerdings wieder den ZWS/MWS impllizit voraussetzt).
> Obwohl die Aufgabe intuitiv offensichtlich lösbar ist,
> fällt eine explizite Lösung schwer.
also die mir gängig(st)e Methode ist der MWS. Siehst Du auch eine Lösung vermittels des ZWS? Oder meinst Du die ganzen Zusammenhänge in den jeweiligen Beweisen (MWS mit Rolle etc.; ich weiß nur gerade selbst nicht mehr, ob bzw. wo da der ZWS verwendet wird)?
> Deine "blaue Frage" nagt aber an mir. [mm]0\le \a{}f'(x)[/mm] ist
> doch ein Holzhammer-Hinweis, dass es ohne ZWS gehen soll.
> Aber wie?
Edit: Quatsch gelöscht; $f'$ wird hier ja gar nicht als stetig vorausgesetzt ^^
Also mir erscheint die Aufgabe mit den momentan gegebenen Hilfsmitteln wenig sinnvoll. Was man vll. machen kann:
Angenommen, die Behauptung wäre falsch. Dann ist $f(b) [mm] \ge [/mm] g(b)$ (den Fall kann man zum Schluss abhandeln) oder es gibt wenigstens ein [mm] $\xi \in [/mm] (a,b)$ mit [mm] $f(\xi) \ge g(\xi)\,...$ [/mm]
Aber ob sich da, ohne den MWS, ein Widerpruch herleiten läßt? Ist mir nun zu spät zum weiterdrübernachdenken^^
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:15 Fr 05.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> P.P.S.:
> Ich habe gerade gelesen, dass ihr den MWS noch nicht
> hattet. Bis wann musst Du die Aufgabe denn gelöst haben?
> Vll. kommt er ja bis dahin in der Vorlesung. Wie der Beweis
> ganz ohne MWS gehen sollte, sehe ich auch nicht. (Denn die
> Folgerung "Ableitung [mm]> 0[/mm], also ist Funktion streng monoton
> wachsend " wird üblicherweise mit dem MWS bewiesen. Also
> auch bei Reverends Vorgehen geht der MWS ein (vll. etwas
> mehr verdeckt/versteckt).)
wir haben feste Kurseinheiten mit festen Aufgabenblättern dahinter, d.h. jede Einheit ist einer festen Einheit von Aufgaben zugeordnet. Der ZWS wird in dieser Einheit behandelt, aber der MWS kommt erst in der nächsten Einheit, so dass ich hier mit den Mitteln auskommen muss, die behandelt worden sind.
Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Hallo,
> > P.P.S.:
> > Ich habe gerade gelesen, dass ihr den MWS noch nicht
> > hattet. Bis wann musst Du die Aufgabe denn gelöst
> haben?
> > Vll. kommt er ja bis dahin in der Vorlesung. Wie der
> Beweis
> > ganz ohne MWS gehen sollte, sehe ich auch nicht. (Denn
> die
> > Folgerung "Ableitung [mm]> 0[/mm], also ist Funktion streng
> monoton
> > wachsend " wird üblicherweise mit dem MWS bewiesen.
> Also
> > auch bei Reverends Vorgehen geht der MWS ein (vll.
> etwas
> > mehr verdeckt/versteckt).)
> wir haben feste Kurseinheiten mit festen Aufgabenblättern
> dahinter, d.h. jede Einheit ist einer festen Einheit von
> Aufgaben zugeordnet. Der ZWS wird in dieser Einheit
> behandelt, aber der MWS kommt erst in der nächsten Einheit,
> so dass ich hier mit den Mitteln auskommen muss, die
> behandelt worden sind.
tja, dann sind wir jetzt einfach mal etwas fies und schauen in den Beweis des MWS herein:
Sei immer noch [mm] $h:=g\,-\,f$ [/mm] auf [mm] $[a,b]\,.$
[/mm]
Wir definieren hier für jedes [mm] $\nu \in [/mm] [a,b]$ die Hilfsfunktion $H$ auf [mm] $[a,\nu]$ [/mm] vermittels
[mm] $$H(x)=H_\nu(x):=h(x)-\frac{h(\nu)-h(a)}{\nu-a}*(x-a)\;\;\;(x \in [a,\nu])\,.$$
[/mm]
Offensichtlich ist [mm] $\,H\,$ [/mm] stetig auf [mm] $[a,\nu]$ [/mm] und diff'bar auf [mm] $(a,\nu)$. [/mm] Ferner gilt [mm] $H(a)=h(a)=H(\nu)\,.$ [/mm] Nach dem Satz von Rolle gibt es also eine Stelle [mm] $\xi \in (a,\nu)$ [/mm] mit [mm] $H'(\xi)=0$, [/mm] also [mm] $h'(\xi)=\frac{h(\nu)-h(a)}{\nu-a}\,.$
[/mm]
Angenommen, es gebe nun eine Stelle [mm] $\nu \in [/mm] (a,b]$ mit [mm] $h(\nu) \le 0\,.$ [/mm] Nach dem oben gezeigten existiert dann ein [mm] $\xi \in (a,\nu)$ [/mm] mit
[mm] $$h'(\xi)=\frac{h(\nu)-h(a)}{\nu-a}\overset{h(a)=0}{=}\frac{h(\nu)}{\nu-a}\,,$$
[/mm]
was [mm] $h'(\xi) \le [/mm] 0$ zur Konsequenz hat. Im Widerspruch zu $g'(x) > f'(x)$ für alle $x [mm] \in (a,b)\,.$
[/mm]
So, also das kann Dir eigentlich niemand ankreiden, es sei denn, ihr habt den Satz von Rolle noch nicht. Dann müssen wir auch da wieder den Beweis kopieren ^^
Und ich hoffe, ihr wißt, dass Extremstellen kritische Punkte sind (mit einem kritischen Punkt meine ich hier Punkte, wo die Ableitung verschwindet).
Das hier ist jedenfalls ein legitimer Beweis, sofern der Satz von Rolle benutzt werden darf. Natürlich ist es im Endeffekt nichts anderes als die Anwendung des MWS, aber ich klaue ja quasi nur den Beweis des MWS und schreibe den für diese spezielle Funktion [mm] $\,h\,$ [/mm] hin.
Mich würde allerdings mal interessieren, wie eine Lösung komplett ohne MWS - damit meine ich auch, ohne Ideen/Hilfsfunktionen aus dem Beweis des MWS zu klauen - hier aussehen sollte.
Also was habt ihr:
[mm] $\bullet$ [/mm] Satz von Rolle?
[mm] $\bullet$ [/mm] Zwischenwertsatz (Das hast Du ja bereits bejaht.)
[mm] $\bullet$ [/mm] Stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen ihr Maximum/Minimum an?
[mm] $\bullet$ [/mm] Auf $[a,b]$ stetige Funktionen, die auf $(a,b)$ diff'bar sind und an der Stelle [mm] $\xi \in [/mm] (a,b)$ eine Extremstelle haben, haben eine an dieser Stelle verschwindene Ableitung?
Also wenn ihr den Satz von Rolle habt, dann wäre ich, ehrlich gesagt, geneigt, Dir eigentlich nahezulegen, damit selbst dann den MWS zu beweisen. Dann kannst Du ihn auch benutzen.
Oder Du machst es halt so, wie ich oben. Du beweist den MWS quasi speziell für die obige Funktion [mm] $\,h\,$. [/mm] (Ist dann halt quasi Beweisklauerei und kommt auf's selbe heraus, wie wenn Du den MWS erst selbst beweisen würdest).
Denn dass $0 [mm] \le [/mm] f'(x) <...$ das irgendwie einfacher machen würde, so dass man dann ohne den MWS auskäme, sehe ich jedenfalls nicht...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Fr 05.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Marcel,
danke für die Mühe, aber den Satz von Rolle hatten wir auch noch nicht. Ich möchte dir nicht zuviel Mühe machen, aber wenn ich es nicht selber nachvollziehen kann, dann werde ich die Lösung auch nicht abgeben, ich wills ja auch noch selber nachvollziehen können.
Vielen Dank, schönen Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Hallo Marcel,
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> danke für die Mühe, aber den Satz von Rolle hatten wir auch
> noch nicht. Ich möchte dir nicht zuviel Mühe machen, aber
> wenn ich es nicht selber nachvollziehen kann, dann werde
> ich die Lösung auch nicht abgeben, ich wills ja auch noch
> selber nachvollziehen können.
kein Problem. Aber ehrlich gesagt:
Kannst Du nicht mal den Prof./Übungsleiter befragen, ob die Aufgabe ohne den Satz von Rolle und ohne den MWS gelöst werden kann/soll?
(Also auch ohne Beweisklauerei aus diesen Sätzen!)
Mich würde auch interessieren, falls er das bejaht, wie die Aufgabe dann schlussendlich gelöst wurde. Denn ganz trivial erscheint es mir nicht, da Du ja auch gewisse Folgerungen dann nicht hast (z.B. liefert der MWS ja hier einfach, dass $h$ streng monoton wächst; wie will man das ohne MWS herleiten?).
Und vor allem interessiert's mich auch, wieso da $0 [mm] \le [/mm] f'(x) <...$ gefordert wird. (Mit dem MWS reicht's nämlich auch, da auch einfach $f'(x) < g'(x)$ zu fordern.)
Aber noch eine letzte Idee:
Nehmen wir mal $j:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig und diff'bar auf $(a,b)$ mit $j'(x) > 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ und [mm] $j(a)=0\,.$ [/mm] Dann reicht es, für Deine Aufgabe, zu zeigen, dass eine solche Funktion $j$ erfüllt: $j(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ und $j(x)=0$ nur für [mm] $x=a\,.$
[/mm]
Angenommen, die Behauptung sei falsch. Dann gibt es ein [mm] $\xi \in [/mm] (a,b]$ mit [mm] $j(\xi) \le 0\,.$
[/mm]
1. Fall:
Es gelte [mm] $j(\xi) [/mm] < [mm] 0\,.$
[/mm]
Auf [mm] $(a,\xi)$ [/mm] hat $j$ nach Voraussetzung keine kritischen Punkte. D.h., auf [mm] $[a,\xi]$ [/mm] nimmt [mm] $\,j\,$ [/mm] an [mm] $\,a\,$ [/mm] ihr Maximum an und an [mm] $\,\xi\,$ [/mm] ihr Minimum (beachte $j(a)=0 > [mm] j(\xi)$). [/mm] Das liefert aber $j(x) [mm] \ge j(\xi)$ [/mm] für alle $x [mm] \in (a,\xi]$ [/mm] Daraus folgt
[mm] $$\lim_{\substack{x \in (a,\xi)\\x \to \xi}}\frac{j(\xi)-j(x)}{\xi-x} \le 0\,$$
[/mm]
also
[mm] $$\lim_{\substack{x \in [a,b]\\x \to \xi^-}}\frac{j(\xi)-j(x)}{\xi-x} \le0$$
[/mm]
und damit auch [mm] $j'(\xi) \le 0\,.$ [/mm] Widerspruch.
2. Fall:
Es gelte [mm] $j(\xi)=0\,.$ [/mm]
[mm] $j(\xi) \equiv [/mm] 0$ kann auf [mm] $[a,\xi]$ [/mm] nach Voraussetung nicht gelten (Warum? Was wäre dann [mm] $j'\left(\frac{a+\xi}{2}\right)$?).
[/mm]
$j$ ist stetig auf dem Kompaktum [mm] $[a,\xi]$. [/mm] Es gibt also eine Stelle [mm] $x_{\min} \in [/mm] [a,b]$ und eine Stelle [mm] $x_{\max} \in [/mm] [a,b]$, an denen $j$ sein Minimum bzw. sein Maximum annimmt. Wenigstens eine dieser beiden Stellen muss in $(a,b)$ sein. Und an dieser liegt dann ein kritischer Punkt vor, die Ableitung verschwindet an dieser Stelle also. Das widerspricht aber $j'(x)> 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$. Also auch hier: Widerspruch.
P.S.:
Hier braucht man aber wieder so etwas wie, das, wenn $j$ auf $[a,b]$ stetig und diff'bar auf $(a,b)$ ist, dass dann, wenn $j$ in $(a,b)$ lokale Extremstellen hat, dass an diesen lokalen Extremstellen dann die Ableitung verschwindet. Vermutlich ist das Euch aber auch wieder schon nicht bekannt...
P.P.S.:
Und wenn Du genau hinguckst, habe ich hier eigentlich auch wieder den Beweis des Satzes von Rolle ins Spiel gebracht. Also ehrlich gesagt:
Ohne den Satz von Rolle und/oder den Mittelwertsatz finde ich es ziemlich unpassend, diese Aufgabe überhaupt zu stellen. Es sei denn, ich sehe etwas nicht oder ihr dürft auch etwas locker argumentieren:
Wenn man den Graphen einer (nichtkonstanten) stetigen Funktion auf [a,b] betrachtet, die auf $(a,b)$ diff'bar ist, und dann $f(a)=f(b)$ hat, so sieht man, wenn man diese zeichnen will, dass es da eine Stelle [mm] $\xi \in [/mm] (a,b)$ gibt mit [mm] $f'(\xi)=0$...
[/mm]
Aber die wirkliche Begründung für das, was man da sieht, ist ja gerade der Satz von Rolle 
Also keine Ahnung, präsentiere vll. später mal die "Musterlösung", wenn Du sie zur Hand hast.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Fr 05.12.2008 | | Autor: | reverend |
Ja, das fände ich auch gut. Die später angegebene Lösung, meine ich.
Die zerhacken wir dann oder erstarren in Bewunderung, je nachdem.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Fr 05.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Marcel und reverend,
> Also keine Ahnung, präsentiere vll. später mal die
> "Musterlösung", wenn Du sie zur Hand hast.
ja, die werde ich dann hier einstellen, sobald ich sie habe, ich bin auch schon gespannt, wie das aussehen wird, wie soll man das also 08/15-Mathe-Honk wie ich verstehen, wenn ihr das schon nicht nachvollziehen könnt, wie man die Aufgabe am besten löst. Naja, schaun mer mal
Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Fr 05.12.2008 | | Autor: | reverend |
Beachte
[mm] \a{}2*|nerd|>1*honk [/mm]
[mm] \a{}|honk*nerd|<1 [/mm]
[mm] \a{}honk+2*nerd=0 [/mm] und
[mm] \a{}2*honk\ge \a{}nerd-|nerd|
[/mm]
Ich überblicke allerdings rational nicht, wie komplex die reelle Lösung ist... Dann bin ich wahrscheinlich auch ein Honk.
Hallo, Bruder.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Fr 05.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Beachte
> [mm]\a{}2*|nerd|>1*honk[/mm]
> [mm]\a{}|honk*nerd|<1[/mm]
> [mm]\a{}honk+2*nerd=0[/mm] und
> [mm]\a{}2*honk\ge \a{}nerd-|nerd|[/mm]
oh, der Satz von ... ?
> Ich überblicke allerdings rational nicht, wie komplex die
> reelle Lösung ist... Dann bin ich wahrscheinlich auch ein
> Honk.
> Hallo, Bruder.
![[laugh]](/images/smileys/laugh.gif "[laugh]") cool, Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel und reverend,
> > Also keine Ahnung, präsentiere vll. später mal die
> > "Musterlösung", wenn Du sie zur Hand hast.
> ja, die werde ich dann hier einstellen, sobald ich sie
> habe, ich bin auch schon gespannt, wie das aussehen wird,
> wie soll man das also 08/15-Mathe-Honk wie ich verstehen,
> wenn ihr das schon nicht nachvollziehen könnt, wie man die
> Aufgabe am besten löst. Naja, schaun mer mal
doch, wir wissen, wie man sie am besten löst:
Mit dem Mittelwertsatz (bzw. Resultaten, die dieser impliziert)
Und wäre es meine Aufgabe, würde ich das halt alles beweisen (also meine Aussagen mit kritischen Punkten, Satz von Rolle und dann MWS) und das dann erst anwenden. Dann kann sich keiner beschweren, dass ich etwas benutze, was noch nicht bekannt ist, sofern ich diese Sätze mit den mir zur Verfügung stehenden Mitteln bewiesen habe :P
Wie gesagt: Die eleganteste Lösung geht sicher mit dem MWS. Alles andere läuft - meiner Ansicht nach - nur darauf hinaus, dass man sich den Weg zum Beweis und Aussage des MWS nochmal separat ebnet
Ich glaube jedenfalls nicht, dass die "Musterlösung" kürzer oder einfacher wird
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 So 07.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Marcel,
> stellen. Es sei denn, ich sehe etwas nicht oder ihr dürft
> auch etwas locker argumentieren:
> Wenn man den Graphen einer (nichtkonstanten) stetigen
> Funktion auf [a,b] betrachtet, die auf [mm](a,b)[/mm] diff'bar ist,
> und dann [mm]f(a)=f(b)[/mm] hat, so sieht man, wenn man diese
> zeichnen will, dass es da eine Stelle [mm]\xi \in (a,b)[/mm] gibt
> mit [mm]f'(\xi)=0[/mm]...
ok, f(a)=f(b) haben wir hier doch gar nicht, oder wie verstehe ich das jetzt?
Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 So 07.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Marcel,
> Also was habt ihr:
> [mm]\bullet[/mm] Satz von Rolle?
nein, den haben wir auch noch nicht.
> [mm]\bullet[/mm] Zwischenwertsatz (Das hast Du ja bereits bejaht.)
ja, den hatten wir.
>
> [mm]\bullet[/mm] Stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen ihr
> Maximum/Minimum an?
hm, ja, das kommt mir auch bekannt vor.
>
> [mm]\bullet[/mm] Auf [mm][a,b][/mm] stetige Funktionen, die auf [mm](a,b)[/mm]
> diff'bar sind und an der Stelle [mm]\xi \in (a,b)[/mm] eine
> Extremstelle haben, haben eine an dieser Stelle
> verschwindene Ableitung?
nein, das hatten wir auch noch nicht.
> Oder Du machst es halt so, wie ich oben. Du beweist den MWS
> quasi speziell für die obige Funktion [mm]\,h\,[/mm]. (Ist dann halt
> quasi Beweisklauerei und kommt auf's selbe heraus, wie wenn
> Du den MWS erst selbst beweisen würdest).
ja, das müsste ich dann schon so machen, befürchte ich.
> Denn dass [mm]0 \le f'(x) <...[/mm] das irgendwie einfacher machen
> würde, so dass man dann ohne den MWS auskäme, sehe ich
> jedenfalls nicht...
ja, das haben ja andere hier ebenso schon bestätigt. Ich habe einen Beweis von einem Kommilitonen vorliegen, aber den verstehe ich nicht, der ist sehr umfangreich, ich denke aber, der hat so etwas in der Art wie du gemacht, eben die Beweise zusammengeschrieben. Aber das beherrsche ich als armer Grundstudent des Bsc Informatik nun überhaupt nicht.
Ich poste mal, was wir als Unterlagen so vorliegen habe, also die Mittel, mit denen ich auskommen muss:
13 Funktionen
13.1 Grundlagen und erste Beispiele
13.2 Beispiele
13.2.1 Polynomfunktionen
13.2.2 Rationale Funktionen
13.2.3 Allgemeine Potenz
13.2.4 Exponentialfunktion
13.2.5 Logarithmus
14 Stetigkeit
14.1 Grundlagen, Beispiele, erste Eigenschaften
14.2 Stetige Funktionen auf Intervallen
14.3 Grenzwerte von Funktionen
15 Differenzierbarkeit
15.1 Die Ableitung einer Funktion
15.2 Differentiationsregeln
15.3 Beispiele differenzierbarer Funktionen
15.3.1 Polynomfunktionen
15.3.2 Rationale Funktionen
15.3.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenz
15.3.4 Sinus und Kosinus
Vielen Dank für alle Bemühungen von Dir/Euch.
Schöne Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 08.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Marcel,
> ich habe oben nochmal stehen, warum [mm]h[/mm] auf [mm][a,b][/mm] streng
> monoton wächst. Jetzt weißt Du das also, und daraus folgt:
>
> Für jedes [mm]x \in (a,b][/mm] gilt [mm]h(x) > h(a)\,.[/mm]
>
> Das liefert die Behauptung (Warum?).
daran überlege ich nun schon einige Zeit: h(a)=0 und h(x)=f(x)-g(x) , oder?
Also: f(x)-g(x)>h(a)=0, also f(x)-g(x)>0, also f(x)>g(x), die Behauptung war aber f(x)<g(x). Ich habe es schon selber immer wieder durchgerechnet, aber ich komme auch immer wieder auf dieses Ergebnis. Warum?
Danke nochmals für die Hilfe, dann hab ich es glaube ich, wenn ich das verstanden habe, Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> > ich habe oben nochmal stehen, warum [mm]h[/mm] auf [mm][a,b][/mm] streng
> > monoton wächst. Jetzt weißt Du das also, und daraus folgt:
> >
> > Für jedes [mm]x \in (a,b][/mm] gilt [mm]h(x) > h(a)\,.[/mm]
> >
> > Das liefert die Behauptung (Warum?).
> daran überlege ich nun schon einige Zeit: h(a)=0 und
> h(x)=f(x)-g(x) , oder?
> Also: f(x)-g(x)>h(a)=0, also f(x)-g(x)>0, also f(x)>g(x),
> die Behauptung war aber f(x)<g(x). Ich habe es schon selber
> immer wieder durchgerechnet, aber ich komme auch immer
> wieder auf dieses Ergebnis. Warum?
>
> Danke nochmals für die Hilfe, dann hab ich es glaube ich,
> wenn ich das verstanden habe, Gruß, Stefan.
das liegt an folgendem:
Wir hatten [mm] $h(x)=\blue{g(x)-f(x)}$ [/mm] definiert und nicht [mm] $h(x)=\red{f(x)-g(x)}\,.$ [/mm]
(Das kann aber durchaus sein, dass ich mich da auch mal irgendwo verschrieben hatte (das passiert ja relativ schnell, dass man anstelle von $g-f$ mal $f-g$ schreibt).)
Also:
Vorausgesetzt war (im Wesentlichen) $f(a)=g(a)$ und $f'(x) < g'(x)$. Dann hatten wir [mm] $\blue{h(x):=g(x)-f(x)}$ [/mm] auf $[a,b]$. Das lieferte $h'(x)=g'(x)-f'(x) > 0$ auf $(a,b)$.
Das lieferte Dir das Monotonieverhalten von $h$, und damit insbesondere $h(x) > h(a)$ für alle $x [mm] \in [/mm] (a,b]$. Also $g(x)-f(x) > 0$ für alle $x [mm] \in (a,b]\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:04 Di 09.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Hallo Marcel,
> > > ich habe oben nochmal stehen, warum [mm]h[/mm] auf [mm][a,b][/mm]
> streng
> > > monoton wächst. Jetzt weißt Du das also, und daraus folgt:
> > >
> > > Für jedes [mm]x \in (a,b][/mm] gilt [mm]h(x) > h(a)\,.[/mm]
> > >
> > > Das liefert die Behauptung (Warum?).
> > daran überlege ich nun schon einige Zeit: h(a)=0 und
> > h(x)=f(x)-g(x) , oder?
> > Also: f(x)-g(x)>h(a)=0, also f(x)-g(x)>0, also
> f(x)>g(x),
> > die Behauptung war aber f(x)<g(x). Ich habe es schon selber
> > immer wieder durchgerechnet, aber ich komme auch immer
> > wieder auf dieses Ergebnis. Warum?
> >
> > Danke nochmals für die Hilfe, dann hab ich es glaube ich,
> > wenn ich das verstanden habe, Gruß, Stefan.
>
> das liegt an folgendem:
> Wir hatten [mm]h(x)=\blue{g(x)-f(x)}[/mm] definiert und nicht
> [mm]h(x)=\red{f(x)-g(x)}\,.[/mm]
> (Das kann aber durchaus sein, dass ich mich da auch mal
> irgendwo verschrieben hatte (das passiert ja relativ
> schnell, dass man anstelle von [mm]g-f[/mm] mal [mm]f-g[/mm] schreibt).)
>
> Also:
> Vorausgesetzt war (im Wesentlichen) [mm]f(a)=g(a)[/mm] und [mm]f'(x) < g'(x)[/mm].
> Dann hatten wir [mm]\blue{h(x):=g(x)-f(x)}[/mm] auf [mm][a,b][/mm]. Das
> lieferte [mm]h'(x)=g'(x)-f'(x) > 0[/mm] auf [mm](a,b)[/mm].
>
> Das lieferte Dir das Monotonieverhalten von [mm]h[/mm], und damit
> insbesondere [mm]h(x) > h(a)[/mm] für alle [mm]x \in (a,b][/mm]. Also
> [mm]g(x)-f(x) > 0[/mm] für alle [mm]x \in (a,b]\,.[/mm]
Etwas grundsätzliches:
Es war ja in dieser Diskussion u.a. die Frage, ob man ohne den Mittelwertsatz auskommt.
Wenn man z.B. argumentiert: "$f' > 0$ [mm] \Rightarrow [/mm] f ist streng wachsend,"
so hat man den Mittelwertsatz schon benutzt. Denn obige Implikation wird mit dem Mittelwertsatz bewiesen. Und mir ist auch nach langjähriger Erfahrung als Hochschullehrer kein anderer Beweis bekannt.
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:46 Di 09.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Fred,
> Es war ja in dieser Diskussion u.a. die Frage, ob man ohne
> den Mittelwertsatz auskommt.
> Wenn man z.B. argumentiert: "[mm]f' > 0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] f ist
> streng wachsend,"
>
> so hat man den Mittelwertsatz schon benutzt. Denn obige
> Implikation wird mit dem Mittelwertsatz bewiesen. Und mir
> ist auch nach langjähriger Erfahrung als Hochschullehrer
> kein anderer Beweis bekannt.
ja, das stimmt natürlich, völlig richtig, aber ich bin jetzt mal von dieser einfachsten Grundannahme ausgegangen, dass ich das wüsste, damit ich überhaupt etwas halbwegs Brauchbares zu Papier bringe. Unter den Kommilitonen wird diese Aufgabe auch heiß diskutiert, jeder ist der Meinung, ohne den MWS nicht auskommen zu können. Mir fällt einfach nichts Besseres ein und den MWS oder den Satz von Rolle selber beweisen zu können, halte ich ohen Hilfe für schlichtweg unmöglich, zumindest für mich.
Danke schön, Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Di 09.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Etwas grundsätzliches:
>
> Es war ja in dieser Diskussion u.a. die Frage, ob man ohne
> den Mittelwertsatz auskommt.
> Wenn man z.B. argumentiert: "[mm]f' > 0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] f ist
> streng wachsend,"
>
> so hat man den Mittelwertsatz schon benutzt. Denn obige
> Implikation wird mit dem Mittelwertsatz bewiesen.
das hatte ich hier auch schonmal irgendwo erwähnt ( ich bin nur zu faul, um das nun explizit raussuchen zu gehen ). Insbesondere sehe ich hier halt generell keinen Weg, der ohne den MWS auskäme (jedenfalls keinen auf die Schnelle).
Ich habe oben quasi nur gesagt, dass Stefan halt einfach meinetwegen "$h ' > 0$ liefert, dass $h$ streng monoton wächst" benutzen soll, weil ihm das ja logisch erscheint (wenn man sich die Graphen einer solch (stetigen und) diff'baren Funktion anschaut, sieht's ja auch irgendwie logisch aus, dass das so sein muss; bzw. wenn man sich den Graphen einer solch (stetigen und) diff'baren Funktion anschaut, die halt nicht nur streng monoton wächst, sieht's so aus, als wenn an gewissen Stellen die Ableitung [mm] $\le [/mm] 0$ sein wird).
Ich hab's schonmal (an anderer Stelle) erwähnt, es ist aber dennoch gut, das hier nochmal zu erwähnen, dass wirklich jeder sich auch im Klaren ist, dass hier (wenn man obige Behauptung, wie man aus der Ableitung auf Monotonie schließen kann, wirklich beweisen will/würde) man den MWS wieder miteinbeziehen würde.
> Und mir
> ist auch nach langjähriger Erfahrung als Hochschullehrer
> kein anderer Beweis bekannt.
Mir auch nicht. Zumindest nicht, ohne die Beweismethode des MWS und dann den Satz von Rolle (was dann aber im Prinzip, wie gesagt, nur Beweisklauerei des MWS, auf eine etwas spezieller Funktion $h$ angewendet, ist; was für mich prinzipiell das gleiche ist, wie wenn man den MWS direkt anwenden würde).
So rein aus logischen Gründen würde ich auch fast sagen, dass es hier ohne den MWS nicht geht. Ich meine, alleine mit geometrischen Ansichten läßt sich manches vll. plausibel erscheinen, aber formal geht es dann nicht leicht von der Hand, das wirklich zu beweisen. Alleine schon der MWS erscheint ja auch geometrisch plausibel, wenn man ihn alleine mit geometrischen Aspekten zu beweisen versucht, stoßt man schnell an seine Grenzen. Während er mit einer gewissen Hilfsfunktion und dem Satz von Rolle schnell von der Hand geht
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:51 Di 09.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Marcel,
> Also:
> Vorausgesetzt war (im Wesentlichen) [mm]f(a)=g(a)[/mm] und [mm]f'(x) < g'(x)[/mm].
> Dann hatten wir [mm]\blue{h(x):=g(x)-f(x)}[/mm] auf [mm][a,b][/mm]. Das
> lieferte [mm]h'(x)=g'(x)-f'(x) > 0[/mm] auf [mm](a,b)[/mm].
>
> Das lieferte Dir das Monotonieverhalten von [mm]h[/mm], und damit
> insbesondere [mm]h(x) > h(a)[/mm] für alle [mm]x \in (a,b][/mm]. Also
> [mm]g(x)-f(x) > 0[/mm] für alle [mm]x \in (a,b]\,.[/mm]
ja, ich hatte mich schlichtweg verguckt, in einer anderen Aufgabe wurde f-g mal angenommen, das hatte ich wohl irgendwie im Hinterkopf. Jedenfalls kann ich mit der Annahme der Monotonie die Aufgabe selber lösen und, was mir noch wichtiger ist, auch selber verstehen. Auch wenn nun der MWS implizit immer voraugesetzt werden muss. Allerdings verstehe ich dann auch nicht, wie man die Aufgabe vor dem MWS stellen kann.
Danke nochmals für die Hilfe, ich denke, so werde ich es dann einreichen, weil es mir so klar erscheint.
Gruß, Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Di 09.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ... Auch wenn nun
> der MWS implizit immer voraugesetzt werden muss. Allerdings
> verstehe ich dann auch nicht, wie man die Aufgabe vor dem
> MWS stellen kann.
Ja, wenn wenigstens der Satz von Rolle bekannt wäre, wäre das vll. noch einigermaßen sinnvoll. Aber beide Sätze hattet ihr noch nicht, dann finde ich es auch unpassend (hatte ich ja schon erwähnt).
> Danke nochmals für die Hilfe, ich denke, so werde ich es
> dann einreichen, weil es mir so klar erscheint.
Wenn der Korrektor die Sache "$h' > 0$ auf $(a,b)$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $h$ streng monoton wachsend auf $(a,b)$" mit Punktabzügen ankreidet, würde ich an Deiner Stelle auch nochmal nachfragen gehen, mit dem Hinweis, dass der MWS ja noch nicht benutzt werden durfte.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Fr 05.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hi rev,
> Du definierst einfach die Funktion h(x)=g(x)-f(x).
> Bekannst ist nun: h(a)=0; h'(x)=(g(x)-f(x))'=g'(x)-f'(x)>0
> im betrachteten Intervall; dort ist h(x) also streng
> monoton steigend.
ich denke, das geht schon in die vom Aufgabensteller intendierte Richtung, letztendlich muss ich ja ohne Stammfunktion nachweisen, wie ich von der Ableitung, also der Steigung der Tangenten in jedem Punkt der beiden Funktionen f und g, auf den Funktionsverlauf von f und g schließen kann.
Da muss ich jetzt irgendwas zu finden.
Gruß, Stefan.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Sa 06.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo rev,
> Du definierst einfach die Funktion h(x)=g(x)-f(x).
> Bekannst ist nun: h(a)=0; h'(x)=(g(x)-f(x))'=g'(x)-f'(x)>0
> im betrachteten Intervall; dort ist h(x) also streng
> monoton steigend.
>
> Nun beweise, dass h(x)>0 im Intervall (a;b]
ok, ich gehe davon aus, dass diese Aufgabe nur so lösbar ist, ohne MWS, ohne Stammfunktion. Wie kann ich mit den in der Aufgabe gemachten Vorgaben nun beweisen, dass h(x)>0 im Intervall (a,b]?
Hast du dazu noch einen Hinweis für mich?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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> Hallo rev,
> > Du definierst einfach die Funktion h(x)=g(x)-f(x).
> > Bekannst ist nun: h(a)=0;
> h'(x)=(g(x)-f(x))'=g'(x)-f'(x)>0
> > im betrachteten Intervall; dort ist h(x) also streng
> > monoton steigend.
> >
> > Nun beweise, dass h(x)>0 im Intervall (a;b]
> ok, ich gehe davon aus, dass diese Aufgabe nur so lösbar
> ist, ohne MWS, ohne Stammfunktion. Wie kann ich mit den in
> der Aufgabe gemachten Vorgaben nun beweisen, dass h(x)>0 im
> Intervall (a,b]?
> Hast du dazu noch einen Hinweis für mich?
>
Hallo,
für mich geht es an die Grenzen meiner Vorstellungskraft, daß das ohne den Satz von Rolle bzw. Mittelwertsaz bewiesen werden soll - genau wie ich es im anderen Thread kaum für möglich gehalten habe, daß der Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und der Monotonie noch nicht behandelt wurde.
Aber hier scheinst Du ja bereit zu sein zu verwenden, daß man aus h'(x)>0 auf das monotone Wachstum der Funktion im betrachteten Intervall schließen kann.
Du hast h(a)=0, weißt, daß die Funktion streng monoton wächst. Nun nimm an, daß an irgendeiner Stelle c des Intervalls [mm] h(c)\le [/mm] 0 gilt, und arbeite den Widerspruch heraus.
Ansonsten: Satz v. Rolle beweisen (dabei hilft jedes Analysisbuch) und dann verwenden.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:13 So 07.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> für mich geht es an die Grenzen meiner Vorstellungskraft,
> daß das ohne den Satz von Rolle bzw. Mittelwertsaz bewiesen
> werden soll - genau wie ich es im anderen Thread kaum für
> möglich gehalten habe, daß der Zusammenhang zwischen dem
> Vorzeichen der Ableitung und der Monotonie noch nicht
> behandelt wurde.
ja, wir haben noch nicht sehr viel für diese Aufgabe an Grundlagen. Ich hab ja mal das Inhaltsverzeichnis gepostet.
> Aber hier scheinst Du ja bereit zu sein zu verwenden, daß
> man aus h'(x)>0 auf das monotone Wachstum der Funktion im
> betrachteten Intervall schließen kann.
ja, ich denke mal, das sollte wenigstens einleuchtend sein, wenn auch ohne vorhandenen Satz, auf den ich zurückgreifen könnte.
> Du hast h(a)=0, weißt, daß die Funktion streng monoton
> wächst. Nun nimm an, daß an irgendeiner Stelle c des
> Intervalls [mm]h(c)\le[/mm] 0 gilt, und arbeite den Widerspruch
> heraus.
hm, ok, ich versuche es. aber in Widerspruchsbeweisen bin ich noch schlechter.
> Ansonsten: Satz v. Rolle beweisen (dabei hilft jedes
> Analysisbuch) und dann verwenden.
ja, da hätte ich nochmal eine Frage zu: Du hattest das schon mal in einem anderen Thread geschrieben, welche Mathebücher du empfehlen würdest. Ich bin ja nun im Studiengang Informatik, aber es scheint doch, dass alleine die Mathebücher für Informatiker nicht ausreichen. Wenn du mir netterweise nochmal eine Empfehlung aus Mathematiker-Sicht für Literatur zu Lineare Algebra und Analysis geben würdest.
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 So 07.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Ich bin ja nun im
> Studiengang Informatik, aber es scheint doch, dass alleine
> die Mathebücher für Informatiker nicht ausreichen. Wenn du
> mir netterweise nochmal eine Empfehlung aus
> Mathematiker-Sicht für Literatur zu Lineare Algebra und
> Analysis geben würdest.
ich kann Dir auch zwei Bücher empfehlen (zumindest sollte man in beide Mal reingeschaut haben; danach kann man sich immer noch selbst ein eigenes Urteil bilden):
[mm] $\bullet$ [/mm] Analysis: Heuser (Analysis I). Wenn Du es nicht kennst, wirst Du sicher direkt mal erschreckt werden wegen der Dicke des Buches. Aber gerade als Einstieg ist es eigentlich, denke ich, recht gut gehalten. Denn er greift auch auf alltägliches bzw. physikalische Beispiele zurück und versucht, nicht nur die Theorie zu beleuchten, sondern auch quasi die Wege zu ebnen, wie man zu gewissen theoretischen Ansätzen kommt. Also durchaus teilweise heuristisch starten und nichtsdestotrotz die ganze Theorie (im Wesentlichen) durchzugehen. Das einzige Manko ist vll., dass, gerade, weil er diesen Weg geht, es einem dann vll. doch nachher etwas so vorkommt, als wenn man nur langsam damit vorankäme. Andererseits bekommt man auch irgendwann ein Gespür für Wesentliches und weiß dann auch selber, wann man etwas mehr oder weniger überfliegen kann, und wann man mehr Aufmerksamkeit auf Sachen verwenden sollte.
[mm] $\bullet$ [/mm] Lineare Algebra: Da kam' ich mit "Bosch, Lineare Algebra" eigentlich ganz gut zurecht. Hier ist's ein wenig anders, irgendwie scheint's zunächst sehr theoretisch, andererseits werden Dinge, die vll. anfänglich etwas schwerer verständlich sind, dann auch wieder erstmal ein wenig heuristisch oder mit Beispielen eingeführt (z.B. finde ich seine Idee, Quotientenvektorräume wenigstens plausibel zu machen, sehr gut; insbesondere der Zusammenhang zu Äquivalenzklassen). Manko ist hier natürlich, dass man hier doch eher sorgfältig arbeiten sollte bzw. eigentlich wenig einfach mal so überspringen kann. Wenn man das denn als Manko ansehen will
Und zur Lineare Algebra kann ich Dir auch ![[]](/images/popup.gif) dieses Skript empfehlen; reinschauen lohnt sich jedenfalls, auch, wenn Du da anfangs vll. erstmal wenig verstehst.
Und generell ein Tipp: Bevor Du jetzt drauflosstürmst und Bücher kaufst, gehe mal in die Unibibliothek und leihe Dir mal ein paar Bücher aus, in die Du vorher einen Blick geworfen hast. Du wirst dann irgendwann eh merken, mit welchem Buch Du besser und womit schlechter zurecht kommst. Kann ja durchaus sein, dass Dir der Heuser gar nicht gefällt, weil Dir sein Schreibstil nicht passt oder oder oder...
Du wirst merken, dass Dir irgendein Buch am meisten hilft, wenn etwas unklar ist, und dann kannst Du Dir das ja notfalls immer noch kaufen.
Und noch ein Tipp:
Benutze auch mal Google Books, um in ein Buch reinzulinsen, wenn Du keine Zeit/Lust hast, um in die Bib zu rennen
Beispiel: Google Book, Forster
P.S.:
Eine kleine Sache noch: Mit dem Inhaltsverzeichnis kann ich so recht wenig anfangen, weil ich da nicht weiß, welche Teilbereiche ihr genau behandelt habt. (Der Mittelwertsatz gehört, m.E. zum Beispiel unabdingbar in die Differentialrechnung, und den hattet ihr noch nicht.) Aber mach' Dir jetzt nicht die Mühe, alle Sätze abzutippen. Das ist die Aufgabe nicht wert. Ich an Deiner Stelle würde den MWS aus irgendeinem Buch klauen und zitieren (mit Zusatz, dass da auch der Beweis dazu steht!); dann kurz schreiben, dass und wie mit dem MWS dann aus den Voraussetzungen folgt, dass $h$ streng monoton wachsend ist und das benutzen. Zumal es Dir ja auch intuitiv logisch erscheint, nur Du keine Mittel findest, es formal zu beweisen. Dann hast Du die Aufgabe wenigstens teilweise verstanden und gezeigt, dass Du versucht hast, sie zu lösen. Finde ich besser, als einfach zu sagen, ich mache nichts... Das letzte wäre nur besser, wenn Du andernfalls lauter Unfug zusammenschreibst
Und btw.: Ich war selbst öfters Korrektor, von daher kann ich Dir sagen, dass ich auf jeden Fall auch versucht habe, Punkte zu geben, wenn jemand sich nur an der Aufgabe versucht hat (und sei es auch nur einer von sechs). Nur wenn gar nichts gemacht wurde, konnte ich auch nichts bewerten. Und klar: Wenn da ein Knaller nach dem anderen kam, dann konnte ich auch keine Punkte mehr verteilen. Verschenken konnte ich ja nichts (höchstens an Feiertagen habe ich manchmal einfach mal etwas durchgestrichen und dabei geschrieben, dass ich das mal einfach nicht gesehen habe )...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank für die Literaturliste, ich werde mir die Bücher mal anschauen.
> mach' Dir jetzt nicht die Mühe, alle Sätze abzutippen. Das
> ist die Aufgabe nicht wert. Ich an Deiner Stelle würde den
> MWS aus irgendeinem Buch klauen und zitieren (mit Zusatz,
> dass da auch der Beweis dazu steht!); dann kurz schreiben,
> dass und wie mit dem MWS dann aus den Voraussetzungen
> folgt, dass [mm]h[/mm] streng monoton wachsend ist und das benutzen.
> Zumal es Dir ja auch intuitiv logisch erscheint, nur Du
> keine Mittel findest, es formal zu beweisen. Dann hast Du
> die Aufgabe wenigstens teilweise verstanden und gezeigt,
> dass Du versucht hast, sie zu lösen. Finde ich besser, als
> einfach zu sagen, ich mache nichts... Das letzte wäre nur
> besser, wenn Du andernfalls lauter Unfug zusammenschreibst
>
ja, ich werde diesen Versuch starten, ich habe nochmals nachgedacht und versuche nun folgenden Ansatz:
Wir hatten ein Korollar, welches besagt, dass wenn eine Funktion stetig ist auf einem Intervall, es dort ein Maximum [mm] x_1 [/mm] und ein Minimum [mm] x_2 [/mm] geben muss. Wenn ich die Funktion h:=f-g nehme, diese ist ebenfalls stetig und differenzierbar, dann trifft das auf jeden Fall auf diese Funktion zu. Der Startpunkt ist offensichtlich f(a)-g(a)=h(a)=0. So, nun weiß ich nicht so genau, wie ich sauber weiter argumentiere (wenn ich es schon nicht formal beweisen kann). Es gilt ja 0 [mm] \le [/mm] f'(x) < g'(x) für alle x [mm] \in [/mm] (a,b). Das besagt doch, dass es offensichtlich einen Extremwert wegen f'(x)=0 geben muss, außerdem gilt doch: g'(x)-f'(x)=h'(x)>0, d.h. es gibt nur eine Extremstelle und danach sind ja, bildlich gesprochen, damit alle Tangentensteigungen >0, d.h. der Funktionsgraph der Funktion h(x) steigt monoton, oder? D.h., wenn h'(x)=g'(x)-f'(x)>0, dann ist ja auch g(x)>f(x), die Behauptung, aber hm, das ist jetzt ein bisschen holprig, außerdem muss ich den Endpunkt b ja noch mit einschließen in meine Betrachtung, weil dieser ja zum Intervall gehört. Hm, so recht glücklich bin ich noch nicht, muss ich sagen. Was fehlt mir nun noch, damit ich wenigstens eine saubere Argumentation habe, wenn schon keinen Beweis?
Danke vielmals, Gruß, Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 09.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Do 04.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo stefan00 , hallo reverend,
ich denke man kommt nicht ohne den Mittelwertsatz aus !
Sei h = g-f
Sei x [mm] \in [/mm] (a,b]. Dann gibt es ein t [mm] \in [/mm] (a,x) mit : h(x) = h(x) - h(a) = h'(t)(x-a).
Da h'(t) > 0 und x>a , folgt: h(x) > 0.
FRED
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Do 04.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Fred,
> ich denke man kommt nicht ohne den Mittelwertsatz aus !
den haben wir zu diesem Zeitpunkt noch nicht eingeführt, der ist mir also bei dieser Aufgabe nicht bekannt, deswegen nehme ich mal an, darf ich diesen auch nicht benutzen.
Danke schön, Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Do 04.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Schade
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Fr 19.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
nun ist sie da, die heißersehnte Musterlösung:
Nach Voraussetzung gilt 0 < g'(x) - f'(x) = (f - g)'(x) für alle x [mm] \in [/mm] (a, b). Damit ist
g - f auf [a, b] streng monoton wachsend. Es folgt g(x) - f (x) > g(a) - f (a) = 0 für alle
x [mm] \in [/mm] (a, b] , also g(x) > f (x) für alle x [mm] \in [/mm] (a, b].
Nichts vom Satz von Rolle oder dem MWS, obwohl er ja hier auch vorausgesetzt wird. Also, man kann wohl locker argumentieren, selbst ohne Bezug auf Sätze, Propositionen und Korollare zu nehmen.
Vielen Dank für Eure ergiebige Hilfe, dadurch habe ich viel gelernt.
Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Fr 19.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> nun ist sie da, die heißersehnte Musterlösung:
>
> Nach Voraussetzung gilt 0 < g'(x) - f'(x) = (f - g)'(x) für
> alle x [mm]\in[/mm] (a, b). Damit ist
> g - f auf [a, b] streng monoton wachsend. Es folgt g(x) -
> f (x) > g(a) - f (a) = 0 für alle
> x [mm]\in[/mm] (a, b] , also g(x) > f (x) für alle x [mm]\in[/mm] (a, b].
>
> Nichts vom Satz von Rolle oder dem MWS,
War mal wieder ein inkompetenter Übungsleiter oder Dozent am Werk.
Ich habs von Anfang an gesagt:
ohne den Mittelwertsatz kommt man nicht aus.
FRED
>obwohl er ja hier
> auch vorausgesetzt wird. Also, man kann wohl locker
> argumentieren, selbst ohne Bezug auf Sätze, Propositionen
> und Korollare zu nehmen.
> Vielen Dank für Eure ergiebige Hilfe, dadurch habe ich
> viel gelernt.
>
> Gruß, Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Fr 19.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > nun ist sie da, die heißersehnte Musterlösung:
> >
> > Nach Voraussetzung gilt 0 < g'(x) - f'(x) = (f - g)'(x) für
> > alle x [mm]\in[/mm] (a, b). Damit ist
> > g - f auf [a, b] streng monoton wachsend. Es folgt g(x)
> -
> > f (x) > g(a) - f (a) = 0 für alle
> > x [mm]\in[/mm] (a, b] , also g(x) > f (x) für alle x [mm]\in[/mm] (a,
> b].
> >
> > Nichts vom Satz von Rolle oder dem MWS,
>
>
> War mal wieder ein inkompetenter Übungsleiter oder Dozent
> am Werk.
> Ich habs von Anfang an gesagt:
>
> ohne den Mittelwertsatz kommt man nicht aus.
genau, denn eben an der Stelle
> Nach Voraussetzung gilt 0 < g'(x) - f'(x) = (f - g)'(x) für alle x $ [mm] \in [/mm] $ (a, b).
> Damit ist
> g - f auf [a, b] streng monoton wachsend.
fließt (wenn man davon absieht, dass das intuitiv bzw. geometrisch einleuchtend erscheint) der MWS ein. Schade, dass ein Übungsleiter/Dozent nicht in der Lage ist, wenigstens darauf hinzuweisen, dass man an dieser Stelle eigentlich den MWS braucht benutzen sollte.
> >obwohl er ja hier
> > auch vorausgesetzt wird. Also, man kann wohl locker
> > argumentieren, selbst ohne Bezug auf Sätze, Propositionen
> > und Korollare zu nehmen.
@ Stefan:
Ich finde die "Musterlösung", ehrlich gesagt, einfach nicht gut. Diese suggeriert, dass man einfach mit Dingen, die einem "einleuchtend" erscheinen, argumentieren darf/soll. Und generell sind gerade die Stellen, wo man sich einen Beweis erspart oder glaubt, ihn sich ersparen zu dürfen, meist die, wo Fehler passieren und womit man manchmal zu den bizarresten Ergebnissen gelangt. Wer einen Beweis wirklich einwandfrei führen kann, kann zu jedem Schritt, der in dem Beweis vorgenommen wird, auch eine wirkliche Begründung geben, warum diese Folgerung gilt. Und das wurde bei Eurem Übungsleiter oben leider unterlassen. Ob und wie sich das auswirkt, wird sich zeigen. Ich hoffe, Dir selbst ist aber klar, dass die "Musterlösung" keine lückenlose Musterlösung ist. Und die Lücke schließt sich z.B., wenn man den MWS einbringen kann.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 So 21.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Marcel,
> Ich finde die "Musterlösung", ehrlich gesagt, einfach
> nicht gut. Diese suggeriert, dass man einfach mit Dingen,
> die einem "einleuchtend" erscheinen, argumentieren
> darf/soll. Und generell sind gerade die Stellen, wo man
> sich einen Beweis erspart oder glaubt, ihn sich ersparen zu
> dürfen, meist die, wo Fehler passieren und womit man
> manchmal zu den bizarresten Ergebnissen gelangt. Wer einen
ja, das leuchtet mir auch ein. Ich habe dies in meiner Lösung auch angemerkt, dass man eigentlich den MWS, der erst später eingeführt wird, zurückgreifen muss, mal sehn, was als Kommentar zurückkommt. Durch die Diskussionen und Hinweise hier habe ich schon sehr viel gelernt, vor allem mathematisches Argumentieren. Das fällt mir eben noch am schwersten und ich denke, dass macht die Mathematik erst aus. Ich finde es echt nicht einfach, mit mathematischen Argumenten umzugehen, aber das macht eben auch den Reiz und die Stringenz der Mathematik aus. Allerdings ist das für mich Knochenarbeit.
> Beweis wirklich einwandfrei führen kann, kann zu jedem
> Schritt, der in dem Beweis vorgenommen wird, auch eine
> wirkliche Begründung geben, warum diese Folgerung gilt. Und
> das wurde bei Eurem Übungsleiter oben leider unterlassen.
ja, das stimmt, die Schlüssigkeit fehlt hier leider völlig, meine Lösungen beziehen sich immer auf die Sätze und Definitionen aus der Vorlesung, vor allem, weil uns das dort auch eingetrichtert wird. Aber nun weiß ich für die Klausur nicht, wie ich eigentlich vorgehen muss, vor allem, weil die Zeit mit 2 Stunden sehr knappt bemessen ist.
Vielen Dank für Eure hilfreichen Kommentare.
Gruß, Stefan.
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Aber nun weiß ich für die
> Klausur nicht, wie ich eigentlich vorgehen muss, vor allem,
> weil die Zeit mit 2 Stunden sehr knappt bemessen ist.
Hallo,
wenn Ihr das Skript nicht bei der Klausur dabeihabt, wird niemand von Dir erwarten, daß Du die Satznummern angeben kannst.
Wenn Du "prominente" Sätze verwendest, solltest Du das jedoch angeben: nach dem ZWS, nach den MWS, "stetige Funktionen über kompakten Intervallen", "da aus Monotonie und Beschränktheit Konvergenz folgt" usw.
So kann man dann auch sehen, was Du tust. Besser aber Du fragst den Leiter des Übungsbetriebes.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 So 21.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> wenn Ihr das Skript nicht bei der Klausur dabeihabt, wird
> niemand von Dir erwarten, daß Du die Satznummern angeben
> kannst.
wir dürfen einen zweiseitig handbeschriebenen Zettel mitnehmen, sonst nichts.
> Wenn Du "prominente" Sätze verwendest, solltest Du das
> jedoch angeben: nach dem ZWS, nach den MWS, "stetige
> Funktionen über kompakten Intervallen", "da aus Monotonie
> und Beschränktheit Konvergenz folgt" usw.
ja, das werde ich tun.
Aber es geht um die gesamten Grundlagen: Lineare Algebra, Analysis (Diffential- Integralrechnung) und Logik (Prädikatenlogik auch), und das ist 2 Stunden finde ich schon heftig.
Gruß, Stefan.
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