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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Sa 27.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Die Funktion f : [a, b] [mm] \rightarrow [/mm] R sei n mal differenzierbar. Seien [mm] x_1, [/mm] . . . , [mm] x_{n+1} \in [/mm] [a, b] mit [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_{n+1} [/mm] und [mm] f(x_i) [/mm] = 0 für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n + 1.
Beweisen Sie, dass es ein [mm] x_0 \in [/mm] (a, b) so gibt, dass [mm] f^{(n)}(x_0) [/mm] = 0 ist. |
Hallo,
ich weiß, man soll einen eigenen Ansatz posten, bevor man fragt, aber ich finde beim besten Willen keinen, hat jemand einen Tipp, in welche Richtung das gehen kann?
Vielen, vielen Dank, Gruß, Stefan.
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> Sei n [mm]\in \IN.[/mm] Die Funktion f : [a, b] [mm]\rightarrow[/mm] R sei n
> mal differenzierbar. Seien [mm]x_1,[/mm] . . . , [mm]x_{n+1} \in[/mm] [a, b]
> mit [mm]x_1[/mm] < ... < [mm]x_{n+1}[/mm] und [mm]f(x_i)[/mm] = 0 für alle 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm]
> n + 1.
> Beweisen Sie, dass es ein [mm]x_0 \in[/mm] (a, b) so gibt, dass
> [mm]f^{(n)}(x_0)[/mm] = 0 ist.
> Hallo,
>
> ich weiß, man soll einen eigenen Ansatz posten, bevor man
> fragt, aber ich finde beim besten Willen keinen, hat jemand
> einen Tipp, in welche Richtung das gehen kann?
Hallo,
das sieht mir doch streng nach dem Mittelwertsatz aus.
Die Funktion hat n+1 Nullstellen in [a,b], also ist ihre Ableitung f' an n Stellen =0.
Die Ableitung hat n Nullstellen in [a,b], also ist die Ableitung der Ableitung, f'', an n-1 Stellen =0 usw.
Dies dürft der Grundgedanke sein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 So 28.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> das sieht mir doch streng nach dem Mittelwertsatz aus.
>
> Die Funktion hat n+1 Nullstellen in [a,b], also ist ihre
> Ableitung f' an n Stellen =0.
>
> Die Ableitung hat n Nullstellen in [a,b], also ist die
> Ableitung der Ableitung, f'', an n-1 Stellen =0 usw.
>
> Dies dürft der Grundgedanke sein.
ja, das sieht wirklich so aus. Interessant, was könnte das für eine Funktion sein? Ich dachte zunächst an die trigonometrischen Funktionen, aber das passt nicht ganz, nur fast.
Gruß, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 28.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> das sieht mir doch streng nach dem Mittelwertsatz aus.
>
> Die Funktion hat n+1 Nullstellen in [a,b], also ist ihre
> Ableitung f' an n Stellen =0.
ok, das heißt, sie hat n Extrema, oder?
> Die Ableitung hat n Nullstellen in [a,b], also ist die
> Ableitung der Ableitung, f'', an n-1 Stellen =0 usw.
Die Ableitung hat n-1 Extrema, oder?
Das heißt ja, dass eine Funktion mit n Nullstellen immer auch Extremstellen zwischen diesen Nullstellen haben muss, und zwar genau eine zwischen zwei Nullstellen, oder? Ich finde also immer ein [mm] x_0, [/mm] so dass an dieser Stelle die n-te Ableitung 0 sein muss.
Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 So 28.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hallo,
> > das sieht mir doch streng nach dem Mittelwertsatz aus.
> >
> > Die Funktion hat n+1 Nullstellen in [a,b], also ist ihre
> > Ableitung f' an n Stellen =0.
> ok, das heißt, sie hat n Extrema, oder?
Erstens ist das falsch, es muss nicht unbedingt ein Extrema sein, und zweitens ist das völlig belanglos - es geht in der Aufgabe überhaupt nicht um Extrema.
> > Die Ableitung hat n Nullstellen in [a,b], also ist die
> > Ableitung der Ableitung, f'', an n-1 Stellen =0 usw.
> Die Ableitung hat n-1 Extrema, oder?
Dito.
> Das heißt ja, dass eine Funktion mit n Nullstellen immer
> auch Extremstellen zwischen diesen Nullstellen haben muss,
Wenn sie stetig (z.B. differenzierbar) ist, ja - aber das ist jetzt eigentlich nix aufregendes.
> und zwar genau eine zwischen zwei Nullstellen, oder?
Wie kommst du denn darauf?!? Das ist einfach falsch...
> Ich finde also immer ein [mm]x_0,[/mm] so dass an dieser Stelle die n-te
> Ableitung 0 sein muss.
Benutze vollständige Induktion über n und den Mittelwertsatz, nicht dieses blabla...
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 So 28.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Robert,
> Benutze vollständige Induktion über n und den
> Mittelwertsatz, nicht dieses blabla...
ok, das sollte für mich auch nur dazu gut sein, es mir besser vorstellen zu können, ich bin kein Mathematiker. Dann werde ich mal vollst. Ind. und den Mittelwertsatz benutzen, obwohl ich da noch nicht so recht weiß, wie ich das machen soll.
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mo 29.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Benutze vollständige Induktion über n und den
> Mittelwertsatz, nicht dieses blabla...
Mir fällt einfach nicht ein, wie ich auf die Induktionsvoraussetzung komme und dann vom Schluss von n auf n+1, wie muss ich anfangen.
Vielen Dank für die Hilfe, Gruß, Stefan.
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Lies nochmal Angelas Beitrag. Da steht eigentlich schon alles drin.
Im übrigen ist Deine Grundüberlegung nicht so schlecht, wie die Antworten darauf klingen mögen:
Zwischen zwei Nullstellen liegt nur dann kein Extremum, wenn die Funktion in diesem Bereich konstant ist. Dann folgt die zu zeigende Bedingung [mm] f^n=0 [/mm] sofort, weil ja alle Ableitungen Null sind.
Wenn die Funktion nicht konstant ist, liegt [i]mindestens ein[i] Extremum zwischen zwei beliebigen Nullstellen (oder überhaupt zwei Stellen, an denen sie den gleichen Funktionswert erreicht). Das reicht völlig, um Angelas Ansatz zu verstehen und Dich von 1 bis n vorzuarbeiten. Insofern ist es sowieso keine vollständige Induktion, die liefe ja bis unendlich.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Di 30.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Reverend und die anderen,
nach einigen Überlegungen bin ich zu dem Schluss gekommen, dass man hier den Satz von Rolle wunderbar anwenden kann.
Es gibt n Stellen [mm] x_{i}' \in (x_{i-1},x_i) [/mm] mit i=1,...,n mit [mm] f'(x_{i}')=0. [/mm] Weiterhin folgt daraus dann, dass es n-1 Stellen geben muss mit [mm] x_{i}'' \in (x_{i-1}',x_{i}') [/mm] mit i=2,...,n mit [mm] f''(x_{i}'')=0, [/mm] usw.
Das erscheint mir zumindest logisch und nachvollziehbar, oder habe ich einen Denkfehler? Wie formuliere ich das jetzt aber in einer vernünftigen Induktion?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Di 30.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also die Behauptung ist doch folgende:
Ist $f:[a,b]\to\IR$ eine n-mal diffb. Funktion und gibt es $x_1<...<x_{n+1}\in[a,b]$ mit $f(x_i)=0$, so gibt es $\xi\in[a,b]$ mit $f^(n)(\xi)=0$.
Beweis: Durch Induktion über $n$.
Induktionsanfang n=1. Das ist der Satz von Rolle, bzw. der Mittelwertsatz.
Induktionsschritt Sei $f:[a,b]\to\IR$ $n+1$-mal differenzierbar mit $x_1<...<x_{n+2}\in[a,b]$ und $f(x_i)=0$. Dann kannst du auf die Einschränkungen $f|_{[x_i,x_{i+1}]$ ($i=1,...,n+1$) jeweils die Induktionsvoraussetzung anwenden und findest für jedes $i$ ein $\xi_i\in[x_i,x_{i+1}]$ mit $f'(\xi_i)=0$. Offensichtlich gilt auch $\xi_1<...<\xi_{n+1}$. Nun kannst du auf $f'$ die Induktionsvoraussetzung anwenden und bekommst eine Stelle $\gamma$ mit $(f')^{(n)}(\gamma)=0$, also $f^{(n+1)}(\gamma)=0$ - fertig.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Di 30.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Robert,
> Induktionsschritt Sei [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] [mm]n+1[/mm]-mal differenzierbar
> mit [mm]x_1<...
> auf die Einschränkungen [mm]f|_{[x_i,x_{i+1}][/mm] ([mm]i=1,...,n+1[/mm])
> jeweils die Induktionsvoraussetzung anwenden und findest
> für jedes [mm]i[/mm] ein [mm]\xi_i\in[x_i,x_{i+1}][/mm] mit [mm]f'(\xi_i)=0[/mm].
> Offensichtlich gilt auch [mm]\xi_1<...<\xi_{n+1}[/mm]. Nun kannst du
> auf [mm]f'[/mm] die Induktionsvoraussetzung anwenden und bekommst
> eine Stelle [mm]\gamma[/mm] mit [mm](f')^{(n)}(\gamma)=0[/mm], also
> [mm]f^{(n+1)}(\gamma)=0[/mm] - fertig.
ja, ok, das ist nachvollziehbar, ich hab immer "nur" Probleme mit der Formalisierung, verstanden habe ich das schon grundsätzlich.
Vielen Dank für die Mühe.
Gruß, Stefan.
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