Differenzierbare Funktionen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Sinus |
| Aufgabe | An welchen Stellen sind die Funktionen f,g [mm] \IR \to \IR, [/mm] gegeben durch
f(x)=|x|
g(x)= x |x|
differenzierbar? |
Hallo Zusammen,
ich weiß leider gar nicht, wie bei dieser Aufgabe vorgehen soll...
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen würde!
Was soll ich genau tun? Die Ableitung rechnen? Wie funktioniert das mit Betrag?
Vielen Dank für eure Hilfe!!
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Hallo,
zu a)
Die Betragsfunktion ist i.A. nicht diffbar. Geometrisch ist die Verdachtsstelle natürlich dieser Knick, weil man da nur schwer eine Tangente anlegen kann.
Wenn du die Ableitung an der Stelle 0 mit dem Differenzenquotienten berechnest,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x_{n})-f(x)}{x_{n}-x}=c
[/mm]
(Man verwendet also Testfolgen!)
bekommst du zwei verschiedene Werte heraus. Für eine Folge [mm] x_{n} [/mm] von links mit negativen Werten den Grenzwert -1 und für eine Folge mit positiven Werten von rechts den Grenzwert 1. Nimmst du aber eine Folge, die gegen null konvergiert, dann wird der Wert für c zwischen positiven und negativen Zahlen osszillieren. Der Grenzwert existiert dort also nicht. Das liegt an der Bedeutung des Ausdruckes oben. Das muss für jede Folge reeller Zahlen [mm] x_{n}, [/mm] die gegen x konvergiert, gelten!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo Daniel,
vielen Dank für deine Antwort. Ich habe das Ganze mit der Differenzierbarkeit von Funktionen nicht richtig verstanden. Konnte deiner Argumentation deshalb leider auch nicht richtig folgen:
Wie bestimmt man genau die Testfolgen? Was nimmt man dann genau für [mm] x_{n} [/mm] und x? Ist x der Grenzwert? Kannst du mir das viell mal an einem Beispiel erklären, wie ich Stellen finden kann, an der Funktionen differenzierbar sind?
Wäre wirklich sehr lieb! Danke im Voraus
und beste Grüße
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Die Betragsfunktion ist eine abschnittsweise definierte Funktion:
[mm]f(x) = |x| \ = \ \begin{cases} -x , & \mbox{falls} \ x < 0 \\ x , & \mbox{falls} \ x \geq 0 \end{cases}[/mm]
Die beiden Teile stellen auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] differenzierbare Funktionen dar:
[mm]\varphi(x) = -x \, , \ x \in \mathbb{R}[/mm]
[mm]\psi(x) = x \, , \ x \in \mathbb{R}[/mm]
Die Werte dieser Funktionen an der Anschlußstelle [mm]x=0[/mm] entscheiden, ob [mm]f[/mm] dort stetig oder gar differenzierbar ist. An allen anderen Stellen ist die Funktion von vorneherein differenzierbar.
In der zweiten Aufgabe ist
[mm]f(x) = x \, |x| \ = \ \begin{cases} -x^2 , & \mbox{falls} \ x < 0 \\ x^2 , & \mbox{falls} \ x \geq 0 \end{cases}[/mm]
Hier geht es um die Funktionen
[mm]\varphi(x) = -x^2 \, , \ x \in \mathbb{R}[/mm]
[mm]\psi(x) = x^2 \, , \ x \in \mathbb{R}[/mm]
Die kritische Stelle ist wieder die Anschlußstelle [mm]x=0[/mm].
Wie das genau geht, zeigt der Anhang.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Differenzierbarkeit abschnittsweise definierter Funktionen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo Leopold,
vielen Dank für deine Erklärungen. Mir ist einiges klarer geworden. Ist das Folgende korrekt?
Zu (a):
Da [mm] \varphi(0) [/mm] = [mm] \psi(0) [/mm] = f(0) ist die Funktion an der Stelle 0 schon einmal stetig.
Zu überprüfen bleibt noch die Differenzierbarkeit an der ersten Ableitung.
Damit f differenzierbar muss gelten [mm] \varphi'(0) [/mm] = [mm] \psi'(0) [/mm] = f'(0).
[mm] \varphi'(x) [/mm] = -1
[mm] \psi'(x) [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow \varphi'(0) \not= \psi'(0) \not= [/mm] f'(0). Also nicht differnzierbar.
Wie berechne ich denn jetzt genau die rechtsseitige bzw. linkseitige Ableitung (Knick), oder muss ich das gar nicht?
zu (b):
f(x) = x [mm] \, [/mm] |x| \ = \ [mm] \begin{cases} -x^2 , & \mbox{falls} \ x < 0 \\ x^2 , & \mbox{falls} \ x \geq 0 \end{cases}[/mm]
[/mm]
[mm] \varphi(x) [/mm] = [mm] -x^2 \, [/mm] , \ x [mm] \in \mathbb{R}[/mm]
[/mm]
[mm] \psi(x) [/mm] = [mm] x^2 \, [/mm] , \ x [mm] \in \mathbb{R}[/mm]
[/mm]
Da [mm] \varphi(0)= \psi(0)= [/mm] f(0) ist die Funktion stetig.
[mm] \varphi'(x)= [/mm] -2x
[mm] \psi'(x)= [/mm] 2x
da [mm] \varphi'(0)= \psi'(0) [/mm] also = f'(0) ist die Funktion auch differenzierbar.
Stimmt das so?
Viielen Dank nochmal für den nützlichen Link und deine Hilfe,
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 Sa 17.12.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo Leopold,
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> vielen Dank für deine Erklärungen. Mir ist einiges klarer
> geworden. Ist das Folgende korrekt?
>
> Zu (a):
> Da [mm]\varphi(0)[/mm] = [mm]\psi(0)[/mm] = f(0) ist die Funktion an der
> Stelle 0 schon einmal stetig.
> Zu überprüfen bleibt noch die Differenzierbarkeit an der
> ersten Ableitung.
> Damit f differenzierbar muss gelten [mm]\varphi'(0)[/mm] = [mm]\psi'(0)[/mm]
> = f'(0).
> [mm]\varphi'(x)[/mm] = -1
> [mm]\psi'(x)[/mm] = 1
> [mm]\Rightarrow \varphi'(0) \not= \psi'(0) \not=[/mm] f'(0). Also
> nicht differnzierbar.
> Wie berechne ich denn jetzt genau die rechtsseitige bzw.
> linkseitige Ableitung (Knick), oder muss ich das gar
> nicht?
[mm] $\varphi'(0)$ [/mm] ist gerade die linksseitige Ableitung und [mm] $\psi'(0)$ [/mm] die rechtseitige Ableitung.
>
> zu (b):
> f(x) = x [mm]\,[/mm] |x| \ = \ [mm]\begin{cases} -x^2 , & \mbox{falls} \ x < 0 \\ x^2 , & \mbox{falls} \ x \geq 0 \end{cases}[/mm][/mm]
>
>
> [mm]\varphi(x)[/mm] = [mm]-x^2 \,[/mm] , \ x [mm]\in \mathbb{R}[/mm][/mm]
> [mm]\psi(x)[/mm] = [mm]x^2 \,[/mm]
> , \ x [mm]\in \mathbb{R}[/mm][/mm]
>
> Da [mm]\varphi(0)= \psi(0)=[/mm] f(0) ist die Funktion stetig.
> [mm]\varphi'(x)=[/mm] -2x
> [mm]\psi'(x)=[/mm] 2x
>
> da [mm]\varphi'(0)= \psi'(0)[/mm] also = f'(0) ist die Funktion auch
> differenzierbar.
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> Stimmt das so?
Es ist alles korrekt was du geschrieben hast.
mfG Moudi
> Viielen Dank nochmal für den nützlichen Link und deine
> Hilfe,
> liebe Grüße
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Eine kleine Ungenauigkeit ist noch drin. Du darfst beim ersten Beispiel nicht
[mm]\varphi'(0) \neq \psi'(0) \neq f'(0)[/mm]
schreiben, da das die Differenzierbarkeit von [mm]f[/mm] bei 0 unterstellt, die ja gerade zu untersuchen ist. Du mußt daher so formulieren:
[mm]\varphi'(0) \neq \psi'(0) \ \ \Rightarrow \ \ f[/mm] ist bei 0 nicht differenzierbar.
Zu deinen anderen Fragen hat moudi schon Stellung genommen.
Bei diesen einfachen Beispielen könntest du auch direkt mit dem Differenzenquotienten arbeiten, etwa bei der zweiten Funktion:
[mm]\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \, |x|}{x} = |x| \, \to \, 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0 \ \ \Rightarrow \ \ f'(0) = 0[/mm]
Und wie geht es bei der ersten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo,
danke für eure Antworten. 
Für die erste Aufgabe sehe der Differenzenquotient doch so aus:
[mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}= \bruch{|x|}{x}=|1|, [/mm] also 1 v -1, oder?
[mm] x\to [/mm] 0 f'(0) [mm] \not= [/mm] 1 bzw. -1
Stimmt das?
Danke im Voraus!!
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Hallo,
die Ableitung an der Stelle 0 existiert gar nicht, do kannst sie also nicht einfach hinschreiben. Allein schon die Tatsache, dass du zwei verschiedene Werte herausbekommst (nämlich 1 und -1), widerspricht dem. Siehe meine erste Antwort.
Wenn x gegen null läuft, dann oszilliert das und deshalb konvergiert das an dieser Stelle nicht.
Viele Grüße
Daniel
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