Differenzierbare Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Mi 31.05.2006 | | Autor: | andrez |
| Aufgabe |
Sei [mm] $X\subset \IR^n$ [/mm] offen, [mm] $n\in \IN$. [/mm] Für stetig differenzierbare Funktionen $f: X [mm] \times \IR^n \to \IR^n$ [/mm] und $g : X [mm] \to \IR^n$ [/mm] sei: $f (x, g (x)) = 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$.
Berechnen Sie $Dg (a)$ für $a [mm] \in [/mm] X$ , falls [mm] $\det D_{2} [/mm] f (a, g(a)) [mm] \not= [/mm] 0$ ist.
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Kann mir jemand ein Paar Tipps geben bitte ?
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Hallo ,
Tip Nummer 1: Es gibt einen Formeleditor in diesem Forum, der auch nicht so schwer zu lernen ist. So wie Du die Aufgabe gepostet hast, versteht man kaum worum es geht...
Tip Nummer 2: Bist du sicher, dass es hier um die hesse-matrix geht? diese ist eigentlich nur für funktionen definiert, die in den [mm] $\IR^1$ [/mm] abbilden. $f$ bildet hier aber in den [mm] $\IR^n$ [/mm] ab. Ich denke, [mm] $D_2$ [/mm] bedeutet hier eher die Jacobi-Matrix bezüglich der zweiten Variablen, was auch sinn macht.
Tip Nummer 3: verwende die gleichung $f(x,g(x))=0$ und leite diese nach $x$ ab. geht mit der mehrdim. kettenregel. dann bist du schon fast am ziel.
VG
Matthias
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Hallo,
noch einmal etwas konkreter, wie die aufgabe gelöst werden muss: es gilt
$f(x,g(x))=0, [mm] \forall x\in [/mm] X$
Beide argumente von $f$ stammen aus dem [mm] $\IR^n$, [/mm] d.h. wenn du ein argument festhältst und nur nach dem anderen ableitest, erhältst du als differential eine jacobi-matrix. du musst jetzt also streng nach der kettenregel obige gleichung nach x ableiten.
mehr kann ich eigentlich nicht sagen, sonst steht die lösung schon da... 
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Do 01.06.2006 | | Autor: | andrez |
ja,
ich bekomme auch eine jacobi matrix raus mit der Spaltenlänge 3 und Zeilenlänge n. Ich leite das erste Argument nach x ab. Bekomme einen Spaltevektor der länge n raus. Die jeweiligen partiellen Ableitungen sind die Einträge des Vektors. Ich leite das zweite Argument partiell ab und mit der Kettenregel bekomme 2 Tupel raus.analog zum ersten Argument.
Kannst du mir bitte sagen wie ich diese drei Tuppel verknüpfen soll ?
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> ja,
>
> ich bekomme auch eine jacobi matrix raus mit der
> Spaltenlänge 3 und Zeilenlänge n.
Das kann ich jetzt nicht nachvollziehen.....
Ich leite das erste
> Argument nach x ab. Bekomme einen Spaltevektor der länge n
> raus. Die jeweiligen partiellen Ableitungen sind die
> Einträge des Vektors. Ich leite das zweite Argument
> partiell ab und mit der Kettenregel bekomme 2 Tupel
> raus.analog zum ersten Argument.
> Kannst du mir bitte sagen wie ich diese drei Tuppel
> verknüpfen soll ?
Also, vielleicht wäre es nicht schlecht, wenn du das ganze erstmal für $n=1$ machen würdest, um ein gefühl dafür zu kriegen, worauf es bei der aufgabe ankommt. Dann schauen wir weiter.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Mo 12.05.2008 | | Autor: | sie-nuss |
Hallo!
Ich beschäftige mich gerade mit genau dieser Aufgabe, die hier vor 710 Tagen diskutiert wurde :)
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Bei mir hapert's schon daran, dass ich nicht weiß, wie ich ""nur" nach x ableite. Also die Kettenregel sagt doch
D(fog)(a)=Df(g(a))oDg(a)
Ich weiß aber nicht wie ich die jetzt anwende um f(x,g(x)) abzuleiten.
Hab irgendwie keinen Anfang...
Viele Grüße,
sie-nuss
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Hallo sie-nuss,
> Hallo!
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> Ich beschäftige mich gerade mit genau dieser Aufgabe, die
> hier vor 710 Tagen diskutiert wurde :)
> Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
>
> Bei mir hapert's schon daran, dass ich nicht weiß, wie ich
> ""nur" nach x ableite. Also die Kettenregel sagt doch
>
> D(fog)(a)=Df(g(a))oDg(a)
>
> Ich weiß aber nicht wie ich die jetzt anwende um f(x,g(x))
> abzuleiten.
>
> Hab irgendwie keinen Anfang...
Betrachte hier im einfachsten Fall:
[mm]F\left(x,g\left(x\right)\right)=u\left(g\left(x\right)\right)-v\left(x\right)=0[/mm]
Hier kannst Du jetzt die obige Kettenregel anwenden.
>
> Viele Grüße,
>
> sie-nuss
>
>
Gruß
Mathepower
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Hallo zusammen. Zu der Aufgabe ist eigentlich alles schon
gesagt worden. Hier vielleicht noch zwei Anmerkungen
1. Hier geht es um das Ableiten implizit
definierter Funktionen. Man findet das in
jedem Lehrbuch der Analyisis (Heuser II, Forster II).
Die dortige Formel: Dg(a) = - D_2f(a,g(a)) *Dg(a)
kommt eben so zustand, wie meine Vorgänger
das ganz korrekt erläutert haben.
2. die Existenz einer impliziten Funktion sicher
schon die Regularität von [mm] D_2 [/mm] f(a,g(a)), allerdings
nur auf einer kleinen Umgebung. Der Aufgabensteller
war so freundlich sie auf ganz X vorauszusetzten
(vgl. Satz über implizite Funktionen!)
Gruss Schlunzbuns1
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