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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 01.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich habe kurz zwei Fragen zu differenzierbaren Funktionen.
1) Eine differenzierbare Funktion hatte bei uns immer eine offene Menge (Intervall) als Definitionsbereich, sowohl für Funktionen einer Variablen als auch für Funktionen mehrerer Variablen.
In einer Buchreihe hatten Funktionen einer Variablen dagegen ein abgeschlossenes Intervall als Definitionsbereich, und Funktionen mehrerer Variablen dann wieder ein offenes Intervall als Defintionsbereich.
Bei uns war der Definitionsbereich auch immer eine echte Teilmenge des [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IR^n [/mm] , manchmal sehe ich auch ganz [mm] \IR [/mm] als Definitionsbereich.
Was ist denn nun richtig?
2) Warum ist die Betragsfunktion |x| in 0 nicht differenzierbar?
Ich habs mal mit dem Differenzenquotienten versucht:
f(x)=|x| , [mm] x_0=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}(\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow x_0}(\bruch{|x|-|x_0|}{x-x_0})
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0}(\bruch{|x|-|0|}{x-0})
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0}(\bruch{|x|}{x})
[/mm]
So, jetzt komm ich nicht weiter.
Wenn x eine negative Zahl ist, dann steht im Zähler was positives und im Nenner was negatives, was als Gesamtergebnis -1 hat.
Wenn x eine positive Zahl ist, dann steht sowohl im Zähler als auch im Nenner was positives, was als Gesamtergebnis +1 hat.
Hab ich deshalb keine Ableitung?
LG Nadine
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Hi Nadine,
1) Hier gibt es kein Richtig oder Falsch. Die Unterschiede sind dadurch begründet, dass der Limes dadurch charakterisiert wird, dass sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Limes existieren und gleich sind. D.h.:
[mm] \lim_{x\downarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x\uparrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
Hast du allerdings eine Funktion [mm]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/mm], stellt das ein Problem dar. Was ist denn dann z.B.:
[mm]\lim_{x\downarrow b}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}[/mm]
[mm]f[/mm] ist außerhalb von [mm][a,b][/mm] nicht definiert und somit ist der ganze Ausdruck Unsinn. Um das zu umgehen wird für die Differenzierbarkeit auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] die Differenzierbarkeit auf [mm]]a,b[[/mm] und die Existenz von
[mm]\lim_{x\uparrow b}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}[/mm]
und
[mm]\lim_{x\downarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.[/mm]
gefordert. Nun zur eigentlichen Frage. Sowohl Professoren als auch Buchautoren lassen das, was ich gerade geschrieben habe, der Einfachheit halber gerne mal weg und begnügen sich mit offenen Mengen.
2) Da hast du dir die Antwort eigentlich selbst schon gegeben: Wenn der Limes existiert ist dieser eindeutig!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Fr 02.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Danke für deine Erklärung, Spunk 
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