Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr lieben,
ich habe mir für den heutigen Freitag vorgenommen ein bisschen die Differenzierbarkeit zu üben.
ich beschäftige mich mit folgender Aufgabe:
Ich soll herausfinden wie oft diese Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{n}, & \mbox{für } x\ge 0 \\ x^{-n}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
mein Ansatz:
Es geht ja darum wie oft ich den Differenzenquotient der obigen Funktion mit [mm] x_{0}=0 [/mm] bilden kann.
Der erste Differenzenquotient sieht ja folgendermaßen aus:
[mm] \frac{x^{n}}{x} [/mm] für [mm] x\ge [/mm] 0
der nächste sieht so aus:
[mm] \frac{nx^{n-1}}{x} [/mm] für [mm] x\ge [/mm] 0
das kann ich ja jetzt "n" mal machen, richtig?
aber bei x<0 sieht es doch schon anders aus. denn diesen Differenzenquotient kann ich doch so oft bilden wie ich will. Also von [mm] -n,-n-1,-n-2;...;-n-n;.....;-n-\infty
[/mm]
verstehe ich das falsch?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Fr 28.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme an, dass n [mm] \in \IN [/mm] ist. Dann ist f in [mm] x_0 [/mm] =0 nicht stetig. Dann ist auch nix mit Differenzierbarkeit.
FRED
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Hey
ja genau, n ist [mm] \in \IN [/mm] und feste. Du meinst bestimmt den Satz, dass jede differenzierbare Funktion auch stetig ist.
Jetzt geht es also nur noch darum, zu zeigen warum diese im Nullpunkt nicht stetig ist. Der linksseitige Grenzwert entspricht hier nicht dem rechtseitigem, richtig? Bzw. man kann sich von der rechten Seite nicht beliebig nah an 0 annähern. oder wie würdest du es begründen?
und wie sieht es mit dieser Funktion aus?
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{n}, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -x^{n}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
diese Funktion ist stetig und im Nullpunkt "n" mal differenzierbar, richtig?
LG
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Hallo Anna,
> Hey
> ja genau, n ist [mm]\in \IN[/mm] und feste. Du meinst bestimmt den
> Satz, dass jede differenzierbare Funktion auch stetig ist.
Genau.
> Jetzt geht es also nur noch darum, zu zeigen warum diese im
> Nullpunkt nicht stetig ist. Der linksseitige Grenzwert
> entspricht hier nicht dem rechtseitigem, richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bzw. man
> kann sich von der rechten Seite nicht beliebig nah an 0
> annähern.
Doch, das kann man von rechts auf jeden Fall, und da ist der Grenzwert Null. Schwierig wirds von links, aber natürlich kannst Du Dich da auch beliebig nah annähern.
> oder wie würdest du es begründen?
>
>
> und wie sieht es mit dieser Funktion aus?
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^{n}, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -x^{n}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>
>
>
> diese Funktion ist stetig
> und im Nullpunkt "n" mal
> differenzierbar, richtig?
Nein. Probiers doch mal mit n=2 aus.
Grüße
reverend
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> > Bzw. man
> > kann sich von der rechten Seite nicht beliebig nah an 0
> > annähern.
>
> Doch, das kann man von rechts auf jeden Fall, und da ist
> der Grenzwert Null. Schwierig wirds von links, aber
> natürlich kannst Du Dich da auch beliebig nah annähern.
ah jetzt versteh ichs. Danke
> >
> > und wie sieht es mit dieser Funktion aus?
> > [mm]f(x)=\begin{cases} x^{n}, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -x^{n}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> >
> >
> > diese Funktion ist stetig
> > und im Nullpunkt "n" mal
> > differenzierbar, richtig?
>
> Nein. Probiers doch mal mit n=2 aus.
also für x [mm] \ge [/mm] 0 ist die Funktion mit n=2 2 mal differenzierbar. richtig?
aber für x<0 ist sie unendlich oft differenzierbar.
Dann existiert also gar keine allgemeine Differenzierbarkeit?
LG
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Hallo nochmal,
> > > und wie sieht es mit dieser Funktion aus?
> > > [mm]f(x)=\begin{cases} x^{n}, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -x^{n}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>
>
> > > diese Funktion ist stetig
> > > und im Nullpunkt "n" mal
> > > differenzierbar, richtig?
> >
> > Nein. Probiers doch mal mit n=2 aus.
>
> also für x [mm]\ge[/mm] 0 ist die Funktion mit n=2 2 mal
> differenzierbar. richtig?
Nein, sie ist nur einmal differenzierbar. Wie lautet denn die Ableitung?
> aber für x<0 ist sie unendlich oft differenzierbar.
Sie ist auch für [mm] x\ge{0} [/mm] undendlich oft differenzierbar, aber es geht hier doch um die gesamte Funktion und nicht nur eine "Seite". Was passiert denn bei x=0?
Ist wieder [mm] n\in\IN?
[/mm]
> Dann existiert also gar keine allgemeine
> Differenzierbarkeit?
Doch, aber anders, als Du bisher angibst.
Grüße
reverend
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Hey
> Nein, sie ist nur einmal differenzierbar. Wie lautet denn
> die Ableitung?
also [mm] f(x)=x^2
[/mm]
f'(x)=2x
und f"(x)=2
also ist sie doch 2 mal differenzierbar oder?
>
>
> Sie ist auch für [mm]x\ge{0}[/mm] undendlich oft differenzierbar,
Wieso?
> aber es geht hier doch um die gesamte Funktion und nicht
> nur eine "Seite". Was passiert denn bei x=0?
bei x=0 lässt sie sich nicht differenzieren, da [mm] 0^{n}=0
[/mm]
>
> Ist wieder [mm]n\in\IN?[/mm]
ja genau. n [mm] \in \IN [/mm] ist fest
Danke schonmal für deine Mühe 
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Fr 28.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] f(x)=x^2 [/mm] ist unendlich oft differenzierbar, in allen Punkten. denn f'''(x) =g(x)=0 ist natürlich unendlich oft differenzierbar. dasselbe gilt für [mm] x^n [/mm] und x^-n da allerdings nicht bei x=0 weil da die fkt nicht differenzierbar ist. und damit ist deine Gesamtfunktion eben bei 0 nicht stetig und deshalb nicht differenzierbar.
wenn du üben willst untersuche Funktionen wie [mm] x^n [/mm] für x>0 [mm] x^{n+k} [/mm] für [mm] x\le [/mm] 0 auf Differenzierbarkeit. oder [mm] 1-x^2 [/mm] für x<0 und cos(x) für x>0
unstetige fkt auf Differenzierbarkeit zu prüfen ist keine vernünftige Übung.
Gruss leduart
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Hallo nochmal,
ich glaube, leduart hat nur die Funktion im Anfangspost gelesen. Die Antwort trifft darum nur teilweise zu.
> > Nein, sie ist nur einmal differenzierbar. Wie lautet denn
> > die Ableitung?
>
> also [mm]f(x)=x^2[/mm]
> f'(x)=2x
> und f"(x)=2
> also ist sie doch 2 mal differenzierbar oder?
Das ist doch nur die Ableitung für [mm] x\ge{0}. [/mm] Du hast aber eine stückweise definierte Funktion! Das Problem ist und bleibt der Nullpunkt. Wir hatten doch:
[mm] f(x)=\begin{cases} x^n, & \mbox{für } x\ge{0} \\ -x^n, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
Beide Äste der Funktion sind unendlich oft differenzierbar, egal wie groß [mm] n\in\IN [/mm] ist.
> > Sie ist auch für [mm]x\ge{0}[/mm] undendlich oft differenzierbar,
>
> Wieso?
Selbst denken macht schlau. Leite doch mal f(x)=1 ab. Und dann f(x)=0. Und dann nochmal.
> > aber es geht hier doch um die gesamte Funktion und nicht
> > nur eine "Seite". Was passiert denn bei x=0?
> bei x=0 lässt sie sich nicht differenzieren, da [mm]0^{n}=0[/mm]
Die Begründung ist Unsinn. Für n>1 ist die Funktion im Nullpunkt differenzierbar!
> > Ist wieder [mm]n\in\IN?[/mm]
>
> ja genau. n [mm]\in \IN[/mm] ist fest
>
> Danke schonmal für deine Mühe
Also: untersuche die ganze Funktion und nicht nur eine Hälfte davon.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Sa 29.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Wir haben also
$ [mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -x^{2}, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm] $.
Fall 1: x>0. Dann ist f'(x) =?
Fall 2: x<0. Dann ist f'(x)= ?
Fall 3. x=0. Zeige mit Hilfe des Differenzenquotienten, dass f in 0 differenzierbar ist und dass f'(0)=0 ist.
Ist Dir nun klar, dass f'(x)=2|x| für alle x [mm] \in \IR [/mm] ist ?
Wo ist f' differenzierbar, wo nicht ?
Wo ist f zweimal differenzierbar, wo nicht ?
FRED
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Heyho
> Fall 1: x>0. Dann ist f'(x) =?
f'(x)=2x
>
> Fall 2: x<0. Dann ist f'(x)= ?
f'(x)=-2x
>
>
> Fall 3. x=0. Zeige mit Hilfe des Differenzenquotienten,
> dass f in 0 differenzierbar ist und dass f'(0)=0 ist.
[mm] f'(x_0)= \frac{x^2-0}{x-0}=x
[/mm]
und für x gegen 0 ist also f'(0)=0
>
>
> Ist Dir nun klar, dass f'(x)=2|x| für alle x [mm]\in \IR[/mm] ist
> ?
ja das vestehe ich
>
>
> Wo ist f' differenzierbar, wo nicht ?
Also der Nenner des Differenzenquotients darf ja nicht =0 sein. Und an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = 0 besitzt der Differenzenquotient eine Definitionslücke. ist also nicht stetig und daher auch nicht differenzierbar?! denn f'(x)= [mm] \frac{2*|x|}{x} [/mm] ist für x=0 nicht definiert
>
> Wo ist f zweimal differenzierbar, wo nicht ?
an allen Stellen außer bei [mm] x_0=0 [/mm] oder?
nur eine Frage: ich dachte f(x) wäre an diesen Stellen nicht 2 mal, sondern unendlich oft differenzierbar?
Danke und liebe Grüße!
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Halo,
> > Fall 1: x>0. Dann ist f'(x) =?
> f'(x)=2x
Ja.
>
> >
> > Fall 2: x<0. Dann ist f'(x)= ?
>
> f'(x)=-2x
Ja.
> > Fall 3. x=0. Zeige mit Hilfe des Differenzenquotienten,
> > dass f in 0 differenzierbar ist und dass f'(0)=0 ist.
>
> [mm]f'(x_0)= \frac{x^2-0}{x-0}=x[/mm]
Das stimmt nicht.
Es ist, sofern der GW existiert,
[mm] f'(x_0)=\red{lim_{x\to x_0}} \frac{f(x)-x_0}{x-x_0}.
[/mm]
> und für x gegen 0 ist also
> f'(0)=0
Du hast bisher nur den rechtseitigen Grenzwert ausgerechnet, den, für den sich x von oben der 0 nähert.
Den GW von links mußt Du auch noch prüfen.
Es kommt auch 0 heraus.
Der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stell x=0 existiert also.
Und erst damit weißt Du
[mm] f'(0)=lim_{x\to 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=0
[/mm]
>
>
> >
> >
> > Ist Dir nun klar, dass f'(x)=2|x| für alle x [mm]\in \IR[/mm] ist
> > ?
>
> ja das vestehe ich
>
> >
> >
> > Wo ist f' differenzierbar, wo nicht ?
Es geht jetzt um f'(x)=2|x|.
Die Funktion ist stetig. (Warum?)
>
> Also der Nenner des Differenzenquotients
Worüber reden wir jetzt gerade?
Könntest Du den Quotienten hinschreiben, den Du meinst?
> darf ja nicht =0
> sein.
???
> Und an der Stelle [mm]x_0[/mm] = 0 besitzt der
> Differenzenquotient eine Definitionslücke. ist also nicht
> stetig und daher auch nicht differenzierbar?!
> denn f'(x)=
> [mm]\frac{2*|x|}{x}[/mm] ist für x=0 nicht definiert
Ich blicke nicht recht durch.
Wollten wir nicht über die Differenzierbarkeit von f' reden, also darüber, ob f'' existiert? Fraglich ist die Stelle x=0.
Wenn Du nun hast f'(x)=2|x|, dann ist das eine abschnittweise definierte Funktion, welche entsprechend auf Differenzierbarkeit zu untersuchen ist.
> >
> > Wo ist f zweimal differenzierbar, wo nicht ?
> an allen Stellen außer bei [mm]x_0=0[/mm] oder?
> nur eine Frage: ich dachte f(x) wäre an diesen Stellen
> nicht 2 mal, sondern unendlich oft differenzierbar?
Wenn's unendlich oft geht, dann geht's doch auch zweimal.
>
LG Angela
>
> Danke und liebe Grüße!
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Hey
danke für die Hilfe.
So langsam verstehe ich (hoffentlich) was zu beweisen gilt:
f"(x) ist an der Stelle x=0 nicht definiert,
denn [mm] \limes_{x \to 0}f"(0)= \frac{2*|x|-0}{x-0} [/mm] existiert nicht.
Was so viel bedeutet, dass sich die Funktion f(x) lediglich einmal im Nullpunkt ableiten lässt?
LG
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Hallo,
> Hey
> danke für die Hilfe.
> So langsam verstehe ich (hoffentlich) was zu beweisen
> gilt:
> f"(x) ist an der Stelle x=0 nicht definiert,
> denn [mm]\limes_{x \to 0}f"(0)= \frac{2*|x|-0}{x-0}[/mm] existiert
> nicht.
> Was so viel bedeutet, dass sich die Funktion f(x) lediglich
> einmal im Nullpunkt ableiten lässt?
Ja. Vielleicht mal ein Schaubild zeichnen?
Gruß, Diophant
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Hey ich hoffe ihr könnt mir nochmal helfen, ich habe jetzt versucht die Aufgabe nochmal allgemein zu lösen, komme allerdings nicht wirklich weiter.
Also:
die erste Ableitung:
Fall 1: x=0
f'(0)=0
Fall 2:x<0
[mm] f'(x)=-nx^{n-1}
[/mm]
Fall 3: x>0
f'(x)= [mm] nx^{n-1}
[/mm]
Soo also kann man allgemein festhalte:
f'(x)= n* [mm] |x|^{n-1}
[/mm]
Allerdings verstehe ich nicht, wieso sich f'(x) im Nullpunkt nicht ableiten lässt. Denn für f"(0) erhalte ich doch [mm] \lim{x \to 0} \frac{n*|x|^{n-1}}{x}und [/mm] das funktioniert doch oder?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Mi 02.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstens für weöche x gilt das, was0 ist der GW was der von links, was der von rechts?
was ist |x|/x für x>0 , was für x<?
Gruß leduart
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Hey
> erstens für weöche x gilt das?
das gilt doch für alle x. oder was meinst du?
> was ist der GW was der
> von links, was der von rechts?
wegen dem Betrag im Zähler müsste der Grenzwert doch der selbe sein
> was ist |x|/x für x>0 , was für x<?
also für x kleiner 0 ist der Bruch negativ und für x>0 ist der Bruch positiv
aber was hat das damit zu tun, das f'(x) nicht differenzierbar im Nullpunkt ist? Denn die Funktion ist ja stetig
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Mi 02.04.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich denke, wir sollten einen Schritt zurückgehen, damit klar ist, was Du gerade untersuchen willst.
> Hey ich hoffe ihr könnt mir nochmal helfen, ich habe jetzt versucht die Aufgabe nochmal allgemein zu > lösen, komme allerdings nicht wirklich weiter.
> $ [mm] f(x)=\begin{cases} x^{n}, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -x^{n}, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm] $
ist die Funktion, mit $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
> Also: die erste Ableitung:
> Fall 1: x=0
> f'(0)=0
Das ist ja die Nahtstelle, wenn Du meinst, dass es aus dem Bisherigen klar ist, meinetwegen. Ich habe etwas Zweifel. Wie sieht es für n = 1 aus?
> Fall 2:x<0
> $ [mm] f'(x)=-nx^{n-1} [/mm] $
>Fall 3: x>0
> f'(x)= $ [mm] nx^{n-1} [/mm] $
> Soo also kann man allgemein festhalte:
> f'(x)= n* $ [mm] |x|^{n-1} [/mm] $
für welche n?
> Allerdings verstehe ich nicht, wieso sich f'(x) im Nullpunkt nicht ableiten lässt. Denn für f"(0)
> erhalte ich doch $ [mm] \lim{x \to 0} \frac{n\cdot{}|x|^{n-1}}{x}und [/mm] $ das funktioniert doch oder?
für welche n?
aus Deinem letzten post:
> aber was hat das damit zu tun, das f'(x) nicht differenzierbar im Nullpunkt ist? Denn die Funktion
> ist ja stetig
Es gilt doch nur: nicht stetig => nicht differnzierbar
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Hey
> > Also: die erste Ableitung:
> > Fall 1: x=0
> > f'(0)=0
> Das ist ja die Nahtstelle, wenn Du meinst, dass es aus dem
> Bisherigen klar ist, meinetwegen. Ich habe etwas Zweifel.
> Wie sieht es für n = 1 aus?
im Fall n=1 ist der Grenzwert für x gegen 0 auch =1 und somit [mm] \not=0.. [/mm] was soviel bedeutet, dass dies nur für n [mm] \ge [/mm] 2 gilt?
>
> > Fall 2:x<0
> > [mm]f'(x)=-nx^{n-1}[/mm]
>
> >Fall 3: x>0
> > f'(x)= [mm]nx^{n-1}[/mm]
>
> > Soo also kann man allgemein festhalte:
> > f'(x)= n* [mm]|x|^{n-1}[/mm]
> für welche n?
für alle n [mm] \in \IN [/mm] oder nicht?
> > Allerdings verstehe ich nicht, wieso sich f'(x) im
> Nullpunkt nicht ableiten lässt. Denn für f"(0)
> > erhalte ich doch [mm]\lim{x \to 0} \frac{n\cdot{}|x|^{n-1}}{x}und[/mm]
> das funktioniert doch oder?
> für welche n?
für alle n [mm] \in \IN \not=1 [/mm] oder?
denn wenn ich für n=1 einsetze erhalte ich als Grenzwert ebenfalls 1. und das kann ja nicht sein
LG
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Hey
> Nun willst Du weiter ableiten. Dabei wird n immer eins
> kleiner. Wann gibt es keine Ableitung mehr?
Ab n=1 doch oder? Denn dann wird der gesamte Exponent ja =0
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mi 02.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
fang mal kleiner an. [mm] f(x)=x^3 [/mm] für [mm] x\ge [/mm] 0; [mm] f(x)=-x^3 [/mm] für x<0
berechne die Ableitungen, ab wann ist die Ableitung links und rechts von 0 verschieden,?d.h. die fkt in 0 nicht mehr differenzierbar?
dasselbe mit [mm] x^2 [/mm]
kannst du jetzt auf [mm] x^n [/mm] verallgemeinern , und das auch begründen.
Wenn man mit etwas allgemeinem nicht so schnell klar kommt, sollte man es immer erst mal für konkrete n ausführen.
Gruß leduart
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Hey
ich denke ich weiß was gemeint ist, jede Funktion lässt sich also n-1 mal ableiten oder?
Denn dann unterscheiden sie die Ableitungen des rechts und des linksseitigen Grenzwertes.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Sa 05.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du meinst das richtige, solltest es noch genauer ausführen bzw zeigen, n-1 te Ableitung hinschreiben! und zeigen was du meinst
"die Ableitungen des rechts und des linksseitigen Grenzwertes!" ist etwas sinnloses, was ist die Ableitung eines FW??
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 So 06.04.2014 | | Autor: | AnnaHundi |
Hey
ich meinte natürlich den Differenzenquotient :-P
LG
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