Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Sa 04.04.2015 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | eine funktion f ist differenzierbar wenn es gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
Beispiel aufgabe: Zeige das f an der stelle [mm] x_0=1 [/mm] differenzierbar ist mit [mm] f(x)=x^2
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-1^2}{x-1}
[/mm]
für x setze ich nicht 1 ein, sondern eine ganz nahe zahl zu 1 oder? wenn ich für x=1 einsetze, dann bekomme ich die Steigung Null
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-1^2}{x-1}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{1^2-1^2}{1-1}=0
[/mm]
das ist aber falsch. ich muss eine ganz nahe zahl zu [mm] x_0=1 [/mm] für x einsetzen wie z.b. 1,0001
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-1^2}{x-1}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{1,0001^2-1^2}{1,0001-1}=2 [/mm] |
so wäre das richtig oder? man muss also für x eine ganz nahe zahl zu [mm] x_0 [/mm] einsetzen richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Sa 04.04.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> eine funktion f ist differenzierbar wenn es gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
wenn was gilt? Das ist keine Aussage...
>
> Beispiel aufgabe: Zeige das f an der stelle [mm]x_0=1[/mm]
> differenzierbar ist mit [mm]f(x)=x^2[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-1^2}{x-1}[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{x^2-1^2}{x-1}[/mm]
>
> für x setze ich nicht 1 ein, sondern eine ganz nahe zahl
> zu 1 oder? wenn ich für x=1 einsetze, dann bekomme ich die
Du setzt für x gar nichts ein - es ist ein Grentwert zu bilden.
> Steigung Null
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-1^2}{x-1}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{1^2-1^2}{1-1}=0[/mm]
Falsch. Da steht eine Division durch 0, das ist nicht definiert!
>
> das ist aber falsch. ich muss eine ganz nahe zahl zu [mm]x_0=1[/mm]
> für x einsetzen wie z.b. 1,0001
Siehe oben.
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-1^2}{x-1}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{1,0001^2-1^2}{1,0001-1}=2[/mm]
>
> so wäre das richtig oder? man muss also für x eine ganz
> nahe zahl zu [mm]x_0[/mm] einsetzen richtig?
Das kannst Du für Dich, auf einem Schmierzettel so machen, aber aufschreiben kann man das so nicht. So käme nämlich
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{1,0001^2-1^2}{1,0001-1}=2,0001\neq [/mm] 2$
raus.
Richtig geht es so:
[mm] $f'(1)=\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}x+1=2$
[/mm]
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo needmath,
der Grundgedanke dahinter ist gar nicht so schlecht. Empirisch numerisch vorzugehen und erst mal Werte nahe dem [mm] $x_0$-Wert [/mm] einzusetzen ist an sich in Ordnung, um ein Gespür für den Grenzwert zu entwickeln.
Das kann so aussehen:
[mm] \begin{tabular}{x|x}
\textbf{Intervalle} & \textbf{Differenzenquotient} \\
Intervall von 1 bis 2. & 3 \\
Intervall von 1 bis 1,1. & 2,1 \\
Intervall von 1 bis 1,01. & 2,01 \\
... & ... \\
1 & 2
\end{tabular}
[/mm]
Aber wie notinX es erwähnte, sind das Gedanken, die du dir auf einem Schmiezettel aufschreiben solltest.
Ich zeige dir mal beispielhaft wie es i.A. für die Differenzierbarkeit an der Stelle [mm] x_0 [/mm] für die Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] aussehen sollte:
[mm] $f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}x+x_0=2x_0$
[/mm]
MfG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Sa 04.04.2015 | | Autor: | needmath |
Hallo,
ich habe dann noch eine allgemeine frage. bei der aufgabe oben muss ich nicht den rechts- und linksseitigen Grenzwert betrachten oder?
wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich nur bei solchen funktionen den rechts- und linksseitigen Grenzwert betrachten:
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x\le 1 \\ 2x, & \mbox{für } x>1 \end{cases}
[/mm]
hier muss ich den rechts und-linksseitigen grenzwert betrachten, weil die funktion hier aus zwei unterschiedlichen funktionen besteh oder? Wie nennt man eigentlich solche funktionen?
wenn ich jetzt zeigen müsste, dass f(x) differenzierbar ist, hätte ich es so gelöst:
rechtsseitiger grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1+}\bruch{2x-2}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1+}\bruch{2(x-1)}{x-1}=2
[/mm]
linksseitiger Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1-}\bruch{x^2-1}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1-}\bruch{(x-1)(x+1)}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1-}x+1=2
[/mm]
scheint richtig zu sein. Bitte die fragen wann man den rechts-und linksseitigen Grenzwert betrachten muss und wie die funktion f(x) hier heißt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Sa 04.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe dann noch eine allgemeine frage. bei der aufgabe
> oben muss ich nicht den rechts- und linksseitigen Grenzwert
> betrachten oder?
>
> wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich nur bei
> solchen funktionen den rechts- und linksseitigen Grenzwert
> betrachten:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x\le 1 \\ 2x, & \mbox{für } x>1 \end{cases}[/mm]
>
> hier muss ich den rechts und-linksseitigen grenzwert
> betrachten, weil die funktion hier aus zwei
> unterschiedlichen funktionen besteh oder? Wie nennt man
> eigentlich solche funktionen?
>
> wenn ich jetzt zeigen müsste, dass f(x) differenzierbar
> ist, hätte ich es so gelöst:
>
> rechtsseitiger grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1+}\bruch{2x-2}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1+}\bruch{2(x-1)}{x-1}=2[/mm]
Nein.
Für x>1 ist [mm] \bruch{f(x)-f(1)}{x-1}=\bruch{2x-1}{x-1}
[/mm]
De GW [mm] \limes_{x\rightarrow 1+}\bruch{2x-1}{x-1} [/mm] ex. in [mm] \IR [/mm] nicht. Somit ist f in [mm] x_0=1 [/mm] nicht differenzierbar.
FRED
>
> linksseitiger Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1-}\bruch{x^2-1}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1-}\bruch{(x-1)(x+1)}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1-}x+1=2[/mm]
>
> scheint richtig zu sein. Bitte die fragen wann man den
> rechts-und linksseitigen Grenzwert betrachten muss und wie
> die funktion f(x) hier heißt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe dann noch eine allgemeine frage. bei der aufgabe
> oben muss ich nicht den rechts- und linksseitigen Grenzwert
> betrachten oder?
>
> wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich nur bei
> solchen funktionen den rechts- und linksseitigen Grenzwert
> betrachten:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x\le 1 \\ 2x, & \mbox{für } x>1 \end{cases}[/mm]
>
> hier muss ich den rechts und-linksseitigen grenzwert
> betrachten, weil die funktion hier aus zwei
> unterschiedlichen funktionen besteh oder? Wie nennt man
> eigentlich solche funktionen?
nur zur letzten Frage: Ich kenne für "solche" Funktionen die Bezeichnung
"zusammengesetzte Funktionen"; wenn Du aber sowas mal mit Matlab
etc. plotten willst, hilft es meist, sie als *abschnittsweise definierte
Funktionen* zu bezeichnen, wenn Du nach Hilfe suchst.
Die "Stellen, wo sich *der funktionsbeschreibende Term ändert*" (das ist
auch etwas lasch formuliert), nennt man dabei gerne auch *Nahtstellen*
(eine andere Bezeichnung kenne ich eigentlich nicht, vielleicht nennt der
ein oder andere sie auch *Übergangsstellen*; keine Ahnung).
Oben wäre die Stelle [mm] $x_0=1$ [/mm] quasi "eine Nahtstelle".
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 04.04.2015 | | Autor: | needmath |
Hallo,
den rechts- und linksseitigen grenzwert betrachtet man nur bei zusammengesetzten Funktionen richtig?
kannst du eine zusammengesetzte Funktion nennen, die differenzierbar ist? damit ich zur übung, es hier lösen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Sa 04.04.2015 | | Autor: | notinX |
> Hallo,
>
> den rechts- und linksseitigen grenzwert betrachtet man nur
> bei zusammengesetzten Funktionen richtig?
So allgemein würde ich das vielleicht nicht formulieren. Aber bei zusammengesetzten Funktionen ist das auf jeden Fall angebracht (zumindest an der Nahtstelle).
>
> kannst du eine zusammengesetzte Funktion nennen, die
> differenzierbar ist? damit ich zur übung, es hier lösen
> kann
Probiers mal damit:
[mm] $f(x)=\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^{2}}} & x\neq0\\
0 & x=0
\end{cases}$
[/mm]
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Sa 04.04.2015 | | Autor: | needmath |
Hallo,
> Probiers mal damit:
> [mm]$f(x)=\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^{2}}} & x\neq0\\
0 & x=0
\end{cases}$[/mm]
hier muss ich prüfen ob die Funktion an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar ist:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0+}\bruch{e^{-\frac{1}{x^{2}}}-0}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{1}{x e^{\frac{1}{x^2}}}
[/mm]
hm ich finde den nenner merkwürdig. der term x geht bei [mm] \limes_{x\rightarrow 0+} [/mm] gegen Null und der Term [mm] e^{\frac{1}{x^2}} [/mm] geht gegen unendlich
unendlich * Null =?
habe da wohl was falsch gemacht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Sa 04.04.2015 | | Autor: | needmath |
> 1.) Prüfe die Differenzierbarkeit bei [mm]x_0:[/mm]
> a) [mm]$f(x)=\begin{cases} -x+2 & x\le-1\\
x^2 & x>-1 \end{cases}$[/mm]
> bei [mm]x_0=-1[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -1-}\bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow -1-}\bruch{-x-1}{x+1}=\limes_{x\rightarrow -1-}\bruch{-1(x+1)}{x+1}=-1
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -1+}\bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow -1+}\bruch{x^2-3}{x+1}=\infty
[/mm]
das heißt f(x) ist bei [mm] x_0=-1 [/mm] nicht differenzierbar.
stimmt die Lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Sa 04.04.2015 | | Autor: | fred97 |
>
>
>
> > 1.) Prüfe die Differenzierbarkeit bei [mm]x_0:[/mm]
> > a) [mm]$f(x)=\begin{cases} -x+2 & x\le-1\\
x^2 & x>-1 \end{cases}$[/mm]
> > bei [mm]x_0=-1[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -1-}\bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow -1-}\bruch{-x-1}{x+1}=\limes_{x\rightarrow -1-}\bruch{-1(x+1)}{x+1}=-1[/mm]
O.K.
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -1+}\bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow -1+}\bruch{x^2-3}{x+1}=\infty[/mm]
Nein , der Grenwert ist $= - [mm] \infty$
[/mm]
>
> das heißt f(x) ist bei [mm]x_0=-1[/mm] nicht differenzierbar.
Ja, aber das hättest Du einfacher haben können, denn f ist in [mm] x_0=-1 [/mm] nicht stetig.
FRED
>
> stimmt die Lösung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Sa 04.04.2015 | | Autor: | needmath |
habe mich geirrt. so falsch war meine lösung nicht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
>
>
> > 1.) Prüfe die Differenzierbarkeit bei [mm]x_0:[/mm]
> > a) [mm]$f(x)=\begin{cases} -x+2 & x\le-1\\
x^2 & x>-1 \end{cases}$[/mm]
> > bei [mm]x_0=-1[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -1-}\bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow -1-}\bruch{-x-1}{x+1}=\limes_{x\rightarrow -1-}\bruch{-1(x+1)}{x+1}=-1[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -1+}\bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow -1+}\bruch{x^2-3}{x+1}=\infty[/mm]
>
> das heißt f(x) ist bei [mm]x_0=-1[/mm] nicht differenzierbar.
>
> stimmt die Lösung?
weil Fred darauf hingewiesen hat: Ist Dir klar, dass Stetigkeit an einer
Stelle NOTWENDIG für die Differenzierbarkeit an dortiger ist? Gegebenenfalls
liefern wir Dir einen Beweis/eine Quelle nach.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 04.04.2015 | | Autor: | needmath |
>
> 1.) Prüfe die Differenzierbarkeit bei [mm]x_0:[/mm]
> b) [mm]$f(x)=\begin{cases} 2x & x<-1\\
-x^2 & x\ge-1 \end{cases}$[/mm]
> bei [mm]x_0=-1[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-1+}\bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow-1+}\bruch{-x^2+1}{x+1}
[/mm]
die Nullstellen des Zählers sind -1 und +1. also bringe ich das in die Form (x-1)(x+1)
[mm] \limes_{x\rightarrow-1+}\bruch{-x^2+1}{x+1}=\limes_{x\rightarrow-1+}\bruch{(x-1)(x+1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow-1+}x-1=-2
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-1-}\bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}==\limes_{x\rightarrow-1-}\bruch{2x+1}{x+1}=-\infty
[/mm]
f(x) ist in [mm] x_0=-1 [/mm] nicht diff`bar
stimmt die lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Sa 04.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> >
> > 1.) Prüfe die Differenzierbarkeit bei [mm]x_0:[/mm]
>
> > b) [mm]$f(x)=\begin{cases} 2x & x<-1\\
-x^2 & x\ge-1 \end{cases}$[/mm]
> > bei [mm]x_0=-1[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-1+}\bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow-1+}\bruch{-x^2+1}{x+1}[/mm]
>
> die Nullstellen des Zählers sind -1 und +1. also bringe
> ich das in die Form (x-1)(x+1)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-1+}\bruch{-x^2+1}{x+1}=\limes_{x\rightarrow-1+}\bruch{(x-1)(x+1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow-1+}x-1=-2[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-1-}\bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}==\limes_{x\rightarrow-1-}\bruch{2x+1}{x+1}=-\infty[/mm]
>
> f(x) ist in [mm]x_0=-1[/mm] nicht diff'bar
>
> stimmt die lösung?
Ja, aber auch hier: f ist in [mm] x_0=-1 [/mm] nicht stetig,also auch nicht differenzierbar.
fred
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Sa 04.04.2015 | | Autor: | needmath |
> c) [mm]$f(x)=\begin{cases} x & x<0\\
-x^2 & x\ge0 \end{cases}$[/mm]
> bei [mm]x_0=0[/mm]
Stetigkeit prüfen:
[mm] f(x_0)=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-}f(x)=\limes_{x\rightarrow 0-}x=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+}f(x)=\limes_{x\rightarrow 0+}-x^2=0
[/mm]
Die funktion f(x) ist an der Stelle [mm] x_0 [/mm] stetig
Differenzierbarkeit prüfen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-}f(x)\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0-}\bruch{x}{x}=1
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-}f(x)\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0-}\bruch{-x^2}{x}=0
[/mm]
f(x) ist wieder nicht an der stelle [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar.
stimmt die Lösung?
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Hiho,
> f(x) ist wieder nicht an der stelle [mm]x_0=0[/mm] differenzierbar.
> stimmt die Lösung?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > c) [mm]$f(x)=\begin{cases} x & x<0\\
-x^2 & x\ge0 \end{cases}$[/mm]
kannst Du Dir den Graphen der Funktion *vorstellen*? Oder mach' auch mal
eine Skizze, dann sieht man nämlich, was man danach rechnerisch beweisen
will/kann/soll..
> > bei [mm]x_0=0[/mm]
>
> Stetigkeit prüfen:
>
> [mm]f(x_0)=0[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-}f(x)=\limes_{x\rightarrow 0-}x=0[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}f(x)=\limes_{x\rightarrow 0+}-x^2=0[/mm]
Hier würde ich vielleicht etwas ausführlicher
[mm] $\lim_{x \to 0+}f(x)=\lim_{x \to 0+}-x^2=-(\lim_{x \to 0+}x)^2=-0^2=0$
[/mm]
schreiben.
> Die funktion f(x) ist an der Stelle [mm]x_0[/mm] stetig
>
> Differenzierbarkeit prüfen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-}f(x)\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0-}\bruch{x}{x}=1[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-}f(x)\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0-}\bruch{-x^2}{x}=0[/mm]
Auch da würde ich an passender Stelle
[mm] $...=-\lim_{x \to 0-}x=...$
[/mm]
ergänzen. Nebenbei: [mm] $\lim_{x \to 0-}=\lim_{0 \red{\,>\,}x \to 0}$ [/mm] bzw. [mm] $\lim_{x \to 0-}=\lim_{\substack{x \to 0\\ x < 0}}$
[/mm]
> f(x) ist wieder nicht an der stelle [mm]x_0=0[/mm] differenzierbar.
> stimmt die Lösung?
Das wurde ja schon gesagt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich stelle Dir *spaßeshalber* auch mal eine eigene Aufgabe: Für die Funktion
$f \colon \IR \to \IR$ sei bekannt, dass
$\left. f \right|_{(-2,\infty)}(x)=x^3$
gilt. Ferner ist $f\,$ an der Stelle $x_0=-2$ differenzierbar, und es gilt
$\left. f \right|_{(-\infty,\red{-}\,2]}(x)=m*x+n$
mit festem $m,n\,$ (die es zu bestimmen gilt!)
Der *Konstrukteur* dieser Funktion $f\,$ behauptet, dass diese Funktion sogar
unendlich oft (stetig) differenzierbar sei. Stimmt das, oder redet er Unfug?
P.S. Ist klar, was ich meine, wenn ich sage, dass $\left. f \right|_{(-2,\infty)}(x)=x^3$ gilt?
Das besagt: Die Einschränkung von $f\,$ auf $(-2,\infty)$ gehorcht der Funktionsgleichung
$f(x)=x^3$; es gilt also $f(x)=x^3$ für alle $x > -2\,$ (d.h. alle $x \in (-2,\infty)$).
P.P.S. Macht der Konstrukteur es besser, wenn er $x_0=-2$ durch $x_0=0$ ersetzt?
Genauer: Er sagt, dass er eine unendlich oft (stetig) differenzierbare
Funktion $g \colon \IR \to \IR$ gebaut hat, wenn er nur
$\left. g \right|_{(-\infty,0]}(x)=m'*x+n'$ und $\left. g \right|_{(0,\infty)}(x)=x^3$
differenzierbar in $x_0'=0$ fortsetzt.
Zusatzfrage: Würde es auch reichen, wenn er diese Funktion nur stetig
in $x_0'=0$ fortsetzt? (Vielleicht machst Du Dir im letzten Fall erstmal klar, ob
die Frage überhaupt sinnvoll ist, wenn man von DER Funktion sprechen will...;
anders gesagt: gibt es dann eine und nur eine stetige
Fortsetzungsmöglichkeit?)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 So 05.04.2015 | | Autor: | needmath |
Hallo,
wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist folgende Funktion gegeben:
[mm] f(x)=\begin{cases} x^3, & \mbox{für } x>-2 \\ mx+n, & \mbox{für }x\le-2 \end{cases}
[/mm]
und diese ist in [mm] x_0=-2 [/mm] differenzierbar
Damit muss dann gelten:
[mm] \limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{f(x)-f(-2)}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{f(x)-f(-2)}{x+2}
[/mm]
Für den Linksseitigen Grenzwert gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{f(x)-f(-2)}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{mx+n+2m-n}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{mx+2m}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{m(x+2)}{x+2}=m
[/mm]
Für den rechtsseitigen Grenzwert gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{f(x)-f(-2)}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{x^3+2m-n}{x+2}
[/mm]
kann ich den rechtsseitigen Grenzwert noch weiter vereinfachen?
jetzt müsste es gelten:
[mm] \limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{x^3+2m-n}{x+2}=m
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-2+}x^3+2m-n=m(x+2)
[/mm]
gilt der Limes hier auch für die rechte seite? ist mein Ansatz überhaupt richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 So 05.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist folgende
> Funktion gegeben:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^3, & \mbox{für } x>-2 \\ mx+n, & \mbox{für }x\le-2 \end{cases}[/mm]
>
> und diese ist in [mm]x_0=-2[/mm] differenzierbar
>
> Damit muss dann gelten:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{f(x)-f(-2)}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{f(x)-f(-2)}{x+2}[/mm]
>
> Für den Linksseitigen Grenzwert gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{f(x)-f(-2)}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{mx+n+2m-n}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{mx+2m}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{m(x+2)}{x+2}=m[/mm]
>
> Für den rechtsseitigen Grenzwert gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{f(x)-f(-2)}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{x^3+2m-n}{x+2}[/mm]
>
> kann ich den rechtsseitigen Grenzwert noch weiter
> vereinfachen?
Wenn f in [mm] x_0 [/mm] =-2 differenzierbar ist, so ist f dort stetig. Mach Dir klar, dass die bedeutet
-2m+n=-8, also n=2m-8
Verwende dies für
[mm]\limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{f(x)-f(-2)}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{x^3+2m-n}{x+2}[/mm]
>
> jetzt müsste es gelten:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{x^3+2m-n}{x+2}=m[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-2+}x^3+2m-n=m(x+2)[/mm]
Das ist doch Unsinn !!!!
FRED
>
> gilt der Limes hier auch für die rechte seite? ist mein
> Ansatz überhaupt richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 So 05.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist folgende
> Funktion gegeben:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^3, & \mbox{für } x>-2 \\ mx+n, & \mbox{für }x\le-2 \end{cases}[/mm]
> und diese ist in [mm]x_0=-2[/mm] differenzierbar
>
> Damit muss dann gelten:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{f(x)-f(-2)}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{f(x)-f(-2)}{x+2}[/mm]
>
> Für den Linksseitigen Grenzwert gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{f(x)-f(-2)}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{mx+n+2m-n}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{mx+2m}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2-}\bruch{m(x+2)}{x+2}=m[/mm]
Das hast Du zwar schön gerechnet; aber warum ergibt sich das quasi
sofort aus der Aufgabenstellung?
Mach' Dir auch mal eine Skizze für den Graphen!
> Für den rechtsseitigen Grenzwert gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{f(x)-f(-2)}{x+2}=\limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{x^3+2m-n}{x+2}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ...
>
> jetzt müsste es gelten:
>
> $ \limes_{x\rightarrow-2+}\bruch{x^3+2m-n}{x+2}=m $
>
> $ \limes_{x\rightarrow-2+}x^3+2m-n=m(x+2) $
Weder ich noch Fred wissen, was Du da (in der letzten Zeile) machst - bzw.
oder sagen wir lieber: Du machst da etwas sinnloses, denn Du kannst doch
nicht einfach das $x\,$ vom $\lim_{x \to -2+}$ "entkoppeln"!
Ein sehr einfacher Weg, um den rechtsseitigen Differentialquotienten ohne
großartige neue Rechnungen anzugeben:
Da die Funktion $g(x)=x^3$ an der Stelle $x=-2$ differenzierbar mit
$g'(-2)=3*(-2)^2=12$
ist, stimmt $g'(-2)=12$ auch mit dem rechtsseitigen Differentialquotienten an
dieser Stelle überein; aber dieser ist auch der rechtsseitige von $f\,$ an dieser
Stelle (die Begründung dazu folgt im nächsten Satz!).
Unabdingbar für diese Argumentation ist aber: $f\,$ muss gemäß der
Aufgabenstellung in NOTWENDIGER Weise auch stetig in $x_0=-2$ ergänzt werden.
Damit gilt nicht nur $\left.f \right|_{(-2,\infty)}(x)=\left.g \right|_{(-2,\infty)}(x)=x^3,$ sondern sogar
$\left.f \right|_{\red{[}\,-2,\infty)}(x)=\left.g \right|_{\red{[}\,-2,\infty)}(x)=x^3$!!!
Generell: Du kennst nun für $\left. f \right|_{(-\infty,-2]}(x)=mx+n$ den Wert $m=...$?
Weiter solltest Du wissen, was $f(-2)\,$ sein muss; Du kannst also *die Geradengleichung
lösen*. (Natürlich wird bei $f\,$ nur abschnittsweise eine Gerade definiert!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> den rechts- und linksseitigen grenzwert betrachtet man nur
> bei zusammengesetzten Funktionen richtig?
lass' das *nur* weg und mach' meinetwegen ein "etwa" draus. Selbst
bei zusammengesetzten Funktionen "muss" man das nicht immer machen.
Ich kann ja auch [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 0$ und [mm] $f(x)=(-x)^2$ [/mm] für $x < 0$ definieren,
da trügt der Schein, dass da etwas zusammengesetzt wird. Aber auch bei
$f(x)=0$ für $x < [mm] 0\,$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 0$ *brauche* ich nicht wirklich
den rechts- und linksseitigen Grenzwert berechnen. Den rechtsseitigen
vielleicht noch, der linksseitige ist offensichtlich.
> kannst du eine zusammengesetzte Funktion nennen, die
> differenzierbar ist? damit ich zur übung, es hier lösen
> kann
Klar. Nimm' $f(x)=0$ für $x [mm] \le 0\,$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] für $x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Warum steht
da denn überhaupt etwas *wohldefiniertes*? (Beachte die Ungleichungszeichen,
an der Stelle [mm] $x=0\,$ [/mm] sollte man also ein wenig Vorsicht walten lassen. Nebenbei:
Die Funktion kannst Du als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] auffassen!)
Gruß,
Marcel
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Regel von Bernoulli und de l Hospital
