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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Differenzierbarkeit
Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Differenzierbarkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Do 18.08.2016
Autor: astol

Aufgabe
Sei [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] gegeben durch
[mm] f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}), & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases} [/mm]

Zeige, dass f diff'bar ist, aber in (0,0) nicht stetig partiell diff'bar.

Hallo zusammen, wäre sehr lieb wenn Ihr mir zu dieser Aufgabe bzw. meinem Lösungsansatz ein kleines Feedback geben könntet. DANKE!

Um Diff'barkeit zu zeigen, muss ich zeigen, dass die Ableitungen existieren. Für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] existieren diese offensichtlich.

Also muss ich noch den Fall (x,y)=(0,0) betrachten. Dazu:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(h^2+0^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{h^2+0^2}})}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(h^2)sin(\bruch{1}{h})}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}h sin(\bruch{1}{h})=0, [/mm] da [mm] sin(\bruch{1}{h})\in[-1,1] [/mm]

Analog das Ganze mit [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}=...=0 [/mm]

d.h. die Ableitungen in (0,0) existieren und somit ist f diff'bar.

Kann ich das bis dahin so machen?

Um weiter zu zeigen, dass f in (0,0) nicht stetig partiell diffbar ist, hab ich gezeigt, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n,a_n)\not=f(\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n,a_n) [/mm] ist, wobei [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist wie  z.B. [mm] a_n=\bruch{1}{n}. [/mm]

Nochmals vielen Dank für Eure Antworten! LG

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Do 18.08.2016
Autor: fred97


> Sei [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] gegeben durch
>  [mm]f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}), & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
>  
> Zeige, dass f diff'bar ist, aber in (0,0) nicht stetig
> partiell diff'bar.
>  Hallo zusammen, wäre sehr lieb wenn Ihr mir zu dieser
> Aufgabe bzw. meinem Lösungsansatz ein kleines Feedback
> geben könntet. DANKE!
>  
> Um Diff'barkeit zu zeigen, muss ich zeigen, dass die
> Ableitungen existieren.

Wie ich Deinen Ausführungen unten entnehme, bist Du offenbar der Meinung, dass aus der Existenz der partiellen Ableitungen schon die Differenzierbarkeit folgt.

Das ist aber nicht so, wie das folgende Beispiel zeigt:

[mm]g(x,y)=\begin{cases}\bruch{xy}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]

Überzeuge Dich davon, dass g in (0,0) partiel differenziebar ist. g ist aber in (0,0) noch nicht einmal stetig, also dort auch nicht (total) differenzierbar.



>  Für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] existieren
> diese offensichtlich.
>  
> Also muss ich noch den Fall (x,y)=(0,0) betrachten. Dazu:
>  [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(h^2+0^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{h^2+0^2}})}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(h^2)sin(\bruch{1}{h})}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}h sin(\bruch{1}{h})=0,[/mm]
> da [mm]sin(\bruch{1}{h})\in[-1,1][/mm]

Eine Sache gefällt mir nicht: es ist [mm] \wurzel{h^2}=|h| [/mm]

Also ist

  [mm] \bruch{(h^2+0^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{h^2+0^2}})}{h}=\bruch{(h^2)sin(\bruch{1}{|h|})}{h}=h sin(\bruch{1}{|h|}) [/mm]


>  
> Analog das Ganze mit [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}=...=0[/mm]
>  
> d.h. die Ableitungen in (0,0) existieren

Ja, die part. Ableitungen ex. in (0,0)


>  und somit ist f diff'bar.

Das hast Du noch nicht gezeigt !!


>  
> Kann ich das bis dahin so machen?
>  
> Um weiter zu zeigen, dass f in (0,0) nicht stetig partiell
> diffbar ist, hab ich gezeigt, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n,a_n)\not=f(\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n,a_n)[/mm]
> ist, wobei [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist wie  z.B.
> [mm]a_n=\bruch{1}{n}.[/mm]

Upps, dann weisst Du Sachen die gar nicht stimmen ! Wenn das, was Du oben geschrieben hast richtig wäre, so wäre f in (0,0) nicht stetig. f ist aber in (0,0) stetig, denn

    $|f(x,y)| [mm] \le x^2+y^2$. [/mm]



Für "nicht stetig partiell diff'bar" musst Du zeigen dass eine der partiellen Ableitungen [mm] f_x [/mm] oder [mm] f_y [/mm] in (0,0) nicht stetig ist.

FRED

>  
> Nochmals vielen Dank für Eure Antworten! LG


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