Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Sa 08.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \Ir [/mm] differenzierbar und f ° f = f.
Zeigen Sie : f ist konstant oder f(x) = x für alle x : Gilt das selbe für alle stetigen Funktionen f ? |
Hallo,
ich brauche zu der Aufgabe ein bisschen "Rückenwind".
Es ist keine konkrete Funktion f gegeben. Ich soll aber mit einer Funktion die Operation f ° f = f ausführen. Wie soll das gehen?
Das einzige was ich weiß ist:
1. die Funktion ist differenzierbar,
2. der Graph ist eine Parallele zur x-Achse ODER
3. der Graph steigt unter einem Winkel von 45° .
Bin über jede Unterstützung sehr dankbar.
Gruß didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Sa 08.07.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Didi,
> Es ist keine konkrete Funktion f gegeben. Ich soll aber mit
> einer Funktion die Operation f ° f = f ausführen. Wie soll
> das gehen?
Verketten ("Verschachteln"):
$f( f(x) )$
Z.B. $f(x) = [mm] x^2 \quad \Rightarrow \quad [/mm] f( [mm] \green{f(x)}) [/mm] = [mm] f(\green{x^2}) [/mm] = [mm] (x^2)^2 [/mm] = [mm] x^4$
[/mm]
Für die genannten Fälle ist es unmittelbar einsichtig, dass die Bedingung erfüllt ist:
$f(x) = c [mm] \quad \Rightarrow \quad f(\green{f(x)})= f(\green{c}) [/mm] = c $
$f(x) = x [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] f( [mm] \green{f(x)}) [/mm] = [mm] f(\green{x}) [/mm] = x$
Zu dem geforderten Nachweis selbst fällt mir allerdings nichts ein... :-(
Schöne Grüße,
ardik
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Ich danke dir für deinen Beitrag.
Wer hat einen Tipp für mich, wie man das beweisen kann.
Besten Dank im Voraus didi_160
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Di 11.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Versuche es doch mal mit einem Widerspruchsbeweis, d.h. , du nimmst an, dass die Funktion weder f(x) = x noch f(x) = c ist. Dann zeigst du , dass das zu einem Wiederspruch führt.
Eine andere Möglichkeit ist die Kontraposition. Um zu zeigen, dass gilt: A [mm] \Rightarrow [/mm] B kann man nämlich auch folgendes zeigen. [mm] \neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A.
Also in deinem Fall: Gilt weder f(x) = c oder f(x) = x, so ist f [mm] \circ [/mm] f nicht diff´bar.
Hilft dir das irgendwie weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:32 Di 11.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo Marius,
besten Dank für deinen Beitrag.
> Versuche es doch mal mit einem Widerspruchsbeweis, d.h. ,
> du nimmst an, dass die Funktion weder f(x) = x noch f(x) =
> c ist. Dann zeigst du , dass das zu einem Wiederspruch
> führt.
Ehrlich gesagt hilft mir Deine Antwort nicht viel weiter. Wie muß ich denn nun konkret beginnen?
Notiere doch bitte mal die erste Zeile für den Beweis von links nach rechts.
Mal sehen ob ich dann weiter komme.
Ich überlege gerade, was ich dann beim Widerspruchsbeweis von rechts nach links zeigen muß?? Oder muß der Beweis von rechts nach links gar nicht ausgeführt werden?
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> Eine andere Möglichkeit ist die Kontraposition. Um zu
> zeigen, dass gilt: A [mm]\Rightarrow[/mm] B kann man nämlich auch
> folgendes zeigen. [mm]\neg[/mm] B [mm]\Rightarrow \neg[/mm] A.
> Also in deinem Fall: Gilt weder f(x) = c oder f(x) = x,
> so ist f [mm]\circ[/mm] f nicht diff´bar.
Wie müßte ich denn hier beginnen? Gleiches Problem wie oben: was muß ich denn Beweis von rechts nach links zeigen ??
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Nimm mich bitte noch ein bisschen an die Leine. Besten Dank im Voraus.
Viele Grüße
didi_160
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Di 11.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
>
> besten Dank für deinen Beitrag.
>
> > Versuche es doch mal mit einem Widerspruchsbeweis, d.h. ,
> > du nimmst an, dass die Funktion weder f(x) = x noch f(x) =
> > c ist. Dann zeigst du , dass das zu einem Wiederspruch
> > führt.
>
> Ehrlich gesagt hilft mir Deine Antwort nicht viel weiter.
> Wie muß ich denn nun konkret beginnen?
> Notiere doch bitte mal die erste Zeile für den Beweis von
> links nach rechts.
> Mal sehen ob ich dann weiter komme.
> Ich überlege gerade, was ich dann beim Widerspruchsbeweis
> von rechts nach links zeigen muß?? Oder muß der Beweis von
> rechts nach links gar nicht ausgeführt werden?
Also: Du fängst folgendermassen an.
Du nimmst dir eine beliebige Funktion f (aber NICHT f(x) = c oder f(x) = x )
Dann berechne f [mm] \circ [/mm] f , also f(f(x)). Das ganze versuchst du jetzt abzuleiten, also
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(f(x +h)) - f(f(x))}{h} [/mm]
=
[mm] \limes_{h\rightarrow0} [/mm] [ [mm] \bruch{f(f(x+h)]}{h} [/mm] - [mm] \bruch{f(x)}{h} [/mm] ]
Du musst jetzt zeigen, dass dieser Grenzwert nicht existiert, ausser, du setzt f(x) = c oder f(x) = x.
>
> __________________________________________________________
>
> > Eine andere Möglichkeit ist die Kontraposition. Um zu
> > zeigen, dass gilt: A [mm]\Rightarrow[/mm] B kann man nämlich auch
> > folgendes zeigen. [mm]\neg[/mm] B [mm]\Rightarrow \neg[/mm] A.
> > Also in deinem Fall: Gilt weder f(x) = c oder f(x) =
> x,
> > so ist f [mm]\circ[/mm] f nicht diff´bar.
> Wie müßte ich denn hier beginnen? Gleiches Problem wie
> oben: was muß ich denn Beweis von rechts nach links zeigen
> ??
In diesem Fall ist der Beweis für Kontraposition gleich dem Widerspruchsbeweis oben
> __________________________________________________________
> Nimm mich bitte noch ein bisschen an die Leine. Besten
> Dank im Voraus.
>
> Viele Grüße
> didi_160
Ich bin mir gerade selber nciht ganz sicher, wie der Beweis jetzt weitergehen kann (ich hatte gestern abend so ne Idee, die aber falsch ist)
Das kommt davon, wenn man mitten in der Nacht lernt.
Hilft das Trotzdem ein wenig weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 12.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Di 11.07.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Didi!
> Sei f: [mm]\IR \to \Ir[/mm] differenzierbar und f ° f = f.
> Zeigen Sie : f ist konstant oder f(x) = x für alle x :
> Gilt das selbe für alle stetigen Funktionen f ?
> Hallo,
>
> ich brauche zu der Aufgabe ein bisschen "Rückenwind".
>
> Es ist keine konkrete Funktion f gegeben. Ich soll aber mit
> einer Funktion die Operation f ° f = f ausführen. Wie soll
> das gehen?
> Das einzige was ich weiß ist:
> 1. die Funktion ist differenzierbar,
> 2. der Graph ist eine Parallele zur x-Achse ODER
> 3. der Graph steigt unter einem Winkel von 45° .
Was die Operation f ° f ist, weißt du ja inzwischen: (f ° f)(x) = f(f(x))
Vielleicht kennst du auch aus der Vorlesung oder aus der Schule die Kettenregel, die du hier einsetzen kannst, weil f differenzierbar ist.
Aus f ° f = f folgt durch Ableiten auf beiden Seiten (f ° f)' = f' oder
f'(f(x)) = f'(x).
Jetzt mußt du wohl unterscheiden zwischen
a) f'(x) = 0 für alle x
und
b) f'(x) [mm] \not= [/mm] 0 für eine Stelle x = [mm] x_{0}
[/mm]
Und jetzt fängt die Feinarbeit an, die ich aber dir überlasse, weil sie auch ein bißchen davon abhängt, was du aus der Vorlesung verwenden darfst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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