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| Aufgabe | | Es Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] definiert durch [mm] f(x)=x^{2}*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] für [mm] x\not=0 [/mm] und f(0)=0 . Zeigen sie, dass f auf R diffbar ist (insbesondere also in [mm] x_{0}=0) [/mm] und berechnen sie f´. Ist f´Im nullpunkt stetig? |
folgende Überlegungen habe ich gemacht:
Fall [mm] x\not=0
[/mm]
f(x) ist diffbar, da sich f(x) aus einem Produkt von 2 diffbaren Grundfkten zusammen setzt. (Produktregel)
[mm] f´(x)=2*x*sin(\bruch{1}{x})-cos(\bruch{1}{x})
[/mm]
Diese Fkt ist im Nullpkt nicht stetig, da [mm] cos(\bruch{1}{x})im [/mm] Nullpkt nicht stetig ist.
(ist das soweit richtig, bzw kann man das so formulieren (die ableitung stimmt auf alle fälle)
Für [mm] x_{0}=0) [/mm] komm ich auf f´(0) = 0. Wie kann das sein? Die Fkt ist zwar in 0 diffbar, aber f´ist in 0 doch wie oben gesagt nicht stetig, dh. existiert nicht! Ist das so eine links/rechtsseitige Grenzwertgeischte. Oder darf ich die 2 Fälle nicht wieder zusammen legen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Di 09.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Alex,
Du hast alles richtig gemacht. Es ist einfach so, dass die Ableitung der Funktion [mm] f(x)=x^2sin{\frac{1}{x}} [/mm] in 0 nicht stetig ist. Das muß aber einfach auch nicht so sein und die Funktion f ist das "Standardgegenbeispiel" dafür.
Gruß, Volker
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