Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Erklären sie anschaulich und mathematisch, weshalb die Funktion f(x) = |x| in x0 = 0
nicht differenzierbar ist. |
Diese Aufgabe war mal Klausuraufgabe und verwirrt mich irgendwie...
Es gilt doch: eine Funktion f(x) ist stetig in x0 wenn gilt [mm] \limes_{x\x0\infty}=f(x0)
[/mm]
Und eine Funtion ist differnzierbar wenn sie im Punkt x0 stetig ist.
Diese beiden bedingungen sind doch gegeben. Also müsste doch f(x) differenzierber sein??
|
|
| |
|
Hallo
> Erklären sie anschaulich und mathematisch, weshalb die
> Funktion f(x) = |x| in x0 = 0
> nicht differenzierbar ist.
> Diese Aufgabe war mal Klausuraufgabe und verwirrt mich
> irgendwie...
>
> Es gilt doch: eine Funktion f(x) ist stetig in x0 wenn gilt
> [mm]\limes_{x\x0\infty}=f(x0)[/mm]
> Und eine Funtion ist differnzierbar wenn sie im Punkt x0
> stetig ist.
>
> Diese beiden bedingungen sind doch gegeben. Also müsste
> doch f(x) differenzierber sein??
Nein, eine Funktion, die an der Stelle x0 stetig ist, muss dort nicht diffbar sein.
Eine Funktion f(x) ist an einer Stelle x0 differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert.
Dabei müssen die Grenzwerte von rechts und von links übereinstimmen.
Dies ist hier nicht der Fall, also ist f(x)=|x| in x0 nicht diffbar.
Gruß
Reinhold
|
|
|
| |
|
Hallo, nochmal eine Frage. Reicht es dann aus die Frage folgendermaßen zu beantworten?
zuermal die Funktion aufzeichenen.... dann:
Funktion hat einen Knick. Funktionen mit einem Knick, oder solche dessen Kurve man nicht durchziehen kann gelten als nicht differenzierbar.
Damit die Gleichung Differenzierbar ist muss ein Grenzwert existieren, und der links und Rechtsseitige Grenzwert gleich sein.
Linksseitiger Grenzwert x<x0:
.....=-1
Rechtsseitiger Grenzwert x>x0:
.....=1
Grenzwerte sind nicht gleich, und Funktion somit nicht differenzierbar
Gruß,Winnifred
|
|
|
| |
|
Hallo!
Du meinst das richtige, allerdings hast du das mit den Grenzwerten zu schwammig formuliert.
Stetig heißt, wenn der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert gleich dem Funktionswert an der Stelle ist.
Differenzierbar heißt, daß die Funktion an der Stelle auch stetig ist, allerdings müssen die links- und rechtsseitigen Grenzwerte der ABLEITUNG ebenfalls gleich sein, und das sind sie nciht, wie du geschrieben hast.
Anschaulich stimmt das mit dem Knick schon, du kannst es aber auch anschaulich mit den Grenzwerten machen. Du weißt, daß die Ableitung z.B. aus der Steigung einer Sekante berechnet werden kann. Dazu markierst du deinen Punkt, sowie einen zweiten Punkt auf der Kurve, ziehst ne Grade, und läßt den zweiten Punkt gegen den ersten wandern. Die Steigung der Graden nähert sich dann der Steigung der Kurve an.
Das Annähern ist bei der Betragsfunktion ziemlich witzlos, aber wenn der zweite Punkt einmal links und einmal rechts liegt, siehst du schon, was da schief geht.
|
|
|
|
