Differenzierbarkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten abend zusammen. Ich wollte mal fragen wann eine Fkt. diff'bar ist. Also wie die definition dafür war. War das nicht sie ist Diff'bar wenn sie Stetig ist oder war das umgekehrt? Ich soll nämlich untersuchen in welchen Punkten meine Fkt. diff'bar ist.
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Hallo Domenick,
Naja, nach Definition ist eine Funktion [mm] $f:X\subset\IR\to\IR$ [/mm] in [mm] $x_0\in [/mm] X$ differenzierbar, wenn der limes des Differenzenquotienten existiert, formal:
$f$ diffbar in [mm] $x_0$, [/mm] falls [mm] $\exists\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
[/mm]
Dann nennt man diesen limes [mm] $f'(x_0)$
[/mm]
Gleichwertig ist die "h"-Definition: [mm] $\exists\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
[/mm]
Alternativ und auch gleichwertig ist die Existenz und Übereinstimmung von rechts- und linksseitigem limes des Differenzenquotienten
Das Kriterium mit der Stetigkeit, das du angesprochen hast, gilt nur in die Richtung
$f$ diff'bar [mm] $\Rightarrow [/mm] f$ stetig
Es gilt i.A. nicht $f$ stetig [mm] $\Rightarrow [/mm] f$ diff'bar
Schau dir die Betragsfunktion $f(x)=|x|$ an.
Die ist in [mm] $x_0=0$ [/mm] stetig, aber nicht diff'bar, denn der linksseitige limes des Diff'quotienten ist -1, der rechtsseitige ist 1 und [mm] 1\neq [/mm] -1 
LG
schachuzipus
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Okay scheint doch etwas schwieriger zu sein. Also ich habe folgende Fkt.:
[mm] f(x)=\begin{cases} 2 x - 1, & \mbox{für } x \le \mbox{ 1} \\ x^2 & \mbox{für } x >1 \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Als erstes würde ich nun auf stetigkeit der Komposition dieser beiden Fkt. mit hilfe des links und rechtsseitigen Grenzwertes mit Hilfe der h Methode gucken. Liege ich damit richtig?
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Hi Domenick,
wieso Stetigkeit der Komposition?
Die beiden "Teilfunktionen" sind ja beide auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar, also auch stetig.
Nun ist die einzig problematische Stelle bei $x=1$, denn da "wechselt" $f$ seine Definition.
Da ist die "spannende" Stelle, was Stetigkeit und Diffbarkeit von f angeht.
Untersuche direkt auf Differenzierbarkeit, dann bekomsmt du im Falle, dass f in 1 diffbar ist die Stetigkeit von f in 1 gleich mitgeliefert
Dazu ist das Verfahren mit der h-Methode (linksseeitig und rechtsseitig genau richtig)
Formal musst du dies bestimmen:
[mm] $\lim\limits_{h\downarrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{h\uparrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$
[/mm]
Wenn die beiden limiten existieren und übereinstimmen, hast du gewonnen.
Du musst nur die entsprechende Definition von f einsetzen, je nachdem, ob du dich links oder rechts von 1 befindest...
LG
schachuzipus
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Super. Also wir hatten bisher nur folgendes zur h- Methode:
[mm] f(x)=\begin{cases} 2 x - 1, & \mbox{für } x \le \mbox{ 1} \\ x^2 & \mbox{für } x >1 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
[mm] links:\limes_{h\rightarrow0} 2\*1-0-1=1
[/mm]
[mm] rechts:\limes_{h\rightarrow0} 2\*1+0-1=1
[/mm]
[mm] links:\limes_{h\rightarrow0} 1^2-0=1
[/mm]
[mm] rechts:\limes_{h\rightarrow0} 1^2+0=1
[/mm]
Wäre das damit bewiesen? Also an der Stelle x=1 diff'bar?
Kann mir nicht vorstellen das das richtig ist, weil ja meine Null im Prinzip nichts aussagt!
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Hallo,
so ganz verstehe ich nicht, was du gemacht hast, wo ist denn der Nenner des Differenzenquotienten geblieben?
Das [mm] $\lim\limits_{h\uparrow 0}$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{h\downarrow 0}$ [/mm] soll jeweils die Richtung andeuten, aus der du dich mit h der 0 näherst.
Bei [mm] \uparrow [/mm] kommst du "von unten", also ist h<0
Bei [mm] \downarrow [/mm] kommst du "von oben", also h>0
Ich berechne mal den [mm] $\lim\limits_{h\uparrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$
[/mm]
Da hier h<0 ist, ist natürlich auch 1+h<1
Also musst du für f(1+h) die Definition von f für x<1 verwenden.
Dann brauchen wir noch f(1). Das ist nach Def. von f dann [mm] 2\cdot{}1-1=2-1=1
[/mm]
ALso insgesamt [mm] $\lim\limits_{h\uparrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim\limits_{h\uparrow 0}\frac{2(1+h)-1-1}{h}=\lim\limits_{h\uparrow 0}\frac{2+2h-1-1}{h}=\lim\limits_{h\uparrow 0}\frac{2h}{h}=\lim\limits_{h\uparrow 0}2=2$
[/mm]
Nun versuche mal, den [mm] $\lim\limits_{h\downarrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ [/mm] zu berechnen.
Bedenke, wie in diesem Falle f(1+h) definiert ist....
LG
schachuzipus
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Achso. Also nur kurz zum überprüfen: Wir hatten die h- Methode, welche ich eben angwandt hatte zur Prüfung der Stetigkeit dreier Kompositionierten Funktionen verwendet, um zu prüfen ob diese an den Stellen an denen Sie sich treffen Stetig sind ist diese Methode denn wenigstens dafür zulässig? Oder kommt das auf die Fkt. an?
zum jetzigen Problem rechne ich kurz und antworte dann. Dankeschön schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Do 06.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dodov!
> Wir hatten die h-Methode, welche ich eben angewandt hatte
> zur Prüfung der Stetigkeit dreier Kompositionierten Funktionen
> verwendet, um zu prüfen ob diese an den Stellen an denen Sie sich
> treffen Stetig sind.
> ist diese Methode denn wenigstens dafür zulässig?
Diese h-Methode sollte immer zulässig sein, ist aber m.E. nicht immer unbedingt erforderlich. Soll heißen: die entsprechenden (rechts- und linksseitigen) Grenzwerte an Schnittstellen von geteilten Funktionsvorschriften lässt sich auch oft einfacher ermitteln.
Gruß Loddar
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Okay soweit ist mir das einigermaßen klar. Aber wieso ist [mm] 2\+1-1=2-1=2? [/mm] müsste das nicht 1 sein?
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Hi,
das liegt an meiner fortgeschrittenen Gicht ![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]")
Habe mich dort vertippt, in der weiteren Rechnung steht aber richtig die 1
Ich bessere das mal eben aus
Bis dann
schachuzipus
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f(1+h) ist durch h>1 definiert. Somit ist 1+h auch > 1.
Ist die Rechnung dann trotzdem die selbe oder ändert sich irgendwo ein Vorzeichen? Wenn nein, kann ich mir die Rechnung ja sparen, da das Ergebnis das selbe wäre. =2.
Muss ich eigentlich auch noch mein [mm] x^2 [/mm] untersuchen?
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Moin,
> f(1+h) ist durch h>1 [mm] \red{h>0} [/mm] definiert. Somit ist 1+h auch > 1. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist die Rechnung dann trotzdem die selbe oder ändert sich
> irgendwo ein Vorzeichen? Wenn nein, kann ich mir die
> Rechnung ja sparen, da das Ergebnis das selbe wäre. =2.
> Muss ich eigentlich auch noch mein [mm]x^2[/mm] untersuchen?
Da scheint mir noch etwas in deinen Überlegungen durcheinander zu sein.
Die Funktion f ist abschnittsweise definiert.
Für Argumente x, die [mm] \le [/mm] 1 sind, ist f(x)=2x-1
Für Argumente x, die >1 sind, ist [mm] f(x)=x^2
[/mm]
Bei der Untersuchung des linksseitigen GW des DQ steht im Zähler desselben f(1+h), wegen h<0 ist also 1+h<1
Daher musst du in dem Fall f(x)=2x-1 nehmen
Im anderen Fall (rechtss. GW) ist h>0, also 1+h>1
Also musst du [mm] f(x)=x^2 [/mm] nehmen bei der Rechnung
Die Rechnung ist also geringfügig anders, da du ein "anderes" f hast in dem Abschnitt für Argumente >1
Du musst immer genau gucken, wie groß die Argumente sind, die du in f einsetzt und dementsprechend die "passende" Abscnittsfkt nehmen...
LG
schachuzipus
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Also zu dem ganzen durcheinander in meinem Kopf:
Wir hatten das im Unterricht einglück nochmal verfestigen können und ich bin der Meinung es nun verstanden zu haben. Ich habe den RG für 2x-1 und den LG für [mm] x^2 [/mm] mit der Formel [mm] \bruch{f(x)-f(1)}{x-1} [/mm] verwendet ich weiß allerdings nicht ob diese Formel ebenfalls anwendbra ist ich hatte für diese jeweils 2 raus. Demnach wäre sie diff'bar im in 1 und somit auch stetig. Dies gilt auch für die Ableitung ist das korrekt so?
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Hallo Domenick,
das stimmt ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
rechtsseitiger und linksseitiger limes des DQ in [mm] x_0=1 [/mm] existieren beide und sind beide =2
Also ist die Funktion f in 1 diffbar mit f'(1)=2 und damit stetig !!
Welche der beiden Formeln du letzten Endes nimmst, also die "h-Methode" oder die [mm] "(x-x_0)-Methode", [/mm] ist egal.
Beide Definitionen von Diffbarkeit sind gleichwertig
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Do 06.12.2007 | | Autor: | dodov8423 |
Klasse dankeschön für die Hilfe. Hatten nämlich auch HA zurückbekommen, in der ich die H Methode ebenfalls falsch angewandt hatte. Naja lieber in den HA als in der Prüfung.
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