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| Aufgabe | Überprüfen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie ihre Ableitungen (vereinfachen Sie die Ergebnisse soweit möglich):
a)
f : [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] x*|x| |
Also rein von der Überlegung, sieht die Funktion ja aus wie [mm] x^{3} [/mm] nur halt nicht mit der Steigung 3x sondern 2x. d.h. sie ist stetig und diffbar.
Aber wie beweis ich das? Kann ja schlecht jeden einzelnen Punkt überprüfen :D
Wäre nett wenn jmd noch ne Funktion parat hat die nicht diffbar is, und mir dann zeigt wie ich das zeige.
vielen Dank!
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Hallo NightmareVirus!
Kritisch bei dieser Funktion ist ja lediglich die Knickstelle der Batrgasfunktion bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
Wende hier die Definition der Betragsfunktion an und bestimme anschließend den Differentialquotienten:
[mm] $$|x|:=\begin{cases} -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ +x, & \mbox{für } x \ \ge ß 0 \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Damit wird:
[mm] $$f(x)=x*|x|=\begin{cases} x*(-x) \ = \ -x^2, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ x*(+x) \ = \ +x^2, & \mbox{für } x \ \ge ß 0 \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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