Differenzierbarkeit < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extremwerte der Funktion f(x)=1/75x³-9/50x²+18/25x+3 im Intervall I (0;10) |
Also. ich bin nach den Schritten
1. die stellen die sich nach Lösung der Gleichung f´(x)=0 ergeben, (x1=7,7 und x2=1,3)
2. die Stellen an denen f nicht differenzierbar ist,
3. das Verhalten an den Randstellen von I (da hab ich einfach die Werte 0 und 10 in f(x) eingesetzt und 3 und 83/15 rausbekommen; also zwei rel. Minima)
Aber wie überprüfe ich Schritt 2. mit der Differenzierbarkeit?
Schon mal vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo exoticmilkshake!
Deine beiden Extremwertstellen sind nicht richtig. Da erhält man zwei schöne glatte Werte.
Warum willst Du hier die Differenzierbarkeit nachweisen? Diese darf man für eine ganzrationale Funktion doch voraussetzen.
Für die globalen Extremwerte musst Du dann noch die beiden Funktionswerte an den Intervallgrenzen bestimmen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Ich hab mich bei der Ableitung verschrieben...
also bekomm ich nun für x1=6 und für x2=3 raus. Ist das richtig?
Und nun zur Differenzierbarkeit: Was müsste ich denn rein theoretisch tun wenn ich keine ganzrationale funktion hätte?
Und zum 3. Schritt: Ist das was ich gemacht habe richtig?
|
|
|
| |
|
> Ich hab mich bei der Ableitung verschrieben...
> also bekomm ich nun für x1=6 und für x2=3 raus. Ist das
> richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist richtig.
> Und nun zur Differenzierbarkeit: Was müsste ich denn rein
> theoretisch tun wenn ich keine ganzrationale funktion
> hätte?
Eine Funktion f(x) ist differenzierbar an der Stelle a, falls gilt:
Es existiert der Limes
[mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{f(x) - f(a)}{x - a}.
[/mm]
Anschaulich heißt das: Die beiden Steigungen von links und rechts nähern sich in einem Wert, der Steigung an der Stelle a, an.
Der Limes kann nicht immer gebildet werden, denn die Definition des Limes an der Stelle a ist ja, dass der linksseitige und rechtsseitige Limes an der Stelle a gleich ist. Der Grenzwert existiert zum Beispiel an einer Stelle mit einem "Knick" in der Funktion nicht, weil sich die beiden Steigungen von links und rechts nicht in einem Wert annähern.
Du musst nun also für die Differenzierbarkeit zeigen, dass der obige Limes für alle Werte a aus dem Definitionsbereich existiert. Dafür nimmst du an, a sei aus dem Definitionsbereich und berechnest dann den Grenzwert. Du musst eben nur auf Spezialfälle achten.
> Und zum 3. Schritt: Ist das was ich gemacht habe richtig?
Es ist richtig, die beiden Randstellen einzusetzen. Sollte dies nicht gehen, muss man den Grenzwert bilden (Das ist hier nicht der Fall, ich sag es bloß zur Information  ).
Allerdings handelt es sich bei beiden Randstellen um globale Extrema, und nicht wie von dir behauptet um zwei relative Minima. Das sieht man am Besten am Graphen der Funktion.
|
|
|
| |
|
also das mit der Differenzierbarkeit versteh ich nun, aber woher weiß ich welchen Wert ich für a einsetzen soll?
und ich bekomm bei h(10)=5,53>0 ein Minimum raus aber der Graph zeigt ein Maximum. Warum? Und warum ist beim Randwert 3 ein globales Maximum erreicht wenn ich noch eine weiteren Extremwert bei 3 habe?
|
|
|
| |
|
> also das mit der Differenzierbarkeit versteh ich nun, aber
> woher weiß ich welchen Wert ich für a einsetzen soll?
Du setzt keinen bestimmten Wert ein. Wie bei einer Funktionenschar-Untersuchung (Falls ihr das schon hattet) ist das a stets allgemein und steht für alle Werte aus dem Definitionsbereich.
f(a) ersetzt du dann durch den Term, der entsteht wenn du in die Funktion "a" einsetzt. Dein Ziel muss es dann bei der Auswertung des Limes sein, das "x-a" im Nenner durch kürzen zu eliminieren (das funktioniert eigentlich immer).
Beispiel:
f(x) = [mm] x^{2}
[/mm]
Sei a nun [mm] \in \IR. [/mm] Dann ist
[mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{f(x)-f(a)}{x-a} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{x^{2}-a^{2}}{x-a} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{(x-a)*(x+a)}{x-a} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] x+a = 2a.
Also existiert der Limes für alle a [mm] \in \IR [/mm] und hat den Wert 2a. Er existiert für alle a [mm] \in \IR, [/mm] weil für für die Auswertung keine Einschränkung des a's vornehmen mussten.
> und ich bekomm bei h(10)=5,53>0 ein Minimum raus aber der
> Graph zeigt ein Maximum. Warum? Und warum ist beim Randwert
> 3 ein globales Maximum erreicht wenn ich noch eine weiteren
> Extremwert bei 3 habe?
Wie bekommst du denn da ein Minimum raus? Was ist dein Kriterium?
Du hast jetzt einfach den Wert 10 in die Funktion eingesetzt und sagst das ist größer 0 --> Minimum. Das ist kein mir bekanntes Kriterium.
Sicher wolltest du 10 in die zweite Ableitung einsetzen. Dann könntest du sagen: Die zweite Ableitung ist größer 0 --> Minimum. Allerdings gilt dieses "Zweite-Ableitungs-Kriterium" nur für Extremstellen. Da du es aber an deinem Rand nicht mit Extremstellen im Sinne von f'(x) = 0 zu tun hast, würde ich wie schon bemerkt auf den Graphen des Taschenrechners vertrauen, wo man eindeutig sieht dass die linke Randstelle 0 ein globales Minimum und die rechte Randstelle 10 ein globales Maximum ist.
|
|
|
|
