Differenzierbarkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Die Funktion g sei definiert durch [mm] g(x):=x^{2}*cos\bruch{1}{x} ,x\not=0 [/mm] und g(x):=0 ,x=0
Zeige,dass g auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist und bestimme die Ableitung. |
Hallo ^^
Ich hab da ein kleines Problem bei dieser Aufgabe,die Ableitung zu bestimmen ist ja ganz einfach,die wäre [mm] g'(x)=2x*cos\bruch{1}{x}+sin\bruch{1}{x}*x^{2} [/mm] und g'(x)=0.
Ich versteh jetzt nicht ,wie man zeigen soll,dass g auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist.
Wahrscheinlich muss man da mit dem limes und dem Differenzenquotienten rechnen,also ich könnte so anfangen:
[mm] f'(x)=\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
Dann setze ich meine Funktion ein
[mm] f'(x)=\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{x^{2}*cos\bruch{1}{x}-x_{0}^{2}*cos\bruch{1}{x_{0}}}{x-x_{0}}
[/mm]
Soweit komme ich,doch ich weiß nicht,wie es jetzt weitergehen soll,könnt ihr mir da weiterhelfen?
vielen dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Kritisch bezüglich der Differenzierbarkeit ist lediglich die Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ . Setze also in Deinen Differenzialquotienten die Werte [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ bzw. [mm] $g(x_0) [/mm] \ = \ g(0) \ = \ 0$ ein und bestimme den Grenzwert:
$$g'(0) \ := \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{g(x)-g(0)}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{g(x)-0}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{g(x)}{x} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2*\cos\left(\bruch{1}{x}\right)}{x} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
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> Kritisch bezüglich der Differenzierbarkeit ist lediglich
> die Stelle [mm]x_0 \ = \ 0[/mm] . Setze also in Deinen
> Differenzialquotienten die Werte [mm]x_0 \ = \ 0[/mm] bzw. [mm]g(x_0) \ = \ g(0) \ = \ 0[/mm]
> ein und bestimme den Grenzwert:
> [mm]g'(0) \ := \ \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{g(x)-g(0)}{x-0} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{g(x)-0}{x-0} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{g(x)}{x} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2*\cos\left(\bruch{1}{x}\right)}{x-0} \ = \ ...[/mm]
>
Hallo,
erst mal danke für die Antwort,
darf ich hier überhaupt g(0) berechnen weil ich ja da [mm] cos\bruch{1}{0} [/mm] hätte und durch 0 kann man doch nicht teilen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Der Wert $g(0)_$ ist doch in der Aufgabenstellung definiert mit $g(0) \ := \ 0$ .
Ansonsten hättest Du natürlich Recht.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
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> Der Wert [mm]g(0)_[/mm] ist doch in der Aufgabenstellung definiert
> mit [mm]g(0) \ := \ 0[/mm] .
>
> Ansonsten hättest Du natürlich Recht.
>
>
hnn,ich bin mir da nicht so sicher,eingentlich hab ich die Aufgabe anders auf meinem Blatt stehen,also ich glaube dass es 2 verschiedene Funktionen g(x) gibt,einmal [mm] g(x)=x^{2}*cos\bruch{1}{x}, x\not=0 [/mm] und einmal g(x)=0 ,x=0
Ich weiß nicht genau wie ich das hier eintippen soll,es ist ungefähr so eine Darstellung:
[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Anstelle von f(n) steht g(x) und oben steht [mm] x^{2}*cos\bruch{1}{x}, x\not=0 [/mm] und da drunter g(x)=0 ,x=0,heißt das,dass es 2 verschiedene Funktionen sind?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Es handelt sich hier um ein und dieselbe Funktion mit:
$$g(x) \ := \ [mm] \begin{cases} x^2*\cos\left(\bruch{1}{x}\right), & \mbox{für } x \ \not= \ 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \ = \ 0 \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Da der Term [mm] $x^2*\cos\left(\bruch{1}{x}\right)$ [/mm] für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nicht definiert ist (Division durch 0!), wird hier zusätzlich für den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ ein separater Funktionswert mit $g(0) \ := \ 0$ definiert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
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> Es handelt sich hier um ein und dieselbe Funktion mit:
> [mm]g(x) \ := \ \begin{cases} x^2*\cos\left(\bruch{1}{x}\right), & \mbox{für } x \ \not= \ 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \ = \ 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Da der Term [mm]x^2*\cos\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm] für [mm]x_0 \ = \ 0[/mm]
> nicht definiert ist (Division durch 0!), wird hier
> zusätzlich für den Wert [mm]x_0 \ = \ 0[/mm] ein separater
> Funktionswert mit [mm]g(0) \ := \ 0[/mm] definiert.
>
>
Achso,ok,dann muss ich also,wie du oben geschrieben hast
[mm] g'(0)=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{g(x)-g(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{g(x)-0}{x-0}=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{g(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{x^{2}*cos\bruch{1}{x}}{x-0}
[/mm]
berechnen,hab aber noch eine Frage,
warum lässt man bei [mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{g(x)}{x} [/mm] die -0 im Nenner weg und im nächsten Schritt steht sie da wieder???
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> warum lässt man bei [mm]\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{g(x)}{x}[/mm]
> die -0 im Nenner weg und im nächsten Schritt steht sie da wieder???
Das hat nix zu bedeuten (ist oben auch geändert!). Das ist durch reine Faulheit und Schluderei meinerseits so entstanden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,das kann man doch mit l'Hospital machen oder?
Dann hab ich [mm] \limes_{n\rightarrow\0}\bruch{x^{2}*cos\bruch{1}{x}}{x}= \limes_{n\rightarrow\0}\bruch{2x*cos\bruch{1}{x}+sin\bruch{1}{x}*x^{2}}{1}
[/mm]
Dann ist doch Grenzwert 0,aber was sagt mir das?
Ist das damit schon bewiesen?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mandy,
> ok,das kann man doch mit l'Hospital machen oder?
jo, aber solch schwere Geschütze musst du gar nicht auffahren, du kannst ja $x$ im Nenner gegen das $x^2$ im Zähler kürzen und weißt außerdem, dass der Cosinus beschränkt ist , also $\left|\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le 1$
Damit strebt das Biest direktemeng gegen 0
>
> Dann hab ich
> $\limes_{\red{x}\rightarrow 0}\bruch{x^{2}*cos\bruch{1}{x}}{x}= \limes_{\red{x}\rightarrow 0}\bruch{2x*cos\bruch{1}{x}+sin\bruch{1}{x}*x^{2}}{1}$
Hier hast du beim 2.Summanden im Zähler noch die innere Ableitung von $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ unterschlagen
Und lasse mal bei der Eingabe der Formel den Backslash vor dem GW 0 weg, sonst wir das nicht angezeigt, außerdem läuft x und nicht n!
>
> Dann ist doch Grenzwert 0, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber was sagt mir das?
> Ist das damit schon bewiesen?
Damit ist beweisen, dass deine Ausgangsfunktion in $x=0$ differenzierbar ist un dass diese Ableitung in x=0 diese ist: $g'(0)=0$, wie sieht denn die Ableitung von g außerhalb von 0 aus?
Dass die existiert, ist klar, denn deine Ausgangsfunktion ist ja zusammengesetzt aus lauter Funktionen, die außerhalb von 0 diffbar sind.
Du bekommst am Ende also sowas wie: $g'(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 (\text{das hast du gerade ausgerechnet}) \\ ....., & \mbox{für } x\neq 0 (\text{das musst du noch ausrechnen})} \end{cases}$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Dann hab ich
> > [mm]\limes_{\red{x}\rightarrow 0}\bruch{x^{2}*cos\bruch{1}{x}}{x}= \limes_{\red{x}\rightarrow 0}\bruch{2x*cos\bruch{1}{x}+sin\bruch{1}{x}*x^{2}}{1}[/mm]
>
> Hier hast du beim 2.Summanden im Zähler noch die innere
> Ableitung von [mm]\cos\left(\frac{1}{x}\right)[/mm] unterschlagen
oh,stimmt,das berichtige ich gleich sofort
> > Dann ist doch Grenzwert 0, aber was sagt mir das?
> > Ist das damit schon bewiesen?
>
> Damit ist beweisen, dass deine Ausgangsfunktion in [mm]x=0[/mm]
> differenzierbar ist un dass diese Ableitung in x=0 diese
> ist: [mm]g'(0)=0[/mm], wie sieht denn die Ableitung von g außerhalb
> von 0 aus?
>
> Dass die existiert, ist klar, denn deine Ausgangsfunktion
> ist ja zusammengesetzt aus lauter Funktionen, die außerhalb
> von 0 diffbar sind.
>
> Du bekommst am Ende also sowas wie: [mm]g'(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 (\text{das hast du gerade ausgerechnet}) \\ ....., & \mbox{für } x\neq 0 (\text{das musst du noch ausrechnen})} \end{cases}[/mm]
>
Das heißt ich muss noch [mm] f'(x)=\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{x^{2}\cdot{}cos\bruch{1}{x}-x_{0}^{2}\cdot{}cos\bruch{1}{x_{0}}}{x-x_{0}} [/mm] berechnen,diesmal setze ich aber nicht 0 ein.
Ich versteh aber nicht,wie ich diesen Grenzwert berechnen soll???
lg
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Hallo nochmal,
> > Damit ist beweisen, dass deine Ausgangsfunktion in [mm]x=0[/mm]
> > differenzierbar ist un dass diese Ableitung in x=0 diese
> > ist: [mm]g'(0)=0[/mm], wie sieht denn die Ableitung von g außerhalb
> > von 0 aus?
> >
> > Dass die existiert, ist klar, denn deine Ausgangsfunktion
> > ist ja zusammengesetzt aus lauter Funktionen, die außerhalb
> > von 0 diffbar sind.
> >
> > Du bekommst am Ende also sowas wie: [mm]g'(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 (\text{das hast du gerade ausgerechnet}) \\ ....., & \mbox{für } x\neq 0 (\text{das musst du noch ausrechnen})} \end{cases}[/mm]
>
> >
>
> Das heißt ich muss noch [mm]f'(x)=\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{x^{2}\cdot{}cos\bruch{1}{x}-x_{0}^{2}\cdot{}cos\bruch{1}{x_{0}}}{x-x_{0}}[/mm]
> berechnen,diesmal setze ich aber nicht 0 ein.
> Ich versteh aber nicht,wie ich diesen Grenzwert berechnen
> soll???
Holla, die Waldfee, bloß nicht!!
Benutze die normalen Ableitungsregeln, dafür sind sie ja da 
Du brauchst Produkt- und Kettenregel.
Die explizite Berechnung über den Differezenquotienten war nur für [mm] $x_0=0$ [/mm] nötig, außerhalb der Null ist alles schön nett diffbar ...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Holla, die Waldfee, bloß nicht!!
>
> Benutze die normalen Ableitungsregeln, dafür sind sie ja da
>
>
> Du brauchst Produkt- und Kettenregel.
>
> Die explizite Berechnung über den Differezenquotienten war
> nur für [mm]x_0=0[/mm] nötig, außerhalb der Null ist alles schön
> nett diffbar ...
Na gut,wenn ich das ganz normal ableite hab ich [mm] f'(x)=2x*cos\bruch{1}{x}-sin\bruch{1}{x}
[/mm]
Hab ich jetzt damit bewiesen,dass g auf ganz [mm] \IR [/mm] diiferenzierbar ist?
lg
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Hallo nochmal,
> > Holla, die Waldfee, bloß nicht!!
> >
> > Benutze die normalen Ableitungsregeln, dafür sind sie ja da
> >
> >
> > Du brauchst Produkt- und Kettenregel.
> >
> > Die explizite Berechnung über den Differezenquotienten war
> > nur für [mm]x_0=0[/mm] nötig, außerhalb der Null ist alles schön
> > nett diffbar ...
>
> Na gut,wenn ich das ganz normal ableite hab ich
> [mm]f'(x)=2x*cos\bruch{1}{x}-sin\bruch{1}{x}[/mm]
Ja, fast, es ist [mm] $\red{g}'(x)=2x\cdot{}cos\left(\bruch{1}{x}\right)\red{+}\sin\left(\bruch{1}{x}\right)$
[/mm]
>
> Hab ich jetzt damit bewiesen,dass g auf ganz [mm]\IR[/mm]
> diiferenzierbar ist?
Ja, das hast du!
>
> lg
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Ja, fast, es ist
> [mm]\red{g}'(x)=2x\cdot{}cos\left(\bruch{1}{x}\right)\red{+}\sin\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm]
>
hmm,das versteh ich nicht,wie kommst du auf +,ich komme auf -,die Ableitung von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist doch [mm] -\bruch{1}{x^{2}}???
[/mm]
lg
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Hallo nochmal,
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> > Ja, fast, es ist
> >
> [mm]\red{g}'(x)=2x\cdot{}cos\left(\bruch{1}{x}\right)\red{+}\sin\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm]
> >
>
> hmm,das versteh ich nicht,wie kommst du auf +,ich komme auf
> -,die Ableitung von [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist doch
> [mm]-\bruch{1}{x^{2}}???[/mm]
genau! Und die von [mm] $\cos$ [/mm] ist [mm] $-\sin$, [/mm] also "-" [mm] \cdot{} [/mm] "-", und damit "+"
>
> lg
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo nochmal,
>
> >
> > > Ja, fast, es ist
> > >
> >
> [mm]\red{g}'(x)=2x\cdot{}cos\left(\bruch{1}{x}\right)\red{+}\sin\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm]
> > >
> >
> > hmm,das versteh ich nicht,wie kommst du auf +,ich komme auf
> > -,die Ableitung von [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist doch
> > [mm]-\bruch{1}{x^{2}}???[/mm]
>
> genau! Und die von [mm]\cos[/mm] ist [mm]-\sin[/mm], also "-" [mm]\cdot{}[/mm] "-",
> und damit "+"
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Ach stimmt ja ^^
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