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Also ich soll untersuchen wie oft die Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} cosh(x)-1, & \mbox{für } x \le 0\mbox{ } \\ x^2, & \mbox{für } x > 0\mbox{ } \end{cases} [/mm] in x=0 differenzierbar ist.
Mein Ansatz:
Also ich habe mal versucht den Differentialquotienten zu bilden.
f'(0) = [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(0 + h) - f(0)}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{cosh(h)-1 - cos(0) + 1}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{cosh(h)-1 - 1 + 1}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{cosh(h)-1}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Kann das sein, dass es kein einziges mal differenzierbar ist?
weil die Ableitung von cosh(x) - 1 ist ja sinh(x). Und sinh(x) ist ja überall stetig.
Und was hat eigentlich [mm] x^2 [/mm] hier zu bedeuten? Es gilt ja nur für alle x>0.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Heureka!
Wenn Du hier schon das Grenzwertkriterium für die Ermittlung der Differenzierbarkeit anwendest, musst Du auch die richtige Funktionsvorschrift verwenden.
Für $0+h_$ gilt ja $f(x) \ = \ [mm] x^2$ [/mm] , da $0+h \ > \ 0$ .
Der andere Term für $f(x) \ = \ [mm] \cosh(x)-1$ [/mm] ist anzuwenden bei der Grenzwertermittlung für $0 \ [mm] \red{-} [/mm] \ h$ (= linksseitiger Grenzwert).
Aber bilde doch einfach mal von beiden Funktionsästen separat die Ableitung und überprüfe diese Ableitung auf Stetigkeit bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
Und das machst Du bei positivem Ausgang nochmals.
Gruß
Loddar
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Ja hast natürlich recht Loddar. Ich hätte [mm] x^2 [/mm] beim Differentialquotienten mitbeachten müssen.
Also wenn ich die Ableitungen bilde, bekomme ich Folgendes raus.
[mm] f'(x)=\begin{cases} sinh(x), & \mbox{ } \mbox{} \\ 2x, & \mbox{ } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
[mm] f''(x)=\begin{cases} cosh(x), & \mbox{ } \mbox{} \\ 2, & \mbox{ } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\begin{cases} sinh(x), & \mbox{ } \mbox{} \\ 0, & \mbox{ } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Was mir noch nicht ganz einleuchtet: muss ich nun überprüfen ob beide Funktionsäste von f'(x) in [mm] x_0 [/mm] = 0 stetig sind, oder reicht es nur zu zeigen, dass sinh(x) in [mm] x_0 [/mm] = 0 stetig ist?
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Also die Äste von f'(x) sind in allen Punkten stetig, also dann insbesondere in [mm] x_0 [/mm] = 0.
Bei f''(x) sind rechter und linker Grenzwert unterschiedlich deshalb ist die Funktion in [mm] x_0 [/mm] = 0 nicht differenzierbar. (Deshalb muss man auch beide Äste beachten, oder?)
Also ist f(x) nur einmal in [mm] x_o [/mm] = 0 differenzierbar.
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 So 04.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Heureka!
> Also die Äste von f'(x) sind in allen Punkten stetig, also
> dann insbesondere in [mm]x_0[/mm] = 0.
Diese "Schlussfolgerung" ist (mit Verlaub) Käse! Wie hast Du denn die Stetigkeit in [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nachgewiesen?
Das geht doch nur unter Betrachtung beider Funktionsäste und Vergleich von linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert.
> Bei f''(x) sind rechter und linker Grenzwert
> unterschiedlich deshalb ist die Funktion in [mm]x_0[/mm] = 0 nicht
> differenzierbar.
Zunächst einmal ist die Ableitung (also die 2.) nicht mehr stetig in [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
> (Deshalb muss man auch beide Äste beachten, oder?)
Das müssen wir immer! ![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
> Also ist f(x) nur einmal in [mm]x_o[/mm] = 0 differenzierbar.
> Richtig?
Das Endergebnis stimmt. aber Deine Begründungen / Nachweise gar nicht ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 So 04.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig.
Gruss leduart
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
