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Differenzierbarkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Do 19.05.2005
Autor: Bastiane

Hallo mal wieder!
Diesmal habe ich noch genau eine Woche Zeit - vielleicht kann ich da ja mal mehr selber schaffen bei meinen Aufgaben...
Hier eine davon:

Zeige: Es gibt Funktionen, die auf [mm] \IR [/mm] unendlich oft differenzierbar sind, aber keine holomorphe Fortsetzung auf [mm] \IC [/mm] besitzen. Betrachte dazu zunächst die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x^2}}, & \mbox{für } x \ge \mbox{0} \\ 0, & \mbox{für } x< \mbox{0} \end{cases} [/mm]

Wie zeige ich das nun? Also, dass die Funktion auf [mm] \IR [/mm] unendlich oft diffbar ist, sieht man ja eigentlich (aber dafür könnte sie doch auch überall so definiert sein wie für [mm] x\ge{0}, [/mm] oder?) - oder muss ich das auch noch irgendwie zeigen?
Und wie zeigt man, dass sie keine holomorphe Fortsetzung besitzt? Wie genau ist denn eine Fortsetzung definiert in diesem Fall? Ob man das über einen Widerspruchsbeweis machen kann?

Wäre für erste Tipps dankbar. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


        
Bezug
Differenzierbarkeit: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:56 Fr 20.05.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Du musst selbstverständlich die (unendlich oft) Differenzierbarkeit im Nullpunkt noch zeigen!

Gäbe es eine holomorphe Fortsetzung von $f$, so müsste $f$ im Nullpunkt in eine Potenzreihe entwickelbar sein, die lokal gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert. Aber wie sieht die Potenzreihe im Nullpunkt aus?

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit: mmh...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Sa 21.05.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!
Danke schonmal. Mal sehen, wie ich jetzt weiterkomme...

> Du musst selbstverständlich die (unendlich oft)
> Differenzierbarkeit im Nullpunkt noch zeigen!

Also als erstes habe ich gerade festgestellt, dass die Funktion im Nullpunkt doch eigentlich gar nicht definiert ist, oder? Und demnach sind es die ganzen Ableitungen auch nicht. Hat das was damit zu tun, dass die Funktion keine holomorphe Fortsetzung besitzt?
  

> Gäbe es eine holomorphe Fortsetzung von [mm]f[/mm], so müsste [mm]f[/mm] im
> Nullpunkt in eine Potenzreihe entwickelbar sein, die lokal
> gleichmäßig gegen die Funktion [mm]f[/mm] konvergiert. Aber wie
> sieht die Potenzreihe im Nullpunkt aus?

Sehe ich es richtig, dass es hier im Prinzip nur um den Nullpunkt geht? Und das mit "holomorphe Fortsetzung [mm] \gdw [/mm] Potenzreihe" (um es mal kurz auszudrücken) wo kommt das her? Ist das ein Satz? Mir  leuchtet das nämlich im Moment nicht so ganz ein... [lichtaufgegangen]
Tja, und wie sieht die Potenzreihe im Nullpunkt aus? Muss ich die jetzt finden? Geht das denn überhaupt, wenn die Funktion dort gar nicht definiert ist?

Viele Grüße
Christiane
[banane]


Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Sa 21.05.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Die Funktion ist so gemeint:

[mm] $f(x)=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x^2}}, & \mbox{für } x > 0 \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases}$. [/mm]

Du musst die (unendlich oftmalige) Differenzierbarkeit im Nullpunkt nachweisen.

Eine Funkion $f: D [mm] \subset \IR\to \IR$ [/mm] besitzt genau dann eine holomorphe Fortsetzung, wenn $f$ unendlich oft differenzierbar ist (das ist hier der Fall) und wenn $f$ reell-analytisch ist (das ist hier nicht der Fall).

Letzteres bedeutet, dass $f$ in jedem Punkt lokal in eine Potenzreihe entwickelbar ist, gegen die $f$ lokal gleichmäßig konvergiert. Du musst zeigen, dass das im Nullpunkt nicht der Fall ist.

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                                
Bezug
Differenzierbarkeit: Anfang?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Sa 21.05.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!
> Die Funktion ist so gemeint:
>  
> [mm]f(x)=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x^2}}, & \mbox{für } x > 0 \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases}[/mm].
>  

Mmh - das hatte ich dann auch zuerst gedacht. Aber dass dem Assistenten so ein Fehler unterläuft, konnte ich mir dann doch nicht vorstellen - verbessert wurde es im Netz nämlich auch noch nicht... Aber wenn du meinst - dann glaube ich dir. :-)

> Du musst die (unendlich oftmalige) Differenzierbarkeit im
> Nullpunkt nachweisen.
>  
> Eine Funkion [mm]f: D \subset \IR\to \IR[/mm] besitzt genau dann
> eine holomorphe Fortsetzung, wenn [mm]f[/mm] unendlich oft
> differenzierbar ist (das ist hier der Fall) und wenn [mm]f[/mm]
> reell-analytisch ist (das ist hier nicht der Fall).
>  
> Letzteres bedeutet, dass [mm]f[/mm] in jedem Punkt lokal in eine
> Potenzreihe entwickelbar ist, gegen die [mm]f[/mm] lokal gleichmäßig
> konvergiert. Du musst zeigen, dass das im Nullpunkt nicht
> der Fall ist.

Okay - danke für die Erläuterungen. Der Begriff reell-analytisch kam bei uns wohl noch nicht vor...
Aber wie zeige ich denn jetzt, dass es keine derartige Potenzreihe gibt? Durch einen Widerspruchsbeweis? Kannst du mir vielleicht den Anfang sagen?

Viele Grüße
Christiane
[banane]


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Differenzierbarkeit: vollständige Induktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:12 So 22.05.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Um die unendlich oftmalige Differenzierbarkeit von $f$ im Nullpunkt nachzuweisen, musst du mit vollständiger Induktion zeigen, dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] Polynome [mm] $p_n$ [/mm] existieren mit

[mm] $f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} p_n \left( \frac{1}{x} \right) \cdot e^{- \frac{1}{x^2}} & , & x>0,\\[5pt] 0 & , & x\le 0. \end{array} \right.$ [/mm]

Daraus folgt dann wegen

[mm] $\lim\limits_{x \downarrow 0} p_n \left( \frac{1}{x} \right) \cdot e^{- \frac{1}{x^2}} [/mm] =0$

die Behauptung.

Wäre nun $f$ reell-analytisch, so müsste die Taylorreihe von $f$ im Nullpunkt lokal um den Nullpunkt gegen die Funktion $f$ konvergieren.

Es gilt aber für die Taylorreihe von $f$ um den Nullpunkt nach obigen:

[mm] $T_f(x) [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \, x^n \equiv [/mm] 0$,

d.h. $f$ müsste dann lokal um den Nullpunkt gleich der konstanten Nullpunktion sein. Stattdessen gilt aber für alle $x>0$: $f(x)>0$, Widerspruch.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                                
Bezug
Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 So 22.05.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!
Danke für die Antwort - jetzt konnte ich doch endlich mal ein bisschen rumrechnen. ;-)

> Um die unendlich oftmalige Differenzierbarkeit von [mm]f[/mm] im
> Nullpunkt nachzuweisen, musst du mit vollständiger
> Induktion zeigen, dass für alle [mm]n \in \IN[/mm] Polynome [mm]p_n[/mm]
> existieren mit
>  
> [mm]f^{(n)}(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} p_n \left( \frac{1}{x} \right) \cdot e^{- \frac{1}{x^2}} & , & x>0,\\[5pt] 0 & , & x\le 0. \end{array} \right.[/mm]
>  
> Daraus folgt dann wegen
>  
> [mm]\lim\limits_{x \downarrow 0} p_n \left( \frac{1}{x} \right) \cdot e^{- \frac{1}{x^2}} =0[/mm]
>  
> die Behauptung.

Also, ich hab' das mit der Induktion mal probiert - stimmt das so?

Da f(x)=0 für [mm] x\le [/mm] 0 folgt [mm] f^{(n)}(x)=0 [/mm] für [mm] x\le [/mm] 0. Es bleibt also nur noch zu zeigen:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \exists [/mm] Polynome [mm] p_n [/mm] s.d. [mm] f^{(n)}(x)=p_n\bruch{1}{x}e^{-\bruch{1}{x^2}} [/mm] für x>0

IA: n=0
[mm] e^{-\bruch{1}{x^2}}=f(x)=p_0\bruch{1}{x}e^{-\bruch{1}{x^2}} \gdw p_0=x [/mm]

IV: [mm] \exists p_n [/mm] s.d. [mm] f^{(n)}(x)=p_n\bruch{1}{x}e^{-\bruch{1}{x^2}} \forall [/mm] n

IS: [mm] n\to [/mm] n+1
[mm] f^{(n+1)}(x) [/mm] = [mm] p_n'\bruch{1}{x}e^{-\bruch{1}{x^2}}+p_ne^{-\bruch{1}{x^2}}(-\bruch{1}{x^2}+\bruch{2}{x^4}) [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{x^2}}(p_n'-\bruch{1}{x}p_n+\bruch{2}{x^3}p_n) [/mm]

[mm] \Rightarrow p_{n+1}=p_n'-\bruch{1}{x}p_n+\bruch{2}{x^3}p_n [/mm] existiert

Allerdings habe ich einmal das Gefühl, dass ich wieder mal irgendetwas falsch gemacht habe... Und zweitens bin ich mir nicht sicher, ob [mm] p_n' [/mm] auf jeden Fall existieren muss. Aber eigentlich doch schon, oder? Polynome sind doch unendlich oft differenzierbar.

Und ich weiß leider nicht so ganz, wie du auf die Form mit dem [mm] \bruch{1}{x} [/mm] und so kommst, und wieso aus der Grenzwertbildung dann die Behauptung folgt. [haee]

> Wäre nun [mm]f[/mm] reell-analytisch, so müsste die Taylorreihe von
> [mm]f[/mm] im Nullpunkt lokal um den Nullpunkt gegen die Funktion [mm]f[/mm]
> konvergieren.
>  
> Es gilt aber für die Taylorreihe von [mm]f[/mm] um den Nullpunkt
> nach obigen:
>  
> [mm]T_f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \, x^n \equiv 0[/mm],

Warum ist das =0? Irgendwie hakt es da bei mir noch. Also, es sollte ja gegen f konvergieren, dann müsste es aber >0 sein, das ist dann der Widerspruch. Aber warum ist es denn =0? (Ich hoffe, du verstehst mein Problem...)
  

> d.h. [mm]f[/mm] müsste dann lokal um den Nullpunkt gleich der
> konstanten Nullpunktion sein. Stattdessen gilt aber für
> alle [mm]x>0[/mm]: [mm]f(x)>0[/mm], Widerspruch.

Viele Grüße
Christiane
[winken]


Bezug
                                                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:20 Di 24.05.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

> Also, ich hab' das mit der Induktion mal probiert - stimmt
> das so?
>  
> Da f(x)=0 für [mm]x\le[/mm] 0 folgt [mm]f^{(n)}(x)=0[/mm] für [mm]x\le[/mm] 0. Es
> bleibt also nur noch zu zeigen:
>  [mm]\forall[/mm] n [mm]\exists[/mm] Polynome [mm]p_n[/mm] s.d.
> [mm]f^{(n)}(x)=p_n\bruch{1}{x}e^{-\bruch{1}{x^2}}[/mm] für x>0
>  
> IA: n=0
>  
> [mm]e^{-\bruch{1}{x^2}}=f(x)=p_0\bruch{1}{x}e^{-\bruch{1}{x^2}} \gdw p_0=x[/mm]
>  
> IV: [mm]\exists p_n[/mm] s.d.
> [mm]f^{(n)}(x)=p_n\bruch{1}{x}e^{-\bruch{1}{x^2}} \forall[/mm] n
>  
> IS: [mm]n\to[/mm] n+1
>  [mm]f^{(n+1)}(x)[/mm] =
> [mm]p_n'\bruch{1}{x}e^{-\bruch{1}{x^2}}+p_ne^{-\bruch{1}{x^2}}(-\bruch{1}{x^2}+\bruch{2}{x^4})[/mm]
> =
> [mm]e^{-\bruch{1}{x^2}}(p_n'-\bruch{1}{x}p_n+\bruch{2}{x^3}p_n)[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow p_{n+1}=p_n'-\bruch{1}{x}p_n+\bruch{2}{x^3}p_n[/mm]
> existiert
>  
> Allerdings habe ich einmal das Gefühl, dass ich wieder mal
> irgendetwas falsch gemacht habe... Und zweitens bin ich mir
> nicht sicher, ob [mm]p_n'[/mm] auf jeden Fall existieren muss. Aber
> eigentlich doch schon, oder? Polynome sind doch unendlich
> oft differenzierbar.

Mir ist relativ unklar, was du hier rechnest. [kopfkratz3]

Beachte bitte: [mm] $p_n\left(\frac{1}{x} \right)$ [/mm] ist ein Polynomn von [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] und muss dementsprechend nach der Kettenregel abgeleitet werden. Kann es sein, dass du das als Multiplikation aufgefasst hast? Scheint mir fast so, vor allem, weil du es nicht in Klammern gesetzt hast...
  

> Und ich weiß leider nicht so ganz, wie du auf die Form mit
> dem [mm]\bruch{1}{x}[/mm] und so kommst, und wieso aus der
> Grenzwertbildung dann die Behauptung folgt. [haee]

Naja, das ist doch klar. Wenn die linksseitige Ableitung

[mm] $\lim\limits_{x \uparrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ [/mm]

existiert  und für $x>a$ alle Ableitungen $f'(x)$ existieren mit

[mm] $\lim\limits_{x \downarrow a,x\ne a} [/mm] f'(x) = [mm] \lim\limits_{x \uparrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$, [/mm]

dann ist $f$ in $a$ differenzierbar mit

$f'(a) = [mm] \lim\limits_{x \uparrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. [/mm]

> > Wäre nun [mm]f[/mm] reell-analytisch, so müsste die Taylorreihe von
> Warum ist das =0?

Weil alle Ableitungen von $f$ an der Stelle $a=0$ verschwinden.

> Irgendwie hakt es da bei mir noch. Also,
> es sollte ja gegen f konvergieren, dann müsste es aber >0
> sein, das ist dann der Widerspruch.

[ok]

>Aber warum ist es denn

> =0? (Ich hoffe, du verstehst mein Problem...)

siehe oben

Liebe Grüße
Stefan


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Differenzierbarkeit: Noch eine kleine Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 Sa 21.05.2005
Autor: Paulus

Liebe Christiane

darf ich noch eine kleine Anmerkung machen?

Wenn du zwei Linien zusammenführen willst (z.B. 2 Stassenstücke), dann ist darauf zu acheten, dass der Übergang von einer Linie zur andern möglichts sanft ist.

Nimm einmal folgende Situation: du setz auf der negativen x-Achse den Funktionswert konstant 0. Dann setzt du eine Kreisstück an, also etwa

[mm] $y=1-\wurzel{1-x^2}$ [/mm] für x von 0 bis [mm] $\bruch{1}{2}$, [/mm] und dann wieder eine Tangente dran für x > 0,5.

Wenn du nun mit dem Auto mit konstanter Geschwindigkeit fährst (von links nach rechts, wie üblich), so wird die Beschleunigung auf der negativen x-Achse Null sein, beim der Einfahrt ins Kreisstück wird sich aber urplötzlich eine Beschleunigung ergeben. Das heisst, dass die 2. Ableitung nach der Zeit beim Übergangspunkt einen Sprung macht, also unstetig ist und somit auch sicher nicht holomorph fortgesetzt werden kann.

Die vorliegende Funktion (aus der Aufgabe) beeinhaltet auch einen Übergang von einem geraden Stück in ein gekrümmtes. Nur haben hier sämtliche Ableitungen den Wert Null, der Übergang für den Autofahrer ist also ganz, ganz sanft, unendlich sanft!
Im Reellen sind also sämtliche Ableitungen im Punkt x=0 definiert, und alle haben sie den Wert 0. Und trotzdem lässt sich die Funktion nicht analytisch in die Komplexen Zahlen fortsetzen!

Ich glaube, diese Aufgabe dient vorwiegend dazu, dieses klar zu machen. :-)

Mit lieben Grüssen

Paul

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