Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sanane |
Also folgende Funktion war gegeben:
g(x)= -3x+(sin²x/x) , wenn x [mm] \not= [/mm] 0
0 , wenn x=0
definiert im Bereich: g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR.
[/mm]
Wir sollen zeigen, dass sie differenzierbar ist und g´ bestimmen.
Ich weiß, dass eine Funktion f(x) an der Stelle x0 differenzierbar ist, wenn die Ableitung an dieser Stelle eindeutig ist, also genau eine Tangente existiert.
(Man kann auch sagen, an Stellen, an denen der Graph einer Funktion Spitzen oder Knicke besitzt, ist die Funktion nicht differenzierbar(zur veranschaulichung).
Umgekehrt bedeutet das für die Stetigkeit:
Ist eine Funktion an der Stelle x0 differenzierbar, dann ist sie dort auch stetig.
Ich muss zuerst von links, dann von recht an x0 mich herantasten quasi (bzw. GW bestimmen), wenn diese Ergebnisse übereinstimmen, dann ist die Funktion differenzierbar, oder nicht?
Wenn das richtig ist, weiß ich aber trotzdem nicht wie ich anfangen soll...
Ich muss ja um die linke seite zu betrachten x<x0 voraussetzen... wär mein x=0 ? und mein x0 ist sowieso 0 ?? :/
kann mir da jmd helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Es dürfte klar sein, dass -3x+(sin²x/x) für x [mm] \ne0 [/mm] differenzierbar ist.
Zu untersuchen ist also noch die Differenzierbarkeit von g in 0
Dazu schau nach, was [mm] \bruch{g(x)-g(0)}{x-0} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 treibt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sanane |
hmm wär das so richtig?
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] g(0-h)-g(0)/(h) =
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] (0-h+1)-(1²)/ (h)=
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] -h/(h)= -1
somit ist die funktion in 0 auch nicht differenzierbar, oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> hmm wär das so richtig?
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0}[/mm] g(0-h)-g(0)/(h) =
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0}[/mm] (0-h+1)-(1²)/ (h)=
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0}[/mm] -h/(h)= -1
>
> somit ist die funktion in 0 auch nicht differenzierbar,
> oder ?
Nix oder ! Was soll man zu obigem Unfug sagen ?
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sanane |
unfug ? :O .. ich hatte das nach einem bespiel gemacht
http://www.netalive.org/rationale-funktionen/chapters/4.3.html
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Schreib doch mal mit Deiner obigen Funktion den Quotienten
$ [mm] \bruch{g(x)-g(0)}{x-0} [/mm] $
hin. Dann sehen wir weiter.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sanane |
-3x+(sin²x/(x))- (0+(sin²0)/0)/ (x-0)
so? :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> -3x+(sin²x/(x))- (0+(sin²0)/0)/ (x-0)
>
> so? :/
Nein, das ist Blödsinn, Du teilst durch 0 !!!
Es ist doch g(0)=0, also
$ [mm] \bruch{g(x)-g(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \bruch{g(x)}{x}=-3+ \bruch{sin^2(x)}{x^2}$
[/mm]
und was macht das für x [mm] \to [/mm] 0 ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sanane |
das ist doch gar nicht definierbarrr :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo sanane!
Doch! Kennst Du nicht den allgemein bekannten Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] \ = \ 1$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sanane |
Doch der ist mir klar aber wie gehe ich nun an meine Gleichung ran.
Ich hatte mir das Lösen ganz anders vorgestellt und nun bin ich völlig durcheinander...
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Hallo sanane,
> Doch der ist mir klar aber wie gehe ich nun an meine
> Gleichung ran.
Na, Grenzwertsätze benutzen, du kennst den GW von [mm]\frac{\sin(x)}{x}[/mm] für [mm]x\to 0[/mm]
Der ist 1.
Was ist dann der GW des Quadrates? [mm]\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2=\ldots[/mm]
Damit alles noch zusammensetzen ...
>
> Ich hatte mir das Lösen ganz anders vorgestellt und nun
> bin ich völlig durcheinander...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sanane |
Ich habe als Ergebnis jetzt -2, ist das so richtig??
Heißt es jetzt, dass es differnzierbar ist?
Und wie bilde ich nun g' die Ableitung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo sanane!
> Ich habe als Ergebnis jetzt -2, ist das so richtig??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Heißt es jetzt, dass es differnzierbar ist?
Wenn man [mm]g'(0) \ := \ -2[/mm] setzt: ja.
> Und wie bilde ich nun g' die Ableitung?
Leite für [mm]x \ \not= \ 0[/mm] wie gewohnt ab. Für [mm]g'(0)_[/mm] wird dann [mm]g'(0) \ := \ -2[/mm] definiert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sanane |
Also die Ableitung von [mm] -3x+sin^2(x)/x [/mm] ??
Kommt hier folgendes heraus: [mm] -3+(sin(x)(2xcos(x)-sin(x)))/x^2 [/mm] ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sanane |
wenn ich für x 0 einsetze, bekommt man kein ergebnis :S
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> wenn ich für x 0 einsetze, bekommt man kein ergebnis :S
Ist ja ein Ding!!! ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Was haben wir denn zuvor für einen Grenzwert ermittelt?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sanane |
-2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest doch schon den GW von sinx/x und von [mm] sin^2x/x^2
[/mm]
die brauchst due wieder! das meinte loddar
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:06 Di 07.12.2010 | | Autor: | sanane |
ich verstehe das jetzt nicht :S
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Di 07.12.2010 | | Autor: | sanane |
beide male kommt da als ergebnis 1 heraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Di 07.12.2010 | | Autor: | sanane |
was mache ich denn jetzt? :S
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> unfug ? :O .. ich hatte das nach einem bespiel gemacht
>
> http://www.netalive.org/rationale-funktionen/chapters/4.3.html
Ich hab mir diese Seite mal angesehen und muß sagen, ich bekam einen Brechreiz.
Dort findet man z. B.:
" Ist f(x) nur für ein Intervall definiert, so ist das Intervall, für das f'(x) definiert ist, immer ausschließend. Die Intervall-Grenzen sind nie im Intervall von f'(x) enthalten"
Solch einen Blödsinn hab ich selten gelesen ! Wer so etwas schreibt, hat von Mathematik nicht die leiseste Ahnung.
FRED
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