Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Sa 05.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Abbildung [mm] \vec{f}: \IR^3 \to \IR^2, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{xz \\ x+y} [/mm] Zeigen Sie mittels der Definition der Differenzierbarkeit, dass [mm] \vec{f} [/mm] differenzierbar ist und dass für die Ableitung von [mm] \vec{f} [/mm] gilt: [mm] \vec{f'}(x,y)= \pmat{ z & 0 & x \\ 1 & 1 & 0 } [/mm] |
Hallo Leute, also für Differenzierbarkeit in [mm] \vec{x} [/mm] muss gelten, dass eine Abbildung M existiert. Also es gilt: [mm] f(\vec{x}+\Delta\vec{x})=f(\vec{x})+ M(\Delta\vec{x}) [/mm] + Fehler, wobei M die Matrix der partiellen Ableitungen ist.
So und der Fehler muss ja schneller als linear gegen 0 gehen, also [mm] \limes_{|\Delta\vec{x}|\rightarrow0} \bruch{Fehler}{|\Delta\vec{x}|}=0 [/mm] Aber wie wende ich dass denn jetzt auf die Aufgabe an?:O
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 So 06.03.2011 | | Autor: | frozer |
> Gegeben sei die Abbildung [mm]\vec{f}: \IR^3 \to \IR^2, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{xz \\ x+y}[/mm]
> Zeigen Sie mittels der Definition der Differenzierbarkeit,
> dass [mm]\vec{f}[/mm] differenzierbar ist und dass für die
> Ableitung von [mm]\vec{f}[/mm] gilt: [mm]\vec{f'}(x,y)= \pmat{ z & 0 & x \\ 1 & 1 & 0 }[/mm]
du meinst hier sicherlich f'(x,y,z).....
Nicht vergessen f' ist ja schon die Ableitungsmatrix M, die du in die Definition einsetzen musst.
>
> Hallo Leute, also für Differenzierbarkeit in [mm]\vec{x}[/mm] muss
> gelten, dass eine Abbildung M existiert. Also es gilt:
> [mm]f(\vec{x}+\Delta\vec{x})=f(\vec{x})+ M(\Delta\vec{x})[/mm] +
> Fehler, wobei M die Matrix der partiellen Ableitungen ist.
> So und der Fehler muss ja schneller als linear gegen 0
> gehen, also [mm]\limes_{|\Delta\vec{x}|\rightarrow0} \bruch{Fehler}{|\Delta\vec{x}|}=0[/mm]
> Aber wie wende ich dass denn jetzt auf die Aufgabe an?:O
> Gruß David
soweit so gut.
du hast ja bereits erkannt dass folgendes gilt:
[mm]f(\vec{x}+\Delta\vec{x})=f(\vec{x})+ M(\Delta\vec{x})[/mm] + Fehler
das ganze nach dem "fehler" umgestellt...
[mm]f(\vec{x}+\Delta\vec{x})-f(\vec{x})-M(\Delta\vec{x})=[/mm] Fehler
also musst du zeigen dass folgendes gilt (hast du ja auch schon erkannt...):
[mm]\limes_{|\Delta\vec{x}|\rightarrow0} \bruch{Fehler}{|\Delta\vec{x}|}=
\limes_{|\Delta\vec{x}|\rightarrow0} \bruch{f(\vec{x}+\Delta\vec{x})-f(\vec{x})-M(\Delta\vec{x})}{|\Delta\vec{x}|}=0[/mm]
für deine Funktion heißt das jetzt speziell du musst das hier zeigen:
[mm] \limes_{|\Delta\vec{x}|\rightarrow 0} \bruch{f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z)-\vec{f'}(x,y,z)(\Delta\vec{x})}{|\Delta\vec{x}|}=0
[/mm]
[mm] \limes_{(\Delta x,\Delta y, \Delta z)\rightarrow (0,0,0)} \bruch{\vektor{(x+\Delta x)*(z+\Delta z) \\ (x+\Delta x)+(y+\Delta y)}
-\vektor{xz \\ x+y}-\pmat{ z & 0 & x \\ 1 & 1 & 0 }*\vektor{\Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z}}{\wurzel{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}}=0
[/mm]
sobald du sinnvoll nachgrechnet (bzw. gezeigt) hast dass da null rauskommt, hast du die Aufgabe erfolgreich gelößt.
grüße
PS:für tippfehler keine garantie ;)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:05 So 06.03.2011 | | Autor: | David90 |
Also hab das jetz ausmultipliziert und zusammengefasst und dann steht da (den Limes schenk ich mir mal xD) [mm] \vektor{\Delta x \Delta z \\ xy+\Delta y + \Delta xy+\Delta x \Delta y-x-y-\Delta x -\Delta y} [/mm] Und was kann man jetzt daraus schließen?:O
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 06.03.2011 | | Autor: | Walde |
Hi david,
da hast du dich in der 2.Komponente verrechnet. Ich glaube, du hast statt [mm] $(x+\Delta x)\red{+}(y+\Delta [/mm] y)$ mit [mm] \cdot [/mm] gerechnet.
Weiterhin musst du natürlich den gesamten Quotienten betrachten, nicht nur den Zähler.
Und noch was: der Zähler muss noch auch in Betragsstriche. Die kann man nur bei Funktionen weglassen, deren Bild in [mm] \IR [/mm] liegt, hier ist es ja in [mm] \IR^2
[/mm]
LG walde
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:53 Mo 07.03.2011 | | Autor: | David90 |
Achso stimmt, also zum ende steht dann da: [mm] \limes_{(\Delta x,\Delta y, \Delta z)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{|\vektor{\Delta x \Delta z \\ 0}|}{\wurzel{\Delta x^2+\Delta y^2 + \Delta z^2}}. [/mm] So und wie gehts jetzt weiter?xD
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:35 Di 08.03.2011 | | Autor: | Walde |
Hi David,
na den Betrag könntest du ja auch mal auschreiben. Hast du ja im Nenner auch gemacht. Und dann kuck mal, ob du dir überlegegen kannst, ob dieser Quotient gegen Null geht, wenn das die ganzen [mm] \Delta [/mm] s tun...Das ist es ja, was zu zeigen ist.
Lg walde
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