Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Di 03.05.2011 | | Autor: | moody |
Hallo,
ich soll die Differenzierbarkeit einer Betragsfunktion untersuchen, leider hänge ich da schon ganz am Anfang.
Ich habe mir auf Wikipedia das Beispiel mit $f(x) = |x|$ angeguckt.
Möchte man die diffbarkeit an der Stelle 0 untersuchen nähert man sich ja auch einmal dem Grenzwert von unten. Und da steht nun:
f(x) = -x für x < 0
Meiner Meinung nach träfe das doch für f(x) = x zu?
f(-5) = -5
f(5) = 5
Bei f(x) = |x|
f(-5) = 5
f(5) = 5
Es heißt auch bei den Beträgen
[mm] |x|=\begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}
[/mm]
Das ist mir ehrlich gesagt auch schleierhaft wieso das so ist. Ich dachte bei der Betragsfunktion wäre x immer positiv?
Rechnerisch macht das Sinn würde ich davon ausgehen dass f(x) = x dann wäre f(x) = |x| an der Stelle 0 diffbar. Ich glaube ja auch dass für f(x) = x gilt:
x < 0 f(x) = -x
Damit wäre f(x) = x an der Stelle nicht differenzierbar.
Wo liegt mein Denkfehler?
lg moody
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Di 03.05.2011 | | Autor: | Damasus |
Erstmal hast du richtig erkannt, dass
$ [mm] |x|=\begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} [/mm] $
d.h. z.B. für x=5 ist auch |x|=5 und für x=-5 steht das |-5|=-(-5)=5.
Du hast aber noch nirgends die Differenzierbarkeit geprüft.
Eine Funktion f ist an der Stelle [mm] $x_{0}$ [/mm] genau dann differenzierbar wenn [mm] $\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}} [/mm] existiert.
Wie du schon erkannt hast, ist die Problemstelle [mm] $x_{0}=0$. [/mm] Näher dich doch mal von rechts der Null und von links (bei dem Differenzenquotient).
Viele Grüße,
Damasus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Di 03.05.2011 | | Autor: | moody |
> d.h. z.B. für x=5 ist auch |x|=5 und für x=-5 steht das
> |-5|=-(-5)=5.
Ja genau das war der Knackpunkt, danke!
> Du hast aber noch nirgends die Differenzierbarkeit
> geprüft.
> Eine Funktion f ist an der Stelle [mm]$x_{0}$[/mm] genau dann
> differenzierbar wenn [mm]$\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}}[/mm]
> existiert.
Das wusste ich bereits, ich wollte erstmal wissen wie ich mit einem Betrag überhaupt umgehe und mich dann selbst versuchen, hat leider doch nicht so recht geklappt.
$f(x) = |x|sin x$
$g(x) = |x|cosx$
für [mm] $x_0 [/mm] = 0$
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0 + } \bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 + } \bruch{x sinx}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 + } [/mm] sinx
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0 - } \bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 - } \bruch{- x sinx}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 - } [/mm] -sinx
Ich habe mir beide Funktionen gezeichnet und vermute dass die Sinusfunktion diffbar ist, jedoch die Cosinus Funktion nicht.
Ich komme nach selbem Schema aber auch auf
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0 - } [/mm] -cos x$
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0 + } [/mm] cos x$
Zudem konvergieren doch weder die Sinus noch die Cosinusfunktion gegen einen bestimmten Wert? Falls ich bis hierhin richtig liege, müsste es aber trotzdem möglich sein eine Aussage darüber zu machen ob [mm] $\limes_{x\rightarrow x_0 - } [/mm] -sin x = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 + } [/mm] sin x$
lg moody
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Di 03.05.2011 | | Autor: | Damasus |
Das sind ja schon mal sehr viele gute Anmerkungen.
Für [mm] $x\not=0$ [/mm] ist das ganze auf jeden Fall differenzierbar.
Du hast genau richtig den Puntk [mm] $x_{0}=0$ [/mm] untersucht und herausgefunden:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 + } \bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0 + }sin(x) [/mm] $ gegen was strebt denn das ganze für [mm] $x_{0}=0$ [/mm] von rechts? und von links?
Wenn da der gleich Wert herauskommt, dann ist die Funktion in dem Punkt differenzierbar.
Grüße,
Damasus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Di 03.05.2011 | | Autor: | moody |
> gegen was strebt denn das ganze für [mm]x_{0}=0[/mm] von rechts?
> und von links?
> Wenn da der gleich Wert herauskommt, dann ist die Funktion
> in dem Punkt differenzierbar.
Ich gucke ja jetzt quasi ob der sinx von oben gegen den selben Wert strebt wie -sinx von unten?
Wie schreibe ich das mathematisch sauber auf bzw. begründe das? Ich weiß ja das sin(0) = 0 also strebt sinx für x von oben -> 0 gegen 0
-sin(0) = 0 also strebt -sinx für x von unten -> 0 gegen 0
Damit wäre f(x) diffbar.
Bei g(x) verhält es sich ja anders:
cos(0) = 1 also strebt cos x für x -> 0 von oben gegen 1
-cos(0) = -1 also strebt cos x für x -> 0 von unten gegen -1
Ist also nicht diffbar an der Stelle 0.
lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Di 03.05.2011 | | Autor: | Damasus |
Soweit ist alles richtig.
Sehr gut.
Gruß
Damasus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Di 03.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn man sin(x) kennt weiss man, schon weil es stetig ist dass der lim x->0 von rechts und von links derselbe, also =0 ist
ebenso ist cos bei 0 stetig, also von links und rechts 1
also nur dein gesamter GW strebt von links nach -1 von rechts nach +1
du meist also das richtige, schreibst aber falsch:
"also strebt cos x für x -> 0 von unten gegen -1 "
dein post davor war noch richtig, da fehlte nur das letzte 0
für $ [mm] x_0 [/mm] = 0 $
$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 + } \bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 + } \bruch{x sinx}{x} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 + } [/mm] sinx=0$
$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 - } \bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 - } \bruch{- x sinx}{x} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 - } [/mm] $ -sinx=0
Beide GW gleich, also bei 0 differenzierbar
$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 - } [/mm] -cos x=-1 $
$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0 + } [/mm] cos x=1 $
beide GW verschieden, also bei 0 nicht diffb.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 03.05.2011 | | Autor: | moody |
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0 - } -cos x=-1[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0 + } cos x=1[/mm]
Genau das habe ich ja gemeint, insgesamt strebt meine Funktion für [mm] x_0 [/mm] = 0 von links nach -1 und von rechts nach 1 .
Danke euch nochmal, ich denke das habe ich jetzt soweit verstanden.
Jetzt geht es im weiteren darum zu zeigen ob die Funktionen ausserhalb [mm] x_0 [/mm] = 0 differenzierbar sind.
Das heißt ich habe ja jetzt kein konkretes [mm] x_0 [/mm] mehr, ich weiß nur [mm] $x_0 \not= [/mm] 0 $ Dann habe ich ja keinen konkreten Wert an dem ich gucken wie sich die Grenzwerte verhalten?
lg moody
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Moin moody,
> > [mm]\limes_{x\rightarrow x_0 - } -cos x=-1[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow x_0 + } cos x=1[/mm]
> Genau das habe ich
> ja gemeint, insgesamt strebt meine Funktion für [mm]x_0[/mm] = 0
> von links nach -1 und von rechts nach 1 .
> Danke euch nochmal, ich denke das habe ich jetzt soweit
> verstanden.
>
> Jetzt geht es im weiteren darum zu zeigen ob die Funktionen
> ausserhalb [mm]x_0[/mm] = 0 differenzierbar sind.
>
> Das heißt ich habe ja jetzt kein konkretes [mm]x_0[/mm] mehr, ich
> weiß nur [mm]x_0 \not= 0[/mm] Dann habe ich ja keinen konkreten
> Wert an dem ich gucken wie sich die Grenzwerte verhalten?
Deswegen reicht es auch, an dieser Stelle mit gewissen Sätzen (Komposition stetiger/ differenzierbarer Funktionen) zu argumentieren. Da bei deinen Beispiel der Betrag vorkommt, kann man, wenn man ausführlich sein will, noch eine entsprechende Fallunterscheidung für x<0 und x>0 machen.
>
> lg moody
LG
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