Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 Di 07.06.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Sei [mm] g:[0,\infty)\to\IR [/mm] eine stetig diffenzierbare Funktion und [mm] f:\IR^n\to\IR, x\mapsto [/mm] g(|x|).
Man zeige: f ist in 0 genau dann differenzierbar, wenn g'(0)=0 gilt. |
Hallo,
es ist doch [mm] \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{g(|h|)-g(|0|)}{h}=g'(0) [/mm] wegen der Differenzierbarkeit von g im Nullpunkt.
Dann müsste f doch eigentlich immer diffbar sein?
Mache ich etwas falsch und wenn ja, wie geht es sonst?
Danke.
mfg, pyw
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Di 07.06.2011 | | Autor: | pyw |
oh, ich teile hier mit h ja durch einen Vektor. So ein Unsinn :S
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]g:[0,\infty)\to\IR[/mm] eine stetig diffenzierbare Funktion
> und [mm]f:\IR^n\to\IR, x\mapsto[/mm] g(|x|).
>
> Man zeige: f ist in 0 genau dann differenzierbar, wenn
> g'(0)=0 gilt.
> Hallo,
>
> es ist doch
> [mm]\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{g(|h|)-g(|0|)}{h}=g'(0)[/mm]
> wegen der Differenzierbarkeit von g im Nullpunkt.
Wenn ich mir den Quotienten [mm] \frac{f(h)-f(0)}{h} [/mm] ansehe, stehen mir die , nicht mehr vorhandenen , Haare zu Berge !!!
Warum ?
Darum: f ist auf dem [mm] \IR^n [/mm] def. , wenn also von f(h) die rede ist, so muß h [mm] \in \IR^n [/mm] sein ! Und Du dividierst durch dieses h !! wie geht das ?
Du machst jetzt folgendes: informiere Dich, wie Differenzierbarkeit im [mm] \IR^n [/mm] def. ist und mit dieser Info gehst Du die Aufgabe nochmal an.
FRED
>
> Dann müsste f doch eigentlich immer diffbar sein?
> Mache ich etwas falsch und wenn ja, wie geht es sonst?
>
> Danke.
>
> mfg, pyw
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Di 07.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo Fred,
danke für die Antwort. Den Fehler hatte ich selbst schon gemerkt.
Ich habe die Aufgabe nun gelöst.
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:41 Di 07.06.2011 | | Autor: | pyw |
Ich habe nun doch noch eine Frage.
Unter der Vorausssetzung, dass f in 0 diffenzierbar ist, gilt
[mm] f(h)=f(0)+D_f(0)h+\varphi(h) [/mm] mit [mm] \varphi(h)/\|h\|\to0, h\to0.
[/mm]
Es folgt aus [mm] D_f(0)=0, [/mm] dass g'(0)=0, denn es gilt f(h)=g(|h|) und f(0)=g(0). Wie kann ich aber zeigen, dass [mm] D_f(0)=0 [/mm] ist?
Danke für eure Hilfe.
mfg, pyw
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 09.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
