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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Fr 09.09.2011 | | Autor: | Jensy |
| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR^n \to \IR [/mm] gegeben und gelte |f(x)| [mm] \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel^2 [/mm] für alle [mm] x\in\IR^n. [/mm]
Zeige: f ist in 0 [mm] \in \IR^n [/mm] total differenzierbar und gebe Gradient f(0) an. |
hierbei handelt es sich um eine Klausuraufgabe die ich nicht korrekt hatte.
ich habe es mit 1. partielle diffbarkeit für alle richtungsableitungen gezeigt und dann die Stetigkeit gezeigt sodass totale diffbarkeit folge.
Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin Jensy,
> Sei f : [mm]\IR^n \to \IR[/mm] gegeben und gelte |f(x)| [mm]\le \parallel[/mm] x [mm]\parallel^2[/mm] für alle [mm]x\in\IR^n.[/mm]
>
> Zeige: f ist in 0 [mm]\in \IR^n[/mm] total differenzierbar und gebe
> Gradient f(0) an.
>
Anleitung:
a) Totale Differenzierbarkeit bedeutet
(*) [mm] f(x)=f(0)+Df(0)(x-0)+\varphi(x) [/mm] mit
(**) [mm] \frac{\varphi(x)}{\parallel x\parallel}\to0, \parallel x\parallel\to0.
[/mm]
b) Bilde die partiellen Ableitungen. Dies wird dich dazu führen, dass Df(0)=0 notwendig ist für totale Differenzierbarkeit.
c) Es bleibt (**) zu zeigen. Es ist f(0)=0 (Warum?).
Daraus folgt wegen (*) und b), dass [mm] \varphi(x)=f(x)-f(0)-Df(0)(x-0)=f(x).
[/mm]
Zeige nun (**) mithilfe der Voraussetzung [mm] |f(x)|\leq\parallel x\parallel^2.
[/mm]
LG
EDIT: Siehe hier.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Sa 10.09.2011 | | Autor: | Jensy |
Hallo,
warum muss ich zeigen, dass f(0) = 0 ist? Ist das nicht trivial? Oder ich verstehe da was falsch.
(**) gilt ja nach voraussetzung das [mm] f(x)\leq\parallel x\parallel^2. [/mm]
Da man vorher gezeigt hat dass f(x) = [mm] \varphi(x) [/mm] ist und dass [mm] f(x)\leq\parallel x\parallel^2 [/mm] geht der Zähler schneller gegen Null als der Nenner und daraus folgt die totale differenzierbarkeit.
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Moin,
> warum muss ich zeigen, dass f(0) = 0 ist? Ist das nicht
> trivial? Oder ich verstehe da was falsch.
Das folgt aus [mm] |f(x)|\leq\parallel x\parallel^2 [/mm] mit x=0.
>
> (**) gilt ja nach voraussetzung das [mm]f(x)\leq\parallel x\parallel^2.[/mm]
> Da man vorher gezeigt hat dass f(x) = [mm]\varphi(x)[/mm] ist und
> dass [mm]\red{|}f(x)\red{|}\leq\parallel x\parallel^2[/mm] geht der Zähler
> schneller gegen Null als der Nenner und daraus folgt die
> totale differenzierbarkeit.
Beachte noch den Betrag. Dann kann man es korrekterweise so schreiben:
[mm] \left|\lim_{\parallel x\parallel\to0}\frac{f(x)}{\parallel x\parallel}\right|=\lim_{\parallel x\parallel\to0}\frac{|f(x)|}{\parallel x\parallel}\leq\lim_{\parallel x\parallel\to0}\frac{\parallel x\parallel^2}{\parallel x\parallel}=\lim_{\parallel x\parallel\to0}\parallel x\parallel=0.
[/mm]
Also gilt auch [mm] \lim_{\parallel x\parallel\to0}\frac{f(x)}{\parallel x\parallel}=0.
[/mm]
LG
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> a) Aus totaler Differenzierbarkeit würde folgen ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> (*) [mm]f(x)=f(0)+Df(0)(x-0)+\varphi(x)[/mm] mit
> (**) [mm]\frac{\varphi(x)}{\parallel x\parallel}\to0, \parallel x\parallel\to0.[/mm]
das sollte oben wohl heißen:
"Totale Differenzierbarkeit bedeutet: ......"
Man kann die totale Differenzierbarkeit einer Funktion ja
nicht nachweisen, indem man zeigt, dass etwas gilt, was
aus totaler Differenzierbarkeit gefolgert werden kann.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Sa 10.09.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo Al,
> das sollte oben wohl heißen:
>
> "Totale Differenzierbarkeit bedeutet: ......"
>
>
> Man kann die totale Differenzierbarkeit einer Funktion ja
> nicht nachweisen, indem man zeigt, dass etwas gilt, was
> aus totaler Differenzierbarkeit gefolgert werden kann.
Du hast Recht... Zum Glück achtet jemand auch auf solche Formulierfehler.
Danke für den Hinweis.
LG
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