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Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 Mo 03.10.2011
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Man betrachte folgende Funktion [mm] f:\IR \to \IR, f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \\ x^{2}*sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \end{cases}. [/mm]
Man zeige, dass f auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist, jedoch f' in 0 nicht stetig ist.

Hallo ^^,

Ich will zunächst zeigen, dass f auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist.
Für x [mm] \le [/mm] 0 gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\bruch{f(x)-0}{x}=\bruch{f(x)}{x}=\bruch{0}{x}=0. [/mm]

Für x>0 gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{x^{2}*sin(\bruch{1}{x})-x_{0}^{2}*sin(\bruch{1}{x_{0}})}{x-x_{0}} [/mm]

Als Grenzwert muss [mm] 2x*sin(\bruch{1}{x})+x^{2}*cos(\bruch{1}{x}) [/mm] rauskommen, aber ich weiß absolut nicht, wie ich den Quotienten so umformen kann, dass dieser grenzwert rauskommt.
Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich vorgehen kann?

Vielen Dank
lg

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Mo 03.10.2011
Autor: Blech

Hi,

> Für x $ [mm] \le [/mm] $ 0 gilt: $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\bruch{f(x)-0}{x}=\bruch{f(x)}{x}=\bruch{0}{x}=0. [/mm] $

Das ist so Kraut und Rüben.

1. Wenn Du x gegen [mm] $x_0$ [/mm] gehen läßt, meinst Du wohl die Ableitung an [mm] $x_0$ [/mm] und nicht x
2. Wenn [mm] $x_0\leq [/mm] 0$, dann kann x sehr wohl >0 sein, f(x)=0$ ist absolut nicht klar.
3. Ist plötzlich [mm] $x_0$ [/mm] aus dem Nenner verschwunden. Willst Du jetzt [mm] $x_0\leq [/mm] 0$ oder [mm] $x_0=0$? [/mm]


> [mm] $x_0 [/mm] >0$, $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{x^{2}\cdot{}sin(\bruch{1}{x})-x_{0}^{2}\cdot{}sin(\bruch{1}{x_{0}})}{x-x_{0}} [/mm] $

In solchen Fällen bietet sich fast immer an, per Teleskopsumme die Teile aufzuspalten:

[mm] $x^{2}*\sin(\bruch{1}{x})-x_{0}^{2}\cdot{}\sin(\bruch{1}{x_{0}}) [/mm] = [mm] \left( x^2\sin(\frac 1x ) - x_0^2 \sin(\frac 1{x})\right)+ \left(x_0^2 \sin(\frac 1{x}) - x_0^2 \sin(\frac 1{x_0})\right) [/mm] $

Damit hast Du die beiden Ableitungen getrennt. Schau Dir auch nochmal die Herleitung der Produktregel an.

ciao
Stefan



Bezug
        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:22 Di 04.10.2011
Autor: fred97

Dass f in allen Punkten x [mm] \ne [/mm] 0 differenzierbar ist, dürfte doch klar sein. Also ist nur x=0 zu untersuchen. Schau also naçh, was der Quotient

            [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm]  für x [mm] \to [/mm] 0

treibt.

FRED

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Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Di 04.10.2011
Autor: Mandy_90


> Dass f in allen Punkten x [mm]\ne[/mm] 0 differenzierbar ist,
> dürfte doch klar sein. Also ist nur x=0 zu untersuchen.

Naja, klar ist es schon, aber ich muss es doch irgendwie beweisen. Für [mm] x_{0} [/mm] >0 habe ich mit Blechs Hilfe gezeigt, dass die Funktion diff.bar ist.

> Schau also naçh, was der Quotient
>  
> [mm]\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm]  für x [mm]\to[/mm] 0
>
> treibt.

Wir betrachten also [mm] x_{0}=0, [/mm] aber x kann trotzdem >0 oder <0 sein oder?
Dann gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} f(x)}{\limes_{x\rightarrow 0} x}. [/mm]
Jetzt würde ich eine Fallunterscheidung machen:
1. x < 0: [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow 0} f(x)}{\limes_{x\rightarrow 0} x}=\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} 0}{\limes_{x\rightarrow 0} x}=0 [/mm]

2. [mm] x>0:\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow 0} (x*sin(\bruch{1}{x}))=0*sin(\bruch{1}{0})? [/mm] Aber das ist ja nicht möglich.

Und für x=0 [mm] gilt:\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\bruch{0}{0}. [/mm]

Das stimmt  ja so nicht. Was mache ich falsch?

lg

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Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 Di 04.10.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Mandy_90,



> > Dass f in allen Punkten x [mm]\ne[/mm] 0 differenzierbar ist,
> > dürfte doch klar sein. Also ist nur x=0 zu untersuchen.
> Naja, klar ist es schon, aber ich muss es doch irgendwie
> beweisen. Für [mm]x_{0}[/mm] >0 habe ich mit Blechs Hilfe gezeigt,
> dass die Funktion diff.bar ist.
>  
> > Schau also naçh, was der Quotient
>  >  
> > [mm]\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm]  für x [mm]\to[/mm] 0
> >
> > treibt.
>  
> Wir betrachten also [mm]x_{0}=0,[/mm] aber x kann trotzdem >0 oder
> <0 sein oder?
>  Dann gilt:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} f(x)}{\limes_{x\rightarrow 0} x}.[/mm]
>  
> Jetzt würde ich eine Fallunterscheidung machen:
>  1. x < 0: [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} f(x)}{\limes_{x\rightarrow 0} x}=\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} 0}{\limes_{x\rightarrow 0} x}=0[/mm]

Jo, da kommt 0 raus, ist aber etwas "kraus".

Ich würde es so schreiben:

[mm]\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{0-0}{x}=\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{0}{x}=\lim\limits_{x\to 0^-}0=0[/mm]

>  
> 2. [mm]x>0:\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow 0} (x*sin(\bruch{1}{x}))=0*sin(\bruch{1}{0})?[/mm]
> Aber das ist ja nicht möglich.

Zur Berechnung von [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot{}\sin(1/x)[/mm] beachte, dass der Sinus beschränkt ist durch 1!

Also [mm]0\le \left|x\cdot{}\sin(1/x)\right|\le |x|[/mm]

Was passiert hier für [mm]x\to 0^+[/mm] ?

>  
> Und für x=0 [mm]gilt:\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\bruch{0}{0}.[/mm]

Hä?

>  
> Das stimmt  ja so nicht. Was mache ich falsch?

Um die Diffbarkeit in 0 zu überprüfen, berechne wie du das schon vorhast, den links- und rechtsseitigen Limes [mm]\lim\limits_{x\to 0^-}[/mm] und [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}[/mm] des Differenzenquotienten.

>  
> lg

Gruß

schachuzipus


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Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Di 04.10.2011
Autor: Mandy_90

Hallo schachuzipus
> > Jetzt würde ich eine Fallunterscheidung machen:
>  >  1. x < 0: [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} f(x)}{\limes_{x\rightarrow 0} x}=\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} 0}{\limes_{x\rightarrow 0} x}=0[/mm]
>  
> Jo, da kommt 0 raus, ist aber etwas "kraus".
>  
> Ich würde es so schreiben:
>  
> [mm]\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{0-0}{x}=\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{0}{x}=\lim\limits_{x\to 0^-}0=0[/mm]
>  
> >  

> > 2. [mm]x>0:\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow 0} (x*sin(\bruch{1}{x}))=0*sin(\bruch{1}{0})?[/mm]
> > Aber das ist ja nicht möglich.
>  
> Zur Berechnung von [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot{}\sin(1/x)[/mm]
> beachte, dass der Sinus beschränkt ist durch 1!
>  
> Also [mm]0\le \left|x\cdot{}\sin(1/x)\right|\le |x|[/mm]
>  
> Was passiert hier für [mm]x\to 0^+[/mm] ?

Für x [mm] \to 0^{+} [/mm] gilt: [mm] 0\le \left|x\cdot{}\sin(1/x)\right|\le [/mm] 0
Daraus folgt [mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}} x*sin(\bruch{1}{x})=0. [/mm]
Also ist f auch in x=0 differenzierbar und somit auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar.
Stimmt es nun?

lg

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Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Di 04.10.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Hallo schachuzipus

> > Zur Berechnung von [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot{}\sin(1/x)[/mm]
> > beachte, dass der Sinus beschränkt ist durch 1!
>  >  
> > Also [mm]0\le \left|x\cdot{}\sin(1/x)\right|\le |x|[/mm]
>  >  
> > Was passiert hier für [mm]x\to 0^+[/mm] ?
>  
> Für x [mm]\to 0^{+}[/mm] gilt: [mm]0\le \left|x\cdot{}\sin(1/x)\right|\le[/mm]  0

Ja, das meinst du richtig, aber es ist "komisch" aufgeschrieben.

Mit [mm]0\le |x\sin(1/x)|\le |x|[/mm] folgt mit [mm]x\to 0^+[/mm] auf die Ungleichung angewandt:

[mm]0=\lim\limits_{x\to 0^+}0\le\lim\limits_{x\to 0^+}|x\sin(1/x)|\le 0=\lim\limits_{x\to 0^+}|x|[/mm]

Also nach dem Sandwichlemma: [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}|x\sin(1/x)|=0[/mm] und damit [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}x\sin(1/x)=0[/mm]

>  Daraus folgt [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{+}} x*sin(\bruch{1}{x})=0.[/mm]

So ist es!

>  
> Also ist f auch in x=0 differenzierbar und somit auf ganz
> [mm]\IR[/mm] differenzierbar.

Jo!

>  Stimmt es nun?

Ja, schreibe es für dich aber nochmal ganz sorgfältig und sauber auf
!

>  
> lg

Gruß

schachuzipus


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Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 Di 11.10.2011
Autor: Mandy_90


> >  Stimmt es nun?

>  
> Ja, schreibe es für dich aber nochmal ganz sorgfältig und
> sauber auf
> !

Ok, Danke. Ich hab es nun versucht zu zeigen, dass f' in 0 nicht stetig ist.
f' ist stetig in 0, falls [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f'(x)=f'(0).

Es gilt f'(0)=0. Und für x<0: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\bruch{f'(x)}{x}=\bruch{0}{x}. [/mm]

Für x>0 gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0} [/mm] 2x*sin(1/x)-cos(1/x).

Außerdem gilt 0 [mm] \le [/mm] |2x*sin(1/x)| [mm] \le [/mm] 2x und 0 [mm] \le [/mm] |cos(1/x)| [mm] \le [/mm] 1. Daraus folgt [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] |2x*sin(1/x)-cos(1/x)|=1 [mm] \not=0. [/mm]

Das heißt f' ist nicht stetig in 0.

Ist das in Ordnung so?

Vielen Dank
lg

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Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 Di 11.10.2011
Autor: reverend

Hallo Mandy,

> > >  Stimmt es nun?

>  >  
> > Ja, schreibe es für dich aber nochmal ganz sorgfältig und
> > sauber auf
> > !
>  
> Ok, Danke. Ich hab es nun versucht zu zeigen, dass f' in 0
> nicht stetig ist.
>  f' ist stetig in 0, falls [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> f'(x)=f'(0).
>  
> Es gilt f'(0)=0. Und für x<0: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\bruch{f'(x)}{x}=\bruch{0}{x}.[/mm]

Nach dem Grenzprozess darf da doch kein x mehr stehen. Hier fehlt einfach noch der Limes in den letzten beiden Schritten, und am Ende dann =0.

> Für x>0 gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> 2x*sin(1/x)-cos(1/x).
>  
> Außerdem gilt 0 [mm]\le[/mm] |2x*sin(1/x)| [mm]\le[/mm] 2x und 0 [mm]\le[/mm]
> |cos(1/x)| [mm]\le[/mm] 1. Daraus folgt [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> |2x*sin(1/x)-cos(1/x)|=1 [mm]\not=0.[/mm]

Nein, das folgt nicht daraus. Wieso sollte der Grenzwert des Betrages denn 1 sein? Es existiert schlicht kein Grenzwert.

> Das heißt f' ist nicht stetig in 0.

Das heißt es dann aber noch, nur stimmt Deine Begründung für x>0 nicht, und die für [mm] x\le0 [/mm] ist noch nicht sauber.

Grüße
reverend


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Bezug
Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Di 11.10.2011
Autor: Mandy_90

Hallo reverend,
  

> > Es gilt f'(0)=0. Und für x<0: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\bruch{f'(x)}{x}=\bruch{0}{x}.[/mm]
>  
> Nach dem Grenzprozess darf da doch kein x mehr stehen. Hier
> fehlt einfach noch der Limes in den letzten beiden
> Schritten, und am Ende dann =0.

Ja natürlich, da hab ich etwas unsauber geschrieben.

>  
> > Für x>0 gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> > 2x*sin(1/x)-cos(1/x).
>  >  
> > Außerdem gilt 0 [mm]\le[/mm] |2x*sin(1/x)| [mm]\le[/mm] 2x und 0 [mm]\le[/mm]
> > |cos(1/x)| [mm]\le[/mm] 1. Daraus folgt [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> > |2x*sin(1/x)-cos(1/x)|=1 [mm]\not=0.[/mm]
>  
> Nein, das folgt nicht daraus. Wieso sollte der Grenzwert
> des Betrages denn 1 sein? Es existiert schlicht kein
> Grenzwert.

Hmmm, okay. Ich versuch mal zu begründen warum er nicht existiert.
Es gilt 0 [mm] \le [/mm] |cos(1/x)| [mm] \le [/mm] 1. Wenn ich nun den Limes betrachte, gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] 0 [mm] \le \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] |cos(1/x)| [mm] \le \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] 1, d.h 0 [mm] \le \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] |cos(1/x)| [mm] \le [/mm] 1. Aber [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] cos(1/x) existiert  gar nicht.
Ich denke es ist mir klar geworden, aber ich weiß nicht wie ich das richtig aufschreiben soll.

lg


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Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Di 11.10.2011
Autor: fred97


> Hallo reverend,
>    
> > > Es gilt f'(0)=0. Und für x<0: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\bruch{f'(x)}{x}=\bruch{0}{x}.[/mm]
>  
> >  

> > Nach dem Grenzprozess darf da doch kein x mehr stehen. Hier
> > fehlt einfach noch der Limes in den letzten beiden
> > Schritten, und am Ende dann =0.
>  Ja natürlich, da hab ich etwas unsauber geschrieben.
>  >  
> > > Für x>0 gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> > > 2x*sin(1/x)-cos(1/x).
>  >  >  
> > > Außerdem gilt 0 [mm]\le[/mm] |2x*sin(1/x)| [mm]\le[/mm] 2x und 0 [mm]\le[/mm]
> > > |cos(1/x)| [mm]\le[/mm] 1. Daraus folgt [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> > > |2x*sin(1/x)-cos(1/x)|=1 [mm]\not=0.[/mm]
>  >  
> > Nein, das folgt nicht daraus. Wieso sollte der Grenzwert
> > des Betrages denn 1 sein? Es existiert schlicht kein
> > Grenzwert.
>  
> Hmmm, okay. Ich versuch mal zu begründen warum er nicht
> existiert.
>  Es gilt 0 [mm]\le[/mm] |cos(1/x)| [mm]\le[/mm] 1. Wenn ich nun den Limes
> betrachte, gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] 0 [mm]\le \limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> |cos(1/x)| [mm]\le \limes_{x\rightarrow 0}[/mm] 1, d.h 0 [mm]\le \limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> |cos(1/x)| [mm]\le[/mm] 1. Aber [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] cos(1/x)
> existiert  gar nicht.


Ja, aber wieso denn nicht ????  


>  Ich denke es ist mir klar geworden


Bist Du sicher ?

> , aber ich weiß nicht
> wie ich das richtig aufschreiben soll.

Betrachte mal die Nullfolge [mm] (x_n)=(\bruch{1}{n \pi}) [/mm]  und dann die Folge  [mm] (cos(1/x_n)) [/mm]

FRED

>  
> lg
>  


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