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Differenzierbarkeit: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Mo 10.10.2011
Autor: Ali4

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f mit x (E R =für alle reellen Zahlen?). Führe die Fallunterscheidung x größergleich 0 und x kleiner O aus. Skizziere den Graphen der Funktion. Untersuche ob f an der Stelle x0 = 0 differenzierbar ist.
a) f(x) = x² + Betrag von x
b) f(x) = x * Betrag von x
c) f(x) = x* betrag von x + Betrag von x

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo ihr Lieben :)
Ich brauch ganz ganz ganz dringend Hilfe bei meiner Mathehausaufgabe.. Ich muss zugeben ich war noch nie ein großes Genie in Sachen Mathematik, hab auch schon häufig Nachhilfe genommen, aber so wirklich geholfen hats bis jetzt nie.. Jetzt mit Anfang der 11. Klasse gehn die Probleme leider weiter..

Ich hab das Ganze mithilfe von Geogebra skizziert, hat auch geklappt, aber mit der Differenzierbarkeit hab ich noch so meine Probleme..
Könnt ihr mir helfen? Ich wär euch sooo dankbar :)
Lg, Ali4

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Mo 10.10.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Ali4 und erstmal herzlich [willkommenmr],


> Gegeben ist die Funktion f mit x (E R =für alle reellen
> Zahlen?).

Schreibt sich x\in\IR

und sieht so aus: [mm]x\in\IR[/mm]

> Führe die Fallunterscheidung x größergleich 0
> und x kleiner O aus. Skizziere den Graphen der Funktion.
> Untersuche ob f an der Stelle x0 = 0 differenzierbar ist.
>  a) f(x) = x² + Betrag von x
>  b) f(x) = x * Betrag von x
>  c) f(x) = x* betrag von x + Betrag von x
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo ihr Lieben :)
>  Ich brauch ganz ganz ganz dringend Hilfe bei meiner
> Mathehausaufgabe.. Ich muss zugeben ich war noch nie ein
> großes Genie in Sachen Mathematik, hab auch schon häufig
> Nachhilfe genommen, aber so wirklich geholfen hats bis
> jetzt nie.. Jetzt mit Anfang der 11. Klasse gehn die
> Probleme leider weiter..
>  
> Ich hab das Ganze mithilfe von Geogebra skizziert, hat auch
> geklappt, aber mit der Differenzierbarkeit hab ich noch so
> meine Probleme..
>  Könnt ihr mir helfen? Ich wär euch sooo dankbar :)

Nun, beginne damit, die Chose betragsfrei zu schreiben.

Für [mm]x\ge 0[/mm] ist [mm]|x|=x[/mm] und für [mm]x<0[/mm] ist [mm]|x|=-x[/mm]

Für die erste bedeutet das:

[mm]f(x)=x^2+|x|=\begin{cases} x^2+x, & \mbox{fuer } x\ge 0 \\ x^2-x, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm]

Ist dir das klar? Wenn nicht, gehe einen Schritt zur Definition des Betrages zurück und vollziehe es ganz langsam und in Ruhe nach.

Außerhalb von [mm]x_0=0[/mm] sind beide Teilfunktionen trivialerweise differenzierbar, das sind ja popelige Polynome.

Wie lauten denn die Ableitungen für [mm]x>0[/mm] und für [mm]x<0[/mm] ?

Das kannst du mit den bekannten Ableitungsregel erschlagen.

An der Stelle [mm]x_0=0[/mm] musst du den links- und rechtsseitigen Limes des Differenzenquotienten ausrechnen und schauen, ob die beiden a) existieren und b) übereinstimmen.

Wenn es das tut, so ist die Funktion in [mm]x_0=0[/mm] differenzierbar.

Schreibe mal den Differenzenquotienten hin, einmal für [mm]x\to 0^-[/mm], also [mm]x\to 0, x<0[/mm] und das andere Mal für [mm]x\to 0^+[/mm], also [mm]x\to 0, x>0[/mm]

Aber uffpasse: je nachdem, ob du dich mit [mm]x[/mm] rechts oder links von 0 befindest, ist die Definition von [mm]f(x)[/mm] eine andere ... siehe die betragfreie Darstellung.

>  Lg, Ali4

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Mo 10.10.2011
Autor: Ali4

Vielen Dank für die schnelle Antwort :)

Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß wie man auf die geschweifte Klammer hinter der Funktion kommt.
Also z.B. von f(x) = x* Betrag von x wäre die geschweifte Klammer was?

Lg, Ali4

Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Mo 10.10.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Vielen Dank für die schnelle Antwort :)
>  
> Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß wie man auf
> die geschweifte Klammer hinter der Funktion kommt.
> Also z.B. von f(x) = x* Betrag von x wäre die geschweifte
> Klammer was?

Na, ich muss mich wiederholen: setze stur die Def. des Betrages ein!

[mm]\red{|x|=x}[/mm] für [mm]x\ge 0[/mm] und

[mm]\blue{|x|=-x}[/mm] für [mm]x<0[/mm]

Damit ist 1) für [mm]x\ge 0[/mm]:

[mm]f(x)=x\cdot{}\red{|x|}=x\cdot{}\red{x}=x^2[/mm]

und 2) für [mm]x<0[/mm]:

[mm]f(x)=x\cdot{}\blue{|x|}=\ldots[/mm]

Jetzt aber ...

>  
> Lg, Ali4

Gruß

schachuzipus


Bezug
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