Differenzierbarkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:36 Mo 16.01.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | http://www.myimg.de/?img=diffd6081.jpg |
Verstehe nicht den Unterschied zwischen beidem, habe folgende Definitionen:
1. f heißt differenzierbar auf D, wenn alle f in allen Punkten aus D differenzierbar ist. In diesem Fall nennt man die Funktion
f': D -> [mm] \IR, [/mm] a|->f'(a)
2. Ist f differenzierbar und f': D -> [mm] \IR [/mm] stetig, so nennt man f stetig differenzierbar. Man setzt
[mm] C^{-1}(D):={f: D -> \IR: f stetig differenzierbar}
[/mm]
So wie ich es verstanden habe, müsste ich zeigen, dass die Funktion differenzierbar ist, aber nicht stetig. Dann hätte ich es ja soweit. Ich würde also erstmal mit dem [mm] \epsilon-\delta-Kriterium [/mm] herangehen und dann die Differenzierbarkeit mit dem Differenzenquotienten zeigen, was haltet ihr davon?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> http://www.myimg.de/?img=diffd6081.jpg
> Verstehe nicht den Unterschied zwischen beidem, habe
> folgende Definitionen:
>
> 1. f heißt differenzierbar auf D, wenn alle f in allen
> Punkten aus D differenzierbar ist. In diesem Fall nennt man
> die Funktion
>
> f': D -> [mm]\IR,[/mm] a|->f'(a)
>
> 2. Ist f differenzierbar und f': D -> [mm]\IR[/mm] stetig, so nennt
> man f stetig differenzierbar. Man setzt
>
> [mm]C^{-1}(D):={f: D -> \IR: f stetig differenzierbar}[/mm]
Nein !
[mm]C^{1}(D):=\{f: D -> \IR: f ~stetig ~differenzierbar\}[/mm]
>
> So wie ich es verstanden habe, müsste ich zeigen, dass die
> Funktion differenzierbar ist, aber nicht stetig.
Unsinn ! Eine differenzierbare Funktion ist stetig !
Du mußt zeigen: f ist differenzierbar und f' ist nicht stetig !
> Dann
> hätte ich es ja soweit. Ich würde also erstmal mit dem
> [mm]\epsilon-\delta-Kriterium[/mm] herangehen und dann die
> Differenzierbarkeit mit dem Differenzenquotienten zeigen,
> was haltet ihr davon?
Dass f in Punkten x [mm] \ne [/mm] 0 differenzierbar ist, dürfte klar sein (Komposition differenzierbarer Funktionen)
Zeige mit dem Differenzenquotienten, dass f in x=0 differenzierbar ist mit f'(0)=0.
f' ist in x=0 nicht stetig. Dazu finde eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n \to [/mm] 0, so, dass [mm] (f'(x_n)) [/mm] nicht gegen f'(0) konv.
FRED
>
> Danke schonmal!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Mo 16.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Gut stimmt, ja damit eine Funktion differenzierbar ist, muss sie stetig sein, aber was ist nun der Unterschied zwischen stetig differenzierbar und nur differenzierbar?
Der Quotient sieht doch so aus:
[mm] \lim_{x \to a} \left( \bruch{f(x)-f(a)}{x-a} \right)=\lim_{x \to a} \left( \bruch{0-a^2sin(1/a))}{0-a} \right)
[/mm]
Wäre das so richtig? Und wie mache ich da weiter?
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Hi, hubbel,
> Gut stimmt, ja damit eine Funktion differenzierbar ist,
> muss sie stetig sein, aber was ist nun der Unterschied
> zwischen stetig differenzierbar und nur differenzierbar?
>
> Der Quotient sieht doch so aus:
>
> [mm]\lim_{x \to a} \left( \bruch{f(x)-f(a)}{x-a} \right)=\lim_{x \to a} \left( \bruch{0-a^2sin(1/a))}{0-a} \right)[/mm]
>
> Wäre das so richtig?
Nö! Zunächst mal ist ja a = 0
Im lim bleibt also das x stehen
> Und wie mache ich da weiter?
Du kannst anschließend durch x kürzen und mit Hilfe einer Abschätzung für den Sinus zeigen, dass der Grenzwert =0 ist.
Anschließend rechnest Du für x [mm] \neq [/mm] 0 die Ableitung f'(x) aus und zeigst, dass für diese der Grenzwert x [mm]\to[/mm]0 nicht existiert.
(Einerseits ist ja f'(0)=0 laut Deiner obigen Grenzwertrechnung, andererseits findest Du - mit ein bisschen Probieren  - eine Folge für x, für die der Grenzwert nicht 0 ist, sondern z.B. -1.)
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gut stimmt, ja damit eine Funktion differenzierbar ist,
> muss sie stetig sein, aber was ist nun der Unterschied
> zwischen stetig differenzierbar und nur differenzierbar?
stetig differenzierbar = differenzierbar+ Stetigkeit der Ableitung.
FRED
>
> Der Quotient sieht doch so aus:
>
> [mm]\lim_{x \to a} \left( \bruch{f(x)-f(a)}{x-a} \right)=\lim_{x \to a} \left( \bruch{0-a^2sin(1/a))}{0-a} \right)[/mm]
>
> Wäre das so richtig? Und wie mache ich da weiter?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 16.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Habe es mittlerweile verstanden, danke euch!
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