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| Aufgabe | | Wie kann ich die Extremstellen von differenzierbaren Funktionen berechnen? |
Generell gilt ja (ich kopiere hier Wikipedia:)
Sei f: I->R eine (n+1)-mal differenzierbare Funktion und es gelte
[mm] f'(x_0)=f''(x_0)=\ldots=f^{(n)}(x_0)=0\, [/mm] und [mm] f^{(n+1)}(x_0)\ne0.
[/mm]
Dann hat f bei [mm] x_0 [/mm] einen relativen Extremwert, wenn f^(n+1) gerade ist.
1. Frage)
Wenn ich eine Funktion habe, beispielsweise "f(x) = [mm] x^5", [/mm] wie wende ich dann den obigen Satz an?
2. Frage)
Wie verhält sich die ganze Sache, wenn laut Vorgabe von einer "(n+1)-mal stetig differenzierbaren Funktion" die Rede ist?
(Beide Fragen sind übrigens keine von mir ausgedachten Fragen und weiterhin in keinem anderen Forum gestellt worden!)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mo 30.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Wie kann ich die Extremstellen von differenzierbaren
> Funktionen berechnen?
> Generell gilt ja (ich kopiere hier Wikipedia:)
>
> Sei f: I->R eine (n+1)-mal differenzierbare Funktion und es
> gelte
>
> [mm]f'(x_0)=f''(x_0)=\ldots=f^{(n)}(x_0)=0\,[/mm] und
> [mm]f^{(n+1)}(x_0)\ne0.[/mm]
>
> Dann hat f bei [mm]x_0[/mm] einen relativen Extremwert, wenn f^(n+1)
> gerade ist.
>
>
> 1. Frage)
> Wenn ich eine Funktion habe, beispielsweise "f(x) = [mm]x^5",[/mm]
> wie wende ich dann den obigen Satz an?
So, wie es dasteht. Bilde an einer Stelle, deren erste Ableitung 0 ist (da gibt es nur eine)so lange weitere Ableitungen, bis zum ersten Mal etwas von 0 verschiedenes rauskommt.
Die wievielte Ableitung ist das, und wie lautet diese Ableitungsfunktion?
Gruß Abakus
>
> 2. Frage)
> Wie verhält sich die ganze Sache, wenn laut Vorgabe von
> einer "(n+1)-mal stetig differenzierbaren Funktion" die
> Rede ist?
>
> (Beide Fragen sind übrigens keine von mir ausgedachten
> Fragen und weiterhin in keinem anderen Forum gestellt
> worden!)
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Hallo,
ich habe Verständnisschwierigkeiten 
"Eine Stelle, deren erste Ableitung 0 ist"? Meinst du die Stelle " [mm] f^5(x)", [/mm] deren erste Ableitung 0 ist?
Wenn ich davon nun so lange Ableitungen bilden soll, bis eine von 0 verschiedene Ableitung entsteht, dann bin ich in einer Sackgasse angelangt.
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Hallo,
betrachten wir die Funktion mit [mm] f(x)=x^5.
[/mm]
Es ist [mm] f'(x)=5x^4,
[/mm]
und aus f'(x)=0 folgt x=0.
Nun wissen wir: an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] könnte es einen Extremwert geben.
Wir berechnen
[mm] f''(x)=20x^3
[/mm]
[mm] f'''(x)=60x^2
[/mm]
[mm] f^{(4)}(x)=120x
[/mm]
[mm] f^{(5)}(x)=120
[/mm]
[mm] f^{(6)}(x)=0
[/mm]
[mm] \vdots,
[/mm]
und wir stellen fest
[mm] f(0)=f''(0)=f'''(0)=f^{(4)}(0)=0 [/mm] und [mm] f^{(5)}\not=0.
[/mm]
5 ist nicht gerade, also hat [mm] f(x)=x^5 [/mm] keinen Extremwert bei [mm] x_0=0.
[/mm]
LG Angela
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Hallo,
hab' verstanden! Vielen Dank :)
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