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Hallo,
ich habe 2 Fragen zu Aufgaben, die ich zur Klausurvorbereitung mache. Die Lösungen dazu habe ich vorliegen, habe jedoch zwei Verständnisfragen.
Zum ersten:
Sei f die Funktion, gegeben durch [mm] f(z) = (z^2-1)(\bar{z}-1) [/mm]. Gefragt ist nach allen Punkten, in denen die Funktion komplex differenzierbar ist. Ich weiß bereits, dass +1 und -1 die einzigen sind, jedoch wird dies (sehr lang und) ausführlich begründet. Gibt es ein Argument, was mit verhältnismässig wenig Aufwand zeigt, dass +1,-1 die einzigen beiden Punkte sind (die in Frage kommen)?
Zum zweiten:
Sei [mm]\gamma [/mm] die Kurve, die die Punkte i und 1+2i miteinander verbindet. Zu berechnen sind nun folgende Integrale:
[mm]\int_\gamma {z-z^2}dz[/mm] (und noch ein zweites, das geht aber nach dem selben Prinzip)
Probleme hierbei habe ich, weil ich die Wohldefiniertheit der Kurve nachweisen muss. Ich weiß allerdings nicht wirklich wie man das macht.
Ich bedanke mich schonmal für die Hilfe
Mit freundlichen Grüßen
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Di 12.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich habe 2 Fragen zu Aufgaben, die ich zur
> Klausurvorbereitung mache. Die Lösungen dazu habe ich
> vorliegen, habe jedoch zwei Verständnisfragen.
>
> Zum ersten:
> Sei f die Funktion, gegeben durch [mm]f(z) = (z^2-1)(\bar{z}-1) [/mm].
> Gefragt ist nach allen Punkten, in denen die Funktion
> komplex differenzierbar ist. Ich weiß bereits, dass +1 und
> -1 die einzigen sind,
Das hab ich nicht nachgerechnet.
> jedoch wird dies (sehr lang und)
> ausführlich begründet. Gibt es ein Argument, was mit
> verhältnismässig wenig Aufwand zeigt, dass +1,-1 die
> einzigen beiden Punkte sind (die in Frage kommen)?
Cauchy- Riemannsche Differentialgleichungen
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> Zum zweiten:
> Sei [mm]\gamma[/mm] die Kurve, die die Punkte i und 1+2i
> miteinander verbindet.
Wieso "die Kurve" ? Es gibt viele Kurven, die die beiden Punkte miteinander verbindet .
> Zu berechnen sind nun folgende
> Integrale:
> [mm]\int_\gamma {z-z^2}dz[/mm] (und noch ein zweites, das geht aber
> nach dem selben Prinzip)
> Probleme hierbei habe ich, weil ich die Wohldefiniertheit
> der Kurve nachweisen muss.
Was soll das denn bedeuten ??
> Ich weiß allerdings nicht
> wirklich wie man das macht.
Die Funktion [mm] f(z)=z-z^2 [/mm] besitzt eine Stammfunktion F . Folglich ist
[mm]\int_\gamma {(z-z^2)}dz=F(1+2i)-F(i)[/mm]
FRED
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> Ich bedanke mich schonmal für die Hilfe
> Mit freundlichen Grüßen
> Tobias
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> > Hallo,
> > ich habe 2 Fragen zu Aufgaben, die ich zur
> > Klausurvorbereitung mache. Die Lösungen dazu habe ich
> > vorliegen, habe jedoch zwei Verständnisfragen.
> >
> > Zum ersten:
> > Sei f die Funktion, gegeben durch [mm]f(z) = (z^2-1)(\bar{z}-1) [/mm].
> > Gefragt ist nach allen Punkten, in denen die Funktion
> > komplex differenzierbar ist. Ich weiß bereits, dass +1 und
> > -1 die einzigen sind,
>
> Das hab ich nicht nachgerechnet.
Es sollte stimmen, wir haben das mehrfach nachgerechnet.
>
>
>
> > jedoch wird dies (sehr lang und)
> > ausführlich begründet. Gibt es ein Argument, was mit
> > verhältnismässig wenig Aufwand zeigt, dass +1,-1 die
> > einzigen beiden Punkte sind (die in Frage kommen)?
>
> Cauchy- Riemannsche Differentialgleichungen
Ah, ich bitte um Entschuldigung. Es geht genau darum, dass ich die CR-DGL nicht verwenden darf.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Di 12.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo,
> > > ich habe 2 Fragen zu Aufgaben, die ich zur
> > > Klausurvorbereitung mache. Die Lösungen dazu habe ich
> > > vorliegen, habe jedoch zwei Verständnisfragen.
> > >
> > > Zum ersten:
> > > Sei f die Funktion, gegeben durch [mm]f(z) = (z^2-1)(\bar{z}-1) [/mm].
> > > Gefragt ist nach allen Punkten, in denen die Funktion
> > > komplex differenzierbar ist. Ich weiß bereits, dass +1 und
> > > -1 die einzigen sind,
> >
> > Das hab ich nicht nachgerechnet.
> Es sollte stimmen, wir haben das mehrfach nachgerechnet.
> >
> >
> >
> > > jedoch wird dies (sehr lang und)
> > > ausführlich begründet. Gibt es ein Argument, was mit
> > > verhältnismässig wenig Aufwand zeigt, dass +1,-1 die
> > > einzigen beiden Punkte sind (die in Frage kommen)?
> >
> > Cauchy- Riemannsche Differentialgleichungen
> Ah, ich bitte um Entschuldigung. Es geht genau darum, dass
> ich die CR-DGL nicht verwenden darf.
O.K. Dann machen wir das so:
Setze [mm] h(z)=\bar{z}. [/mm] Für [mm] z_0 \in \IC [/mm] zeige
die Grenzwerte [mm] \limes_{t \rightarrow 0}\bruch{h(z_0+t)-h(z_0)}{t} [/mm] und [mm] \limes_{t \rightarrow 0}\bruch{h(z_0+it)-h(z_0)}{it} [/mm] existieren, sind aber verschieden.
Somit ist h in [mm] z_0 [/mm] nicht komplex differenzierbar. Damit ist auch [mm] g(z):=\bar{z}-1 [/mm] in [mm] z_0 [/mm] nicht komplex differenzierbar.
Nun sei [mm] z_0 \ne [/mm] 1 und auch [mm] \ne [/mm] -1. Wenn wir annehmen, dass f in [mm] z_0 [/mm] komplex differenzierbar wäre, so wäre auch
[mm] \bruch{f(z)}{z^2-1}
[/mm]
in [mm] z_0 [/mm] komplex differenzierbar. Es ist aber [mm] \bruch{f(z)}{z^2-1}=g(z). [/mm] Widerspruch !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Di 12.07.2016 | | Autor: | Killercat |
Vielen dank!
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